2021年中考數(shù)學(xué)壓軸題答案解析

2021年中考數(shù)學(xué)壓軸題

1.如圖，已知。0的直徑AC與弦BO相交于點F,點E是QB延長線上的一點，ZEAB=

ZADBi

(1)求證：AE是。。的切線；

(2)己知點8是E尸的中點，求證：△E4Fs/\C8A.

(3)已知A尸=4,CF=2,在(2)的條件下，求AE的長.

E

(1)證明：如圖1,連接CD,

：AC是。0的直徑，

ZADC=90°,

：.ZADB+ZEDC=90°,

NBAC=/EDC,/EAB=NADB,

：.ZEAC=ZEAB+ZBAC=90°,

；.AE是。。的切線.

(2)證明：如圖2,連接BC,

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〈AC是OO的直徑，

AZABC=90°,

：.ZCBA=ZABC=90°

???B是所的中點,

???在RtZ\E4F中，AB=BF,

：.ZBAC=ZAFEf

：./\EAF^/\CBA.

(3)解：■:△EAFsXCBN,

.ABAC

"AF-EFf

VAF=4,CF=2.

?"C=6,EF=2ABf

AB6A”「

???一=——，解得AB=2V1

42AB

：.EF=4y/3,

'.AE=y/EF2—AF2=J(46)2_42=4四,

2.解決問題：

(1)如圖①，半徑為4的。。外有一點尸，且P0=7,點A在。。上，則出的最大值

和最小值分別是11和3.

第2頁共5頁

(2)如圖②，扇形A08的半徑為4,NAOB=45°,P為弧AB上一點，分別在0A邊

找點E,在0B邊上找一點F,使得△PEF周長的最小，請在圖②中確定點E、F的位置

并直接寫出△PE尸周長的最小值；

拓展應(yīng)用

(3)如圖③，正方形ABCQ的邊長為4或；E是CO上一點(不與。、C重合)，CF±

BE于F,尸在BE上，且尸F(xiàn)=CF,M、N分別是AB、AC上動點，求△尸MN周長的最

小值.

解：(1)如圖①，..?圓外一點P到這個圓上所有點的距離中，最大距離是和最小距離都

在過圓心的直線0P上，

此直線與圓有兩個交點，圓外一點與這兩個交點的距離個分別最大距離和最小距離.

：.PA的最大值=以2=尸0+042=7+4=11,

PA的最小值=%|=20-04=7-4=3,

故答案為11和3；

(2)如圖②，以。為圓心，0A為半徑，畫弧AC和弧8￡),作點P關(guān)于直線0A的對

稱點Pi,作點尸關(guān)于直線0B的對稱點尸2,連接Pi、P2,與。4、0B分別交于點E、F,

點E、尸即為所求.

連接0P1、。尸2、。尸、PE、PF,

由對稱知識可知，ZAOPi^ZAOP,NB0P2=NB0P,PE=P\E,PF=P1F

：.ZAOP\+ZBOP1^NAOP+NBOP=/AO8=45°

NP1OP2=45°+45°=90°,

APi0P2為等腰直角三角形，

：.PlP2=顯叫=4V2,

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△PEF周長=PE+PF+EF=PIE+P2F+EF=PiP2=4收,止匕時△「《下周長最小.

故答案為4注；

(3)作點P關(guān)于直線AB的對稱Pi,連接AP、BPi,作點P關(guān)于直線AC的對稱P2,

連接P、P2,與A3、AC分別交于點M、N.

由對稱知識可知，PM=P\M,PN=P2N,叢PMN周長=PM+PN+MN=PMI+P2N+MN=

P1P2,

此時，△PMN周長最小=日「2.

由對稱性可知，NBAPi=NBAP,NEAP2=NEAP,AP\=AP=API,

：.NBAP1+NEAP2=ZBAP+ZEAP=NBAC=45°

ZPIAP2=45°+45°=90°,

...△P1AP2為等腰直角三角形，

...△PMN周長最小值PP2=夜/lP,當(dāng)AP最短時，周長最小.

連接DF.

,：CFLBE,且PF=CF,

PC

：.ZPCF=45°,—=Vr2

CF

；/AC￡>=45°,

：.ZPCF=ZACD,

NPCA=NFCD

AC

又而3r

ACPC

.?.在△APC與△OFC中，一=一,ZPCA=ZFCD

CDCF

:.XAPCsXDFC,

APAC

：.—=—="2r,

DFCD

：.AP=y/2DF

'：ZBFC=90°,取BC中點。

.?.點尸在以BC為直徑的圓上運動，當(dāng)。、F、。三點在同一直線上時，力F最短.

22

DF=DO-FO=70c2+CD2-0C=J(2V2)+(472)-272=2同-272,

：.AP最小值為4P=V2DF

此時，△PMN