第七章偏導(dǎo)數(shù)與全微分

第七章偏導(dǎo)數(shù)與全微分1第1頁(yè)，課件共74頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月xo-RRR-R2第2頁(yè)，課件共74頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月（2）鄰域：以點(diǎn)為園心，以為半徑的開(kāi)園域稱為點(diǎn)的鄰域，即3第3頁(yè)，課件共74頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月（3）平面區(qū)域：由一條或幾條連續(xù)曲線所圍的平面的一部分稱為平面區(qū)域記為D.圍成區(qū)域的曲線稱為邊界，連同邊界在內(nèi)的區(qū)域稱為閉區(qū)域，不包括邊界的區(qū)域稱為開(kāi)區(qū)域；如果可延伸到無(wú)窮遠(yuǎn)處，就稱為無(wú)界區(qū)域，否則稱為有界區(qū)域.我們這里討論的區(qū)域是一種特殊的區(qū)域：任何平行于X軸或Y軸的直線與該平面區(qū)域的交點(diǎn)不多于兩點(diǎn)，但容許邊界曲線包含平行坐標(biāo)軸的線段.例如：是無(wú)界開(kāi)區(qū)域4第4頁(yè)，課件共74頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月是有界閉區(qū)域.5第5頁(yè)，課件共74頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2、多元函數(shù)的定義二元函數(shù)的定義域是平面點(diǎn)集，通常用平面區(qū)域D表示.6第6頁(yè)，課件共74頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月107第7頁(yè)，課件共74頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月對(duì)應(yīng)關(guān)系的求法同一元函數(shù)8第8頁(yè)，課件共74頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月9第9頁(yè)，課件共74頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3、二元函數(shù)的幾何意義10第10頁(yè)，課件共74頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月11第11頁(yè)，課件共74頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月注：二元函數(shù)的極限要求點(diǎn)Q(x,y)以任何方式，任何方向，任何路徑趨向于時(shí)，均有若能找到兩條不同的路徑使沿此兩路徑時(shí)，f(x,y)具有不同的4.二元函數(shù)的極限12第12頁(yè)，課件共74頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例4.若有(C),則極限存在.當(dāng)點(diǎn)沿?zé)o窮條路徑趨向定點(diǎn)時(shí),有分析:多元極限是全面極限,動(dòng)點(diǎn)趨于定點(diǎn)13第13頁(yè)，課件共74頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月方式應(yīng)是任意方向任意路徑.同時(shí)取極限過(guò)程中各變量變化是同步的,與累次極限沒(méi)有關(guān)系,由此(C)成立,即連續(xù)必有極限.5.二元函數(shù)連續(xù)性定義：14第14頁(yè)，課件共74頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月4.閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的有界性定理介值定理、最大最小值定理、零值定理。6.二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)定義15第15頁(yè)，課件共74頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月同樣可定義關(guān)于y的偏導(dǎo)數(shù):注：16第16頁(yè)，課件共74頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月17第17頁(yè)，課件共74頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月7．二元函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)18第18頁(yè)，課件共74頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月12若題設(shè)條件告之函數(shù)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則意味著可交換混合偏導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)次序，可將結(jié)果整理為最簡(jiǎn)形式。8.二元函數(shù)的全微分:19第19頁(yè)，課件共74頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月20第20頁(yè)，課件共74頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月21第21頁(yè)，課件共74頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月三元函數(shù)的全微分:多元函數(shù)的全微分等于各自變量偏微分的和.22第22頁(yè)，課件共74頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月12349.連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)存在與可微之間的關(guān)系混合偏導(dǎo)數(shù)相等.23第23頁(yè)，課件共74頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月24第24頁(yè)，課件共74頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月二、基本問(wèn)題及解法問(wèn)題(一):一般函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)與全微分的計(jì)算★25第25頁(yè)，課件共74頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月26第26頁(yè)，課件共74頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例2.已知?jiǎng)t（）分析：如果先求導(dǎo)再代值，無(wú)法將代入，所以應(yīng)按定義去做。27第27頁(yè)，課件共74頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月故應(yīng)選（B）28第28頁(yè)，課件共74頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月29第29頁(yè)，課件共74頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月解：（1）30第30頁(yè)，課件共74頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月31第31頁(yè)，課件共74頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月搞清復(fù)合關(guān)系，哪是自變量、中間變量，通常畫變量關(guān)系圖，再按變量關(guān)系圖的路徑求導(dǎo)。從應(yīng)變量到自變量有多少條路徑，求導(dǎo)時(shí)就有多少項(xiàng)，每一項(xiàng)均為函數(shù)對(duì)中間變量的偏導(dǎo)數(shù)與中間變量對(duì)自變量的偏導(dǎo)數(shù)之積。注：有些復(fù)雜的函數(shù)也可引進(jìn)中間變量畫出變量關(guān)系圖后再求導(dǎo)。問(wèn)題(二):復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)求法★32第32頁(yè)，課件共74頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月解:變量關(guān)系如圖:33第33頁(yè)，課件共74頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月34第34頁(yè)，課件共74頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月35第35頁(yè)，課件共74頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月36第36頁(yè)，課件共74頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月“抽象”的復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的求法對(duì)抽象的二元復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)時(shí)，有的偏導(dǎo)數(shù)無(wú)法法具體求出只能保留“抽象”的形式。視情況可畫變量關(guān)系圖，也可不畫變量關(guān)系圖。37第37頁(yè)，課件共74頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例1.設(shè)可導(dǎo)，則分析：應(yīng)填2Z38第38頁(yè)，課件共74頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月另解：39第39頁(yè)，課件共74頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例3.設(shè)函數(shù)解：40第40頁(yè)，課件共74頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月由三元方程F(x,y,z)=0所確定的z是x,y的函數(shù)z=f(x,y)稱二元隱函數(shù)。(因變量不能單獨(dú)出現(xiàn)在等號(hào)一邊);問(wèn)題(三)：多元隱函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的求法★41第41頁(yè)，課件共74頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月42第42頁(yè)，課件共74頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月43第43頁(yè)，課件共74頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月44第44頁(yè)，課件共74頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月兩邊求導(dǎo)法:公式法：45第45頁(yè)，課件共74頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月問(wèn)題(四):求二元函數(shù)的極值(1)定義：46第46頁(yè)，課件共74頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月(3)極值存在的充分條件：47第47頁(yè)，課件共74頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月步驟48第48頁(yè)，課件共74頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月條件極值及解法求條件極值有兩種方法：(1)化為無(wú)條件極值49第49頁(yè)，課件共74頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月(2)拉格朗日乘數(shù)法——求極值步驟：123無(wú)須判定，直接根據(jù)實(shí)際問(wèn)題下結(jié)論50第50頁(yè)，課件共74頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月51第51頁(yè)，課件共74頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月52第52頁(yè)，課件共74頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例2.（條件極值）某廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，其銷售單價(jià)分別為10萬(wàn)元和9萬(wàn)元，生產(chǎn)x件甲種產(chǎn)品和y件乙種產(chǎn)品的總成本為又已知兩種產(chǎn)品的總產(chǎn)量為100件，求企業(yè)獲得最大利潤(rùn)時(shí),兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量各是多少?53第53頁(yè)，課件共74頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月54第54頁(yè)，課件共74頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月答:企業(yè)獲得最大利潤(rùn)時(shí),兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量分別為70件和30件.55第55頁(yè)，課件共74頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例3.某公司可通過(guò)電臺(tái)，報(bào)紙兩種方式做銷售某種商品的廣告，根據(jù)統(tǒng)計(jì)資料，銷售收入R（萬(wàn)元）與電臺(tái)廣告費(fèi)（萬(wàn)元）及報(bào)紙廣告費(fèi)用(萬(wàn)元)之間有關(guān)系式：(1)在廣告費(fèi)用不限的情況下,求最優(yōu)廣告策略;解:（1）無(wú)條件極值利潤(rùn)函數(shù)56第56頁(yè)，課件共74頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月(2)求條件極值——拉格朗日乘數(shù)法注：因駐點(diǎn)唯一，且實(shí)際問(wèn)題存在最大利潤(rùn)，故當(dāng)電臺(tái)廣告費(fèi)為0.75萬(wàn)元，報(bào)紙廣告費(fèi)為1.25萬(wàn)元時(shí)利潤(rùn)最大此為最優(yōu)廣告策略.以此代替檢驗(yàn)。構(gòu)造拉格朗日函數(shù)：57第57頁(yè)，課件共74頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月解得因此將廣告費(fèi)1.5萬(wàn)元全部用于報(bào)紙廣告，可使利潤(rùn)最大.58第58頁(yè)，課件共74頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月三、課后練習(xí)59第59頁(yè)，課件共74頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月60第60頁(yè)，課件共74頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月61第61頁(yè)，課件共74頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月11.已知函數(shù)設(shè)12.則（B）62第62頁(yè)，課件共74頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月13.已知的全微分為則的取值分別為（B）（A）－2和2；（B）2和－2；（C）－3和3；（D）3和－3.分析；由全微分存在，知偏導(dǎo)數(shù)存且連續(xù)，從兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù)相等，即，由此可而確定由題設(shè)知63第63頁(yè)，課件共74頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月故應(yīng)選（B）64第64頁(yè)，課件共74頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月計(jì)算。

14.設(shè)且解：變量關(guān)系如圖65第65頁(yè)，課件共74頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月于是66第66頁(yè)，課件共74頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月16.設(shè)所確定的函數(shù)，且是可微的，求67第67頁(yè)，課件共74頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月解：變量關(guān)系如圖：由對(duì)x求導(dǎo)，得……（1）再由兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得出（2）68第68頁(yè)，課件共74頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月將（2）代入（1）得：整理解出：17.設(shè)69第69頁(yè)，課件共74頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月提示：18.設(shè)70第70頁(yè)，課件共74頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月提示：可引進(jìn)中間變量，也可直接求導(dǎo).令71第71頁(yè)，課件共74頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月19.設(shè)提示：先分別求出，再代入化簡(jiǎn).20.設(shè)由方程確定了函數(shù)，則（D