隱式微分方程

§2.6一階隱式微分方程及其參數(shù)表示變量分離、線性、恰當(dāng)方程等能解出轉(zhuǎn)化不能解出或解出形式復(fù)雜轉(zhuǎn)化引進(jìn)參數(shù)變量變換熟練掌握1一階隱式方程的形式(1)2求解思想1)2)3)4)一、隱式方程3具體求解方法第一步第二步(2)(3)(4)(5)第三步將(3)、(4)代入(5)得合并得到從而化成對(duì)稱形式的微分方程,可用已知方法求解.

第四步(6)一、能解出

y(或

x)的方程這里假設(shè)函數(shù)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)。解法：引進(jìn)參數(shù)，則方程變?yōu)閮蛇呹P(guān)于

x

求導(dǎo)，并把代入，得關(guān)于x

和p顯式方程

若已得出(9)的通解形式為,代入(8)得就是(7)的通解。(ii)若得出(9)通解形式為，則原方程(7)有參數(shù)形式的通解其中p

是參數(shù)，c為任意常數(shù)。(iii)若求得(9)通解形式，則原方程(7)其中p是參數(shù),c為任意常數(shù)。有參數(shù)形式通解解法兩邊對(duì)y求導(dǎo)(12)若求得為則(10)的通解為若求得為則(10)的通解為解法1：

解出y令得兩邊對(duì)x求導(dǎo)例1求解方程當(dāng)時(shí)，上式乘以p，得積分，得將它代入因此，方程參數(shù)形式通解當(dāng)p=0

時(shí),由可知，y=0也是方程的解。解出x，得解法2：解出x，并把，得兩邊對(duì)y求導(dǎo)所以，方程的通解為:此外，還有解y=0

解令得兩邊對(duì)x

求導(dǎo)，得例2求解方程將它代入得方程的通解方程的通解再由得將它代入，又得方程的一個(gè)解此解與通解中的每一條積分曲線均相切(如圖)這樣的解我們稱之為奇解,下一章將給出奇解的確切含義。注意:xyo例3.求在第一像限中的一條曲線,使其上每一點(diǎn)的切線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積均等于2.解:因此,切線在坐標(biāo)軸上的因所求曲線在第一象限,由題意得即即故得通解為:它是直線族.得另一特解為:這是雙曲線,顯然這才是我們所要求的一條曲線.形如方程的解法,即滿足:二、不顯含y(或x的方程)解法：引入變換從(13)得到則，方程的參數(shù)形式通解為關(guān)鍵(or引入變換從(13)得到)令通解為特殊情形解的步驟:“關(guān)鍵一步也是最困難一步”解法：引入變換從(14)得到則，方程的參數(shù)形式通解為(or引入變換從(14)得到)若有實(shí)根則也是方程的解。關(guān)鍵令通解為特殊情形若有實(shí)根則也是方程的解。形如方程的解法,解的步驟:“關(guān)鍵一步也是最困難一步”例

求解方程解故原方程參數(shù)形式的通解為由于積分得解令則由方程，得從而于是求解方程例4通解為例

求解微分方程解由于故原方程參數(shù)形式的通解為積分得注:方程有多種解法用一(1)型例5求解方程解把代入原微分方程令得由此得且方程的參數(shù)形式的通解為此外,也是方程的解。練習(xí)求解方程注意觀察方程的解的特點(diǎn)解通解奇解克萊洛方程ClairantEquation三

利用變量代換的微分方程積分法有時(shí)方程就都不易解出,或者雖能解出,但積分計(jì)算比較復(fù)雜，這時(shí)，除了引用適當(dāng)?shù)膮?shù)外，還可以先進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q后再求解，這種方法稱為利用變量代換的微分方程積分法。但是，如何選擇適當(dāng)?shù)淖兞縼?lái)代換，沒(méi)有一定的規(guī)律,需要在做大量的練習(xí)中積累經(jīng)驗(yàn).解令則代入原方程，得即克萊洛方程通解奇解例6求解方程解則令于是代入原方程，得例7的通解.求方程克萊洛方程通解奇解§2.7可降階的微分方程類型1類型2不顯含未知函數(shù)y的微分方程類型3n階自治微分方程（不顯含自變量x）例求方程的通解例

求解方程例解方程令則故原方程可化為因此是原方程的解,其中C為任意常數(shù).

解

a)和b)使用分離變量的方法,可得上一方程的通解為求解方程原方程的通解為即為上面