可線性化的回歸分析

可線性化的回歸分析【學習目標】1.能夠直觀地判斷兩個變量是否呈現(xiàn)線性相關(guān)。2.能夠使用非線性的函數(shù)關(guān)系來描述不易用線性關(guān)系刻畫的兩個變量之間的關(guān)系。【自主學習】1.如果兩個變量不呈現(xiàn)線性關(guān)系，不能直接利用線性回歸方程建立兩個變量的相關(guān)關(guān)系。那么我們應(yīng)該如何建立兩個變量之間的關(guān)系？例如，如何將y=aebx轉(zhuǎn)化為線性相關(guān)問題來解決？（請閱讀教材第9頁到13頁）2.在具體問題中，我們首先應(yīng)該得到原始數(shù)據(jù)（x，y），從中看出數(shù)據(jù)的大致規(guī)律，再根據(jù)這個規(guī)律選擇適當?shù)暮瘮?shù)進行擬合。3.對于非線性回歸模型，一般可以轉(zhuǎn)化為模型，從而得到相應(yīng)的回歸方程。4.以下是幾種能夠轉(zhuǎn)化為線性回歸模型的非線性回歸模型：（1）冪函數(shù)曲線y=abx，作變換ln(y)=ln(a)+bx，得到線性函數(shù)。（2）指數(shù)曲線y=aebx，作變換ln(y)=ln(a)+bx，得到線性函數(shù)。（3）倒指數(shù)曲線y=ae-x，作變換ln(y)=ln(a)-x，得到線性函數(shù)。（4）對數(shù)曲線y=a+bln(x)，作變換y'=ln(y-a)=bln(x)，得到線性函數(shù)?！纠}分析】例1.（1）有5組（x，y）數(shù)據(jù)(1,3)，(2,4)，(4,5)，(3,10)，(10,12)，去掉一組數(shù)據(jù)后，剩下的四組數(shù)據(jù)的線性相關(guān)系數(shù)最大。（2）已知冪函數(shù)曲線y=axb做線性變換后得到的回歸方程為u=2+0.4v，則a=2，b=0.4。例2.為了研究某種細菌隨時間x變化，繁殖的個數(shù)，收集數(shù)據(jù)如下：天數(shù)x/天12345繁殖個數(shù)y/個612254995（1）用天數(shù)作解釋變量，繁殖個數(shù)作預(yù)報變量，作出這些數(shù)據(jù)的散點圖。（2）試求出預(yù)報變量對解釋變量的回歸方程。（答案：所求非線性回歸方程為y?=e0.69x+1.112）【小結(jié)】利用回歸方程探究非線性回歸問題，可以按照“作散點圖→建?！_定方程”這三個步驟進行。其關(guān)鍵在于如何通過適當?shù)淖儞Q，將非線性回歸問題轉(zhuǎn)化為線性回歸問題?！菊n后鞏固】1.根據(jù)下面所給的散點圖，變量y關(guān)于x的回歸函數(shù)模型應(yīng)選擇A.y=axb還是B.y=aebx？1.為了研究廣告費用x與銷售額y之間的關(guān)系，我們隨機選取了5家超市，得到了他們的廣告費用和銷售額的數(shù)據(jù)。數(shù)據(jù)如下表所示：|廣告費用x(千克)|銷售額y(千元)||---------------|------------||4.0|19.0||2.0|42.0||6.0|46.0||10.0|52.0||14.0|53.0|現(xiàn)在我們想要使銷售額達到10萬元，那么廣告費用約為多少千克呢？2.已知兩個變量x和y的關(guān)系可以用函數(shù)y=aebx來近似表示。通過變換后，我們得到了一個線性函數(shù)u=2+0.5x。那么x和y的近似函數(shù)關(guān)系是什么呢？3.彩色顯影中，形成染料光學密度y與析出銀的光學密度x之間的關(guān)系可以用公式y(tǒng)=Ae(bx)來表示。我們測得了一些試驗數(shù)據(jù)，如下表所示：|x(i)|b(x)|y(i)||----|----|----||0.05|0.06|0.10||0.25|0.31|0.38||0.07|0.10|1.19||1.00|0.14|0.43||1.25|1.00|0.14||0.59|1.12|0.20||0.79|0.23|0.47||1.29|0.37|1.29|現(xiàn)在我們需要求出y對x的回歸方程。4.在一次抽樣調(diào)查中，我們測得了5個樣本點的數(shù)據(jù)，如下表所示：|x|y||---|