2-1 等式與不等式的性質(zhì)（精講）（人教A版2019必修第一冊）（解析版）

2.1等式與不等式的性質(zhì)（精講）一．關(guān)于實數(shù)a，b大小比較的基本事實1.兩個實數(shù)a，b，其大小關(guān)系有三種可能，即a>b，a＝b，a<b.2.依據(jù)：a>b?a－b>0；a＝b?a－b＝0；a<b?a－b<03.結(jié)論：要比較兩個實數(shù)的大小，可以轉(zhuǎn)化為比較它們的差與0的大小二.等式的性質(zhì)性質(zhì)1如果a＝b，那么b＝a；性質(zhì)2如果a＝b，b＝c，那么a＝c；性質(zhì)3如果a＝b，那么a±c＝b±c；性質(zhì)4如果a＝b，那么ac＝bc；性質(zhì)5如果a＝b，c≠0，那么eq\f(a,c)＝eq\f(b,c).三.不等式的性質(zhì)性質(zhì)1如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b.即a>b?b<a.性質(zhì)2如果a>b，b>c，那么a>c，即a>b，b>c?a>c.性質(zhì)3如果a>b，那么a＋c>b＋c.性質(zhì)4如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac<bc.性質(zhì)5如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d.性質(zhì)6如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd.性質(zhì)7如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2).一.將不等關(guān)系表示成不等式(組)1.讀懂題意，找準不等式所聯(lián)系的量.2.用適當?shù)牟坏忍栠B接.3.多個不等關(guān)系用不等式組表示.二.常見的文字語言與符號語言之間的轉(zhuǎn)換文字語言大于，高于，超過小于，低于，少于大于等于，至少，不低于小于等于，至多，不超過符號語言><≥≤三．作差法比較兩個實數(shù)(代數(shù)式)大?。ā叭揭唤Y(jié)論”）1.作差：對要比較大小的兩個實數(shù)(或式子)作差；2.變形：對差進行變形①將差式進行因式分解轉(zhuǎn)化為幾個因式相乘.②將差式通過配方轉(zhuǎn)化為幾個非負數(shù)之和，然后判斷.3.判斷差的符號：結(jié)合變形的結(jié)果及題設(shè)條件判斷差的符號；4.作出結(jié)論．四．利用不等式的性質(zhì)求取值范圍1.建立待求范圍的整體與已知范圍的整體的關(guān)系，最后利用一次不等式的性質(zhì)進行運算，求得待求的范圍．2.同向(異向)不等式的兩邊可以相加(相減)，這種轉(zhuǎn)化不是等價變形，如果在解題過程中多次使用這種轉(zhuǎn)化，就有可能擴大其取值范圍．3.求解這種不等式問題要特別注意不能簡單地分別求出單個變量的范圍，再去求其他不等式的范圍．考點一用不等式（組）表示不等關(guān)系【例1】（2023·四川眉山）將一根長為的繩子截成兩段，已知其中一段的長度為m，若兩段繩子長度之差不小于，則所滿足的不等關(guān)系為（

）A． B．或C． D．【答案】D【解析】由題意,可知另一段繩子的長度為.因為兩段繩子長度之差不小于，所以，化簡得：.故選：D【一隅三反】1．（2022秋·西藏林芝·高一?？计谥校┫铝姓f法正確的是（

）A．某人月收入x不高于2000元可表示為“x<2000”B．某變量y不超過a可表示為“y≤a”C．某變量x至少為a可表示為“x>a”D．小明的身高xcm，小華的身高ycm，則小明比小華矮表示為“x>y”【答案】B【解析】對于A，某人收入x不高于2000元可表示為，A錯誤；對于B，變量y不超過a可表示為，B正確；對于C，變量x至少為a可表示為，C錯誤；對于D，小明身高，小華身高，小明比小華矮表示為，D錯誤.故選：B.2．（2023·黑龍江雙鴨山）完成一項裝修工程，請木工需付工資每人50元，請瓦工需付工資每人40元，現(xiàn)有工人工資預(yù)算2000元，設(shè)木工人，瓦工人，則請工人滿足的關(guān)系式是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】依題意，請工人滿足的關(guān)系式是，即.故選：D3.（2022秋·甘肅慶陽·高一?？茧A段練習）在開山工程爆破時，已知導火索燃燒的速度是每秒0.5厘米，人跑開的速度為每秒4米，距離爆破點150米以外（含150米）為安全區(qū)．為了使導火索燃盡時人能夠跑到安全區(qū)，導火索的長度（單位：厘米）應(yīng)滿足的不等式為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意知導火索的長度（單位：厘米），故導火索燃燒的時間為秒，人在此時間內(nèi)跑的路程為米，由題意可得.故選：B.4．（2022秋·內(nèi)蒙古呼和浩特·高一呼市二中校考階段練習）我國經(jīng)典數(shù)學名著《九章算術(shù)》中有這樣的一道題：今有出錢五百七十六，買竹七十八，欲其大小率之，向各幾何？其意是：今有人出錢576，買竹子78根，擬分大?小兩種竹子為單位進行計算，每根大竹子比小竹子貴1錢，問買大?小竹子各多少根？每根竹子單價各是多少錢？則在這個問題中大竹子每根的單價可能為（

）A．6錢 B．7錢 C．8錢 D．9錢【答案】C【解析】依題意可設(shè)買大竹子，每根單價為，購買小竹子，每根單價為，所以，即，即，因為，所以，根據(jù)選項，，所以買大竹子根，每根元.故選：C考點二實數(shù)（式）的比較大小【例2-1】（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）已知，試比較和的大小.【答案】【解析】（方法1）因為，所以.所以.因為，所以，即；（方法2）所以，又，所以,所以.【一隅三反】1．（2023·全國·高一假期作業(yè)）已知c＞1，且x＝－，y＝－，則x，y之間的大小關(guān)系是（

）A．x＞y B．x＝y(tǒng)C．x＜y D．x，y的關(guān)系隨c而定【答案】C【解析】由題設(shè)，易知x，y＞0，又，∴x＜y.故選：C.2．（2023·北京）設(shè)，，則有（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】，∴.故選：A.3．（2023·全國·高三對口高考）設(shè)實數(shù)，，滿足①，②，試確定，，的大小關(guān)系．【答案】，當且僅當時．【解析】因，所以，當且僅當時，，，所以，，所以，綜上可知：，當且僅當時．考點三利用不等式的性質(zhì)判斷命題的真假【例3】（2023秋·河南省直轄縣級單位）下列命題中正確的是（

）A．若，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則【答案】D【解析】A選項，當時，，故A錯誤；B選項，當，，，時，，，故B錯誤；C選項，當，，，時，，故C錯誤；D選項，若，，則，即，故D正確．故選：D.【一隅三反】1．（2023春·江蘇揚州·高一統(tǒng)考開學考試）對于實數(shù)a，b，c，下列命題正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則．【答案】C【解析】A選項，，故A錯誤；B選項，，因不清楚的正負情況，故B錯誤；C選項，當時，；當時，，當時，，綜上，故C正確；D選項，，故D錯誤.故選：C2．（2023春·上海寶山）下列命題中正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】B【解析】取，則，但是，A錯誤，，但是，C錯誤，取，則，但是，D錯誤，由，可得，所以，故，B正確，故選：B.3．（2023·全國·高一假期作業(yè)）下列命題為真命題的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，，則 D．若，則【答案】D【解析】對于A：當時，，A錯誤；對于B：當時，，B錯誤；對于C：取滿足，，而，此時，C錯誤；對于D：當時，則，所以，即，又，所以，D正確.故選：D.考點四利用不等式的性質(zhì)證明不等式【例4】（2023·云南）（1）已知，且，證明：．（2）證明：．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析【解析】證明：（1）由，且，所以，且所以，所以，即；所以，即．（2）要證，只需證，即證；即證，即證；即證，顯然成立；所以．【一隅三反】1．（2023·內(nèi)蒙古呼和浩特）證明不等式．(1)，bd＞0，求證：；(2)已知a＞b＞c＞0，求證：．【答案】(1)見詳解(2)見詳解【解析】（1）證明：，因為，，所以，，又bd＞0，所以，，即.（2）證明：因為a＞b＞c＞0，所以有，，，，則，，即有，成立；因為，，所以，，又，所以，成立.所以，有.2．（2022·高一課時練習）設(shè)，，，，，證明：．【答案】證明見解析【解析】證明：因為，所以．又，所以，所以．因為，，，所以．考點五利用不等式的性質(zhì)求范圍【例5】（2023·海南）已知，求的取值范圍__________．【答案】【解析】設(shè),則解得故，由,故，由,故，所以.故答案為：.【一隅三反】1．（2022秋·貴州貴陽·高一校聯(lián)考期中）已知，