柱坐標(biāo)系下導(dǎo)熱微分方程三維高精度數(shù)值解法

柱坐標(biāo)系下導(dǎo)熱微分方程三維高精度數(shù)值解法

在解決實(shí)際復(fù)雜的傳熱問題時(shí)，數(shù)值傳熱學(xué)得到了廣泛應(yīng)用。相應(yīng)的熱位移離散一直是解決數(shù)值傳統(tǒng)問題的關(guān)鍵之一。在數(shù)值傳熱學(xué)中，二維柱坐標(biāo)與極坐標(biāo)導(dǎo)熱微分方程已得到了較好的推廣應(yīng)用。目前在離散與解決三維柱坐標(biāo)與球坐標(biāo)時(shí)，缺少較為明確的數(shù)值求解的離散格式?，F(xiàn)今數(shù)值傳熱學(xué)對(duì)于柱體與球體的數(shù)值求解，只是通過簡(jiǎn)化為徑向或者二維極坐標(biāo)的方式來解決，這給數(shù)值傳熱學(xué)在三維柱坐標(biāo)與球坐標(biāo)條件下的計(jì)算、推廣與應(yīng)用造成了諸多不便，因此合理準(zhǔn)確地得到三維圓柱體導(dǎo)熱、球體導(dǎo)熱偏微分方程顯得尤為重要。基于以上考慮本文以三維柱坐標(biāo)與球坐標(biāo)為基礎(chǔ)，從微分方程的數(shù)值解離散格式方面入手，推導(dǎo)出精度較高的柱坐標(biāo)與球坐標(biāo)導(dǎo)熱微分方程離散格式，并通過一維解析解對(duì)比驗(yàn)證其精確度。1導(dǎo)熱微分方程離散方法將導(dǎo)熱微元體置于直角坐標(biāo)系中，運(yùn)用能量守恒原理和傅里葉(Fourier)定律，建立直角坐標(biāo)系下導(dǎo)熱微分方程其中:λ為導(dǎo)熱系數(shù);c為導(dǎo)熱體熱容;S為內(nèi)熱源強(qiáng)度。采用坐標(biāo)變換法分別得到圓柱坐標(biāo)系與球坐標(biāo)系中導(dǎo)熱微分方程離散導(dǎo)熱微分方程離散的基本方法主要有2種:Taylor級(jí)數(shù)展開法和有限體積法。為明確其導(dǎo)熱偏微分方程的物理概念及保證離散系數(shù)的意義，本文采用有限體積法，即控制容積法。2積分法面元首先給方程(2)兩邊同時(shí)乘以r，然后對(duì)偏微分方程兩邊同時(shí)在圖1所示的控制容積以及非穩(wěn)態(tài)的時(shí)間項(xiàng)中積分:1)穩(wěn)態(tài)項(xiàng)積分處理2)對(duì)于r、φ、z擴(kuò)散項(xiàng)積分3)源項(xiàng)積分其中:源項(xiàng)中S表示成為未知量的線性函數(shù);SC為常數(shù)部分;SP表示S隨溫度T變化而變化的曲線在P點(diǎn)的斜率。4)離散結(jié)果整理以上結(jié)果可得:其中:3控制容積在非穩(wěn)態(tài)時(shí)間項(xiàng)中積分對(duì)控制方程(3)兩邊同時(shí)乘以r2sin2θ，對(duì)導(dǎo)熱微分方程在圖2所示的控制容積在非穩(wěn)態(tài)時(shí)間項(xiàng)中積分得:1)非穩(wěn)態(tài)項(xiàng)積分2)對(duì)r，φ2個(gè)方向的導(dǎo)熱擴(kuò)散項(xiàng)積分3)應(yīng)用積分第一中值定理推導(dǎo)θ擴(kuò)散項(xiàng)當(dāng)離散的區(qū)域劃分較細(xì)時(shí)，有θξ≈θP，因此4)源項(xiàng)積分5)球體離散結(jié)果通過整理以上結(jié)果可得其中:4示例證明4.1網(wǎng)格無關(guān)性分析為驗(yàn)證其離散解數(shù)值解的準(zhǔn)確性，考察一個(gè)內(nèi)外徑分別為R1、R2的圓筒壁，圓筒的內(nèi)外兩側(cè)保持無量綱溫度T1、T2，其徑向?qū)峤馕鼋鉃闊o熱源穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱圓柱邊界條件:應(yīng)用本文離散方程，得到如圖3所示高精確度的數(shù)值解，誤差為8.86×10-3%。通過增加計(jì)算區(qū)域網(wǎng)格的的數(shù)目，計(jì)算其誤差的大小，進(jìn)行網(wǎng)格無關(guān)性的分析，誤差的計(jì)算方式為式(9)中:error表示誤差;T表示解析解;Tnum表示本文數(shù)值解。根據(jù)誤差分析網(wǎng)格無關(guān)解得到如圖4所示的誤差與網(wǎng)格數(shù)的關(guān)系。通過數(shù)值計(jì)算得出:當(dāng)網(wǎng)格數(shù)增加到5000時(shí)，計(jì)算誤差已經(jīng)控制在1%以內(nèi)，隨著網(wǎng)格的加密計(jì)算誤差逐漸減少。本文的解析解誤差為8.86×10-3%，選用計(jì)算網(wǎng)格數(shù)為37×20×16=11840。4.2維徑向?qū)釣轵?yàn)證其球殼離散解數(shù)值解的準(zhǔn)確性，選取內(nèi)外徑分別為R1、R2的球殼，球殼的內(nèi)外兩側(cè)保持恒溫T1、T2，驗(yàn)證其一維徑向?qū)釂栴}。解析解為無熱源穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱圓柱邊界條件:應(yīng)用本文離散方程，得到如圖5所示的數(shù)值解，誤差為0.53%。5數(shù)值計(jì)算誤差分析研究了圓柱體與球體的三維導(dǎo)熱微分方程，對(duì)其進(jìn)行有限容積法的高精度的數(shù)值計(jì)算離散格式推導(dǎo)。在離散球體的過程中，運(yùn)用積分第一中值定理從理論上處理了復(fù)雜θ擴(kuò)散項(xiàng)的離散系數(shù)。該離散格式為科研工作者進(jìn)行三維柱坐標(biāo)與球坐標(biāo)下導(dǎo)熱微分方程的數(shù)值求解提供了良好的借鑒。該離散格式的驗(yàn)證應(yīng)用FORTRAN語(yǔ)言編寫計(jì)算，運(yùn)行穩(wěn)定，在理論基礎(chǔ)上驗(yàn)證了解析解與數(shù)值解的誤差，將球體的誤差范圍控制在了0.5%以內(nèi)，為三維柱體與球體導(dǎo)熱偏微分方程的研究與工程應(yīng)用提供了高精度、可靠的數(shù)值計(jì)算離散格式。被積項(xiàng)積分時(shí)，θ擴(kuò)散項(xiàng)的熱量在θ方向中通過θe、θw2個(gè)界面，導(dǎo)熱面作為連續(xù)的界面，因此導(dǎo)熱方程可作為連續(xù)方程。對(duì)于均有sinθ≥0，即同號(hào)。運(yùn)用推廣的積分第一中值定理可得:存在一點(diǎn)ξ∈[w,e]，使得關(guān)于θ的導(dǎo)熱項(xiàng)記做誤差采用2-范數(shù)誤差分析的方式進(jìn)行計(jì)算，范數(shù)圖6為誤差與網(wǎng)格數(shù)的關(guān)系。通過圖