新高考數(shù)學高頻考點題型歸納06函數(shù)的單調(diào)性及最值（教師版）

專題06函數(shù)的單調(diào)性及最值一、關(guān)鍵能力理解函數(shù)的單調(diào)性，會判斷函數(shù)的單調(diào)性，會用函數(shù)的單調(diào)性的功能去求最值、解不等式、比較大小，理解函數(shù)的最大（小）值的含義，會求函數(shù)的最大（小）值.二、教學建議主要以基本初等函數(shù)為載體，考查函數(shù)單調(diào)性的判定、函數(shù)單調(diào)區(qū)間的確定、函數(shù)單調(diào)性的應用（解不等式、確定參數(shù)的取值范圍、比較函數(shù)值大?。?、研究函數(shù)的最值等，常與奇偶性、周期性結(jié)合，有時與導數(shù)綜合考查，也可以抽象函數(shù)為載體，加強對函數(shù)各種性質(zhì)的理解。三、自主梳理知識點一函數(shù)的單調(diào)性(1)單調(diào)函數(shù)的定義增函數(shù)減函數(shù)定義一般地，設函數(shù)f(x)的定義域為I，如果對于定義域I內(nèi)某個區(qū)間D上的任意兩個自變量的值x1，x2當x1<x2時，都有f(x1)<f(x2)，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)當x1<x2時，都有f(x1)>f(x2)，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)圖象描述自左向右看圖象是上升的自左向右看圖象是下降的(2)單調(diào)區(qū)間的定義如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說函數(shù)y＝f(x)在這一區(qū)間具有(嚴格的)單調(diào)性，區(qū)間D叫做y＝f(x)的單調(diào)區(qū)間．知識點二函數(shù)的最值前提設函數(shù)y＝f(x)的定義域為I，如果存在實數(shù)M滿足條件(1)對于任意的x∈I，都有f(x)≤M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M(3)對于任意的x∈I，都有f(x)≥M；(4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M結(jié)論M為最大值M為最小值四、真題感悟1．（2021?甲卷）下列函數(shù)中是增函數(shù)的為A． B． C． D．答案：D解答：解：由一次函數(shù)性質(zhì)可知在上是減函數(shù)，不符合題意；由指數(shù)函數(shù)性質(zhì)可知在上是減函數(shù)，不符合題意；由二次函數(shù)的性質(zhì)可知在上不單調(diào)，不符合題意；根據(jù)冪函數(shù)性質(zhì)可知在上單調(diào)遞增，符合題意．故選：．2．（2020?海南）已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是A． B．， C． D．，答案：D解答：解：由，得或．令，外層函數(shù)是其定義域內(nèi)的增函數(shù)，要使函數(shù)在上單調(diào)遞增，則需內(nèi)層函數(shù)在上單調(diào)遞增且恒大于0，則，，，即．的取值范圍是，．故選：．3．（2017?山東）若函數(shù)是自然對數(shù)的底數(shù)）在的定義域上單調(diào)遞增，則稱函數(shù)具有性質(zhì)，下列函數(shù)中具有性質(zhì)的是A． B． C． D．答案：A解答：解：當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)具有性質(zhì)，故選：．4．（2020?新課標Ⅱ）若，則A． B． C． D．答案：A解答：解：方法一：由，可得，令，則在上單調(diào)遞增，且，所以，即，由于，故．方法二：取，，滿足，此時，，可排除．故選：．5．（2017?新課標Ⅱ）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是A． B． C． D．答案：D解答：解：由得：，，，令，則，時，為減函數(shù)；時，為增函數(shù)；為增函數(shù)，故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，故選：．6．（2016?天津）已知是定義在上的偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，若實數(shù)滿足，則的取值范圍是A． B．，， C．， D．，答案：C解答：解：是定義在上的偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．，，．，解得．故選：．五、高頻考點+重點題型考點一、判斷函數(shù)的單調(diào)性（增減+區(qū)間）例1（1）函數(shù)f(x)=在（）A．(-∞，1)∪(1，+∞)上單調(diào)遞增B．(-∞，1)∪(1，+∞)上單調(diào)遞減C．(-∞，1)和(1，+∞)上單調(diào)遞增D．(-∞，1)和(1，+∞)上單調(diào)遞減（2）函數(shù)f(x)=xA.(?∞,?2]B.(?∞,1]C.[1,+∞)D.[4,+∞)（3）（2020·新課標Ⅱ）設函數(shù)，則f(x)（）A.是偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增 B.是奇函數(shù)，且在單調(diào)遞減C.是偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增 D.是奇函數(shù)，且在單調(diào)遞減【答案】（1）C（2）D（3）D（1）【解析】分離函數(shù)得f(x)=-1，結(jié)合函數(shù)y=-在(-∞，0)和(0，+∞)上單調(diào)遞增，由平移即可判斷.【詳解】f(x)的定義域為{x|x≠1}.f(x)==-1=-1，因為函數(shù)y=-在(-∞，0)和(0，+∞)上單調(diào)遞增，由平移關(guān)系得，(x)在(-∞，1)和(1，+∞)上單調(diào)遞增.故選：C.（2）【解析】x2?2x?8≥0得x≥4或令x2?2x?8=t，則∴t=x2?2x?8∴原函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為[4,+∞)，故選D.（3）【解析】由得定義域為，關(guān)于坐標原點對稱，又，為定義域上的奇函數(shù)，可排除AC；當時，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，排除B；當時，，在上單調(diào)遞減，在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，根據(jù)復合函數(shù)單調(diào)性可知：在上單調(diào)遞減，D正確.對點訓練1．（2021·灌云縣中學高三二模（理））下列函數(shù)中，是偶函數(shù)且在區(qū)間上單調(diào)遞減的函數(shù)是（）A． B． C． D．f(x)=lg|x|答案：A【分析】由奇偶性的定義判斷各個選項函數(shù)的奇偶性，排除B；結(jié)合反比例函數(shù)、二次函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可選出正確答案.【詳解】解：因為，所以B不正確；A,C,D中函數(shù)定義域均關(guān)于原點對稱，，A是偶函數(shù)；，C是偶函數(shù)；，所以D也是偶函數(shù)；當時，單調(diào)遞減，故A正確；由二次函數(shù)的性質(zhì)可得，此時遞增，則C不正確；也單調(diào)遞減，則D不正確；故選:A.對點訓練2.【多選題】設函數(shù)f(x)在R上為增函數(shù)，則下列結(jié)論不一定正確的是（）A．y=在R上為減函數(shù) B．y=|f(x)|在R上為增函數(shù)C．y=在R上為增函數(shù) D．y=f(x)在R上為減函數(shù)【答案】ABC【解析】令可判斷出ABC不正確，利用單調(diào)函數(shù)的定義判斷可得結(jié)果.【詳解】對于A，若f(x)=x，則y==，在R上不是減函數(shù)，A錯誤；對于B，若f(x)=x，則y=|f(x)|=|x|，在R上不是增函數(shù)，B錯誤；對于C，若f(x)=x，則y==，在R上不是增函數(shù)，C錯誤；對于D，函數(shù)f(x)在R上為增函數(shù)，則對于任意的x1，x2∈R，設x1<x2，必有f(x1)<f(x2)，對于y=f(x)，則有y1-y2=[f(x1)][f(x2)]=f(x2)f(x1)>0，則y=f(x)在R上為減函數(shù)，D正確.故選：ABC總結(jié)：確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間常見方法：1.利用基本初等函數(shù)的單調(diào)區(qū)間2.圖象法：對于基本初等函數(shù)及其函數(shù)的變形函數(shù)，可以作出函數(shù)圖象求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.3.復合函數(shù)法：對于函數(shù)，可設內(nèi)層函數(shù)為，外層函數(shù)為，可以利用復合函數(shù)法來進行求解，遵循“同增異減”，即內(nèi)層函數(shù)與外層函數(shù)在區(qū)間D上的單調(diào)性相同，則函數(shù)在區(qū)間D上單調(diào)遞增；內(nèi)層函數(shù)與外層函數(shù)在區(qū)間D上的單調(diào)性相反，則函數(shù)在區(qū)間D上單調(diào)遞減.4.變換法：已知函數(shù)單調(diào)性，判斷的單調(diào)性4.導數(shù)法：不等式的解集與函數(shù)的定義域的交集即為函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，不等式的解集與函數(shù)的定義域的交集即為函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.考點二、討論并證明函數(shù)的單調(diào)性（解答題）例2.（2021·廣東省肇慶中學模擬）試討論函數(shù)f(x)＝eq\f(ax,x－1)(a≠0)在(－1,1)上的單調(diào)性．【解析】(方法一：定義法)設－1<x1<x2<1，f(x)＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x－1＋1,x－1)))＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,x－1)))，則f(x1)－f(x2)＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,x1－1)))－aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,x2－1)))＝eq\f(ax2－x1,x1－1x2－1).因為－1<x1<x2<1，所以x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<0.故當a>0時，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，函數(shù)f(x)在(－1,1)上單調(diào)遞減；當a<0時，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，函數(shù)f(x)在(－1,1)上單調(diào)遞增．(方法二：導數(shù)法)f′(x)＝eq\f(ax′x－1－axx－1′,x－12)＝eq\f(ax－1－ax,x－12)＝－eq\f(a,x－12).當a>0時，f′(x)<0，函數(shù)f(x)在(－1,1)上單調(diào)遞減；當a<0時，f′(x)>0，函數(shù)f(x)在(－1，1)上單調(diào)遞增．對點訓練1（2021·安徽蚌埠模擬）證明：函數(shù)f(x)＝ax2＋eq\f(1,x)(其中1<a<3)在[1,2]上的單調(diào)性．【解析】函數(shù)f(x)＝ax2＋eq\f(1,x)(1<a<3)在[1,2]上單調(diào)遞增．證明：設1≤x1<x2≤2，則f(x2)－f(x1)＝axeq\o\al(2,2)＋eq\f(1,x2)－axeq\o\al(2,1)－eq\f(1,x1)＝(x2－x1)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a(x1＋x2)－\f(1,x1x2)))，由1≤x1<x2≤2，得x2－x1>0,2<x1＋x2<4，1<x1x2<4，－1<－eq\f(1,x1x2)<－eq\f(1,4).又因為1<a<3，所以2<a(x1＋x2)<12，得a(x1＋x2)－eq\f(1,x1x2)>0，從而f(x2)－f(x1)>0，即f(x2)>f(x1)，故當a∈(1,3)時，f(x)在[1,2]上單調(diào)遞增．對點訓練2.已知函數(shù)，.討論的單調(diào)性；【答案】當時，在單調(diào)遞增；當時，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；【詳解】函數(shù)的定義域為，.當時，，在單調(diào)遞增；當時，令，得，當時，；當時，.所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.綜上所述，當時，在單調(diào)遞增；當時，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.總結(jié)：1、定義法，2導數(shù)法考點三、已知單調(diào)性求參例3．定義在上的函數(shù)為遞增函數(shù)，則頭數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】根據(jù)定義域和單調(diào)性可知，再根據(jù)時的單調(diào)性判斷出，由此求解出的取值范圍..【詳解】因為，所以時，即，由單調(diào)性可知，所以，解得；當時，為增函數(shù)，若單調(diào)遞增，則只需，所以，解得，綜上可知的取值范圍是：，故選：D.對點訓練1．(2021·河北模擬)函數(shù)f(x)＝2|x－a|＋3在區(qū)間[1，＋∞)上不單調(diào)，則a的取值范圍是()A．[1，＋∞) B．(1，＋∞)C．(－∞，1) D．(－∞，1]【答案】B【解析】函數(shù)f(x)＝2|x－a|＋3的增區(qū)間為[a，＋∞)，減區(qū)間為(－∞，a]，若函數(shù)f(x)＝2|x－a|＋3在區(qū)間[1，＋∞)上不單調(diào)，則a>1.對點訓練2.若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．答案：D【分析】由題意可得對于恒成立，分離參數(shù)可得，即可求解.【詳解】因為，所以；又因為在上單調(diào)遞增，所以在上恒成立，即在上恒成立，只需要，因為在單調(diào)遞增，所以，所以.故選：D．對點訓練3.（2021·湖南模擬）若函數(shù)是上的增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由函數(shù)是上的增函數(shù)，則，解得，即實數(shù)的取值范圍是，故選B。考點四、利用單調(diào)性解不等式例4（2021·江西）已知函數(shù)則不等式的解集為（）A． B．C． D．【答案】A【詳解】易得函數(shù)在R上單調(diào)遞增，則由可得，解得，故不等式的解集為.故選：A．對點訓練1（2021·湖北高三二模（理））已知函數(shù)，若，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)且在上單調(diào)遞減可得求解.【詳解】易知為上的奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，由，得，于是得，解得．故選：C．對點訓練2．設函數(shù)，則滿足的x的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】分析：首先根據(jù)題中所給的函數(shù)解析式，將函數(shù)圖像畫出來，從圖中可以發(fā)現(xiàn)若有成立，一定會有，從而求得結(jié)果.詳解：將函數(shù)的圖像畫出來，觀察圖像可知會有，解得，所以滿足的x的取值范圍是，故選D.考點五、利用單調(diào)性求最值例5、（2020·上海高三一模）設，，若，則的（）A．最小值為8 B．最大值為8C．最小值為2 D．最大值為2【答案】A【詳解】因為，，所以，因為，所以，，則，故當時，最小，，故選：A.對點訓練1（2020·全國高三專題練習）已知函數(shù)的最小值為2，則實數(shù)a=（）A．2 B．4 C．8 D．16【答案】B【詳解】由得，故函數(shù)的定義域為，易知函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，解得故選：B.對點訓練2．(2021·山西省臨汾模擬)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(logax，x>3，,mx＋8，x≤3.))若f(2)＝4，且函數(shù)f(x)存在最小值，則實數(shù)a的取值范圍為()A．(1，eq\r(3)] B．(1,2]C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),3))) D．[eq\r(3)，＋∞)【答案】A【解析】因為f(2)＝2m＋8＝4，所以m＝－2，所以當x≤3時，f(x)＝－2x＋8.此時f(x)≥f(3)＝2.因為函數(shù)f(x)存在最小值，所以當x>3時，f(x)單調(diào)遞增，且loga3≥2，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>1，,loga3≥logaa2，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>1，,a2≤3，))解得a∈(1，eq\r(3)]．對點訓練3．（2017·浙江高考真題）若函數(shù)在區(qū)間[0,1]上的最大值是M,最小值是m,則的值A．與a有關(guān)，且與b有關(guān) B．與a有關(guān)，但與b無關(guān)C．與a無關(guān)，且與b無關(guān) D．與a無關(guān)，但與b有關(guān)答案：B【詳解】因為最值在中取，所以最值之差一定與無關(guān)，選B．總結(jié)：求函數(shù)最值的四種常用方法(1)單調(diào)性法：先確定函數(shù)的單調(diào)性，再由單調(diào)性求最值.(2)圖象法：先作出函數(shù)的圖象，再觀察其最高點、最低點，求出最值.(3)均值不等式法：先對解析式變形，使之具備“一正二定三相等”的條件后用均值不等式求出最值.(4)解不等式法：創(chuàng)建目標的不等式，求解其范圍，求出最值.考點六、利用單調(diào)性比較函數(shù)值的大小例6（2021·四川遂寧市·高三三模（文））已知函數(shù)，若，則（）A．B．C．D．【答案】D【詳解】解：是上的減函數(shù)，是上的減函數(shù)，是上的減函數(shù)，，，，，．故選：．對點訓練1．(2021·安徽合肥模擬)若2x＋5y≤2－y＋5－x，則有()A．x＋y≥0 B．x＋y≤0C．x－y≤0 D．x－y≥0【答案】B【解析】原不等式可化為2x－5－x≤2－y－5y，記函數(shù)f(x)＝2x－5－x，則原不等式可化為f(x)≤f(－y)．又函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增，所以x≤－y，即x＋y≤0.對點訓練2．（2021·安徽省泗縣第一中學高三其他模擬（理））已知，且，則下列式子中正確的是（）A． B． C． D．答案：D【分析】設，求出導數(shù)可得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，從而可判斷A,B選項，設，求出其導數(shù)，得出單調(diào)性，可判斷C，D選項，得出答案.【詳解】設，則所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增.所以當，時，不能判斷出與的大小.所以選項A,B都不正確.設.則，由，得，，得，所以在上函數(shù)單調(diào)遞增，在函數(shù)單調(diào)遞減，因為，且，，即.所以選項C不正確，線線D正確.故選：D.考點七、單調(diào)性與奇偶性結(jié)合使用例7．已知函數(shù)滿足，且對任意的，都有，則滿足不等式的的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】根據(jù)題意可知，可轉(zhuǎn)化為，所以在[0，+∞)上是增函數(shù)，又，所以為奇函數(shù)，所以在R上為增函數(shù)，因為，，所以，所以，解得，即x的取值范圍是.對點訓練1．已知偶函數(shù)y=f(x)在區(qū)間上是減函數(shù)，則下列不等式一定成立的是（）A． B．C． D．【答案】D【詳解】因為偶函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(﹣∞，0]上是減函數(shù)，所以f(x)在(0，+∞)上是增函數(shù)，對于A，f(﹣3)=f（3），0<2<3，所以f（2）<f（3）=f(﹣3)，故A錯誤；對于B，f(﹣2)=f（2），2>1>0，所以f(﹣2)=f（2）>f（1），故B錯誤；對于C?D，f(﹣1)=f（1），0<1<2，所以f(﹣1)=f（1）<f（2），故C錯誤，D正確.故選：D.對點訓練2．已知函數(shù)，則滿足的x的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因為，所以，即為偶函數(shù)，當時，單調(diào)遞增，且，可得，即，所以，即.所以，解得.故選：D.對點訓練3．已知定義域為R的偶函數(shù)y＝f（x）﹣3x在[0，+∞）單調(diào)遞增，若f（m）+3≤f（1﹣m）+6m，則實數(shù)m的取值范圍是（）A．（﹣∞，2] B．[2，+∞） C．[，+∞） D．（﹣∞，]【答案】D【詳解】設，由題意可知函數(shù)為偶函數(shù)，并且在[0，+∞）單調(diào)遞增，由，得，即，所以，因為在[0，+∞）單調(diào)遞增，所以，兩邊平方得，解得，所以實數(shù)m的取值范圍是（﹣∞，]，故選：D鞏固訓練一、單選題1．（2021·全國高三其他模擬（理））已知函數(shù)的定義域為，，是偶函數(shù)，任意滿足，則不等式的解集為（）A． B．C． D．【答案】D【分析】由是偶函數(shù)，得函數(shù)圖像關(guān)于直線對稱，結(jié)合單調(diào)性求解不等式即可得到結(jié)果.【詳解】因為是偶函數(shù)，所以的圖像關(guān)于直線對稱，則，因為任意滿足，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故等價于，解得.故選：D2．（2020·北京東城區(qū)·高三期中）下列函數(shù)圖象中，滿足的只可能是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】由題意結(jié)合函數(shù)圖象的特征逐項判斷即可得解.【詳解】對于A，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以不滿足，故A錯誤；對于B，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以不滿足，故B錯誤；對于C，函數(shù)圖象開口朝上，且對稱軸為，所以，故C錯誤；對于D，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故可能滿足，故D正確.故選：D.3．（2020·江西吉安市·高三月考（文））下列函數(shù)中，在其定義域上是減函數(shù)的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】對選項逐一分析函數(shù)的定義域和單調(diào)性，由此判斷出正確選項.【詳解】對于A選項，的定義域為，在定義域上沒有單調(diào)性，不符合題意.對于B選項，，定義域為，在定義域上沒有單調(diào)性，不符合題意.對于C選項，的定義域為，在上遞增，不符合題意.對于D選項，的定義域為，在上遞減，符合題意.故選：D【點睛】本小題主要考查函數(shù)的定義域和單調(diào)性，屬于基礎題.4．（2018·浙江嘉興市·高三月考）已知，函數(shù)在上的最大值是5，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】先由題意得到，分別討論，，三種情況，即可求出結(jié)果.【詳解】因為在上單調(diào)遞減，因此；若，則的最大值為，符合題意；若時，的最大值為與中較大的，由，即，解得，顯然時，的最大值為，時，的最大值不為定值．綜上可得：時，在上的最大值是.故選A【點睛】本題主要考查由函數(shù)的最值求參數(shù)的問題，熟記函數(shù)單調(diào)性，靈活運用分類討論的思想即可，屬于常考題型.5．（2021·重慶一中高三其他模擬）已知函數(shù)在定義域上單調(diào)，且，則的值為（）A．3 B．1 C．0 D．﹣1【答案】A【分析】先求出函數(shù)的解析式，將代入計算即可.【詳解】因為函數(shù)在定義域上單調(diào)，且，所以為常數(shù)，不妨設，則由得，解得：，所以，所以.故選：A6．（2021·四川高三三模（文））已知函數(shù)，記，，，則（）A． B．C． D．【答案】D【分析】先判斷出的單調(diào)性，分別判斷出a、b、c的范圍，利用單調(diào)性比較a、b的大小，即可得到結(jié)論.【詳解】，，令，解得：；令，解得：，所以在上單增，在上單減；因為，所以，所以;因為,,所以，所以.故選：D7．（2020·遼寧撫順市·高三月考（文））已知函數(shù)在上是減函數(shù)，則的取值范圍是（）.A． B． C． D．【答案】B【分析】求出的導函數(shù)，由函數(shù)在上是減函數(shù)，得到導函數(shù)恒小于0，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求解函數(shù)的最小值，推出結(jié)果即可．【詳解】解：由，得到，因為在上是減函數(shù)，所以在上恒成立，所以，，，，所以，則的取值范圍是．故選：B．【點睛】本題考查學生會利用導函數(shù)的正負判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，靈活運用二次函數(shù)的性質(zhì)解決實際問題，屬于中檔題．8．（2021·安徽高三一模（文））意大利著名天文學家伽利略曾錯誤地猜測鏈條自然下垂時的形狀是拋物線．直到1690年，雅各布·伯努利正式提出該問題為“懸鏈線”問題并向數(shù)學界征求答案．1691年他的弟弟約翰·伯努利和菜布尼茲、惠更斯三人各自都得到了正確答案，給出懸鏈線的數(shù)學表達式——雙曲余弦函數(shù)：（為自然對數(shù)的底數(shù)）．當，時，記，，，則，，的大小關(guān)系為（）．A． B． C． D．【答案】C【分析】先利用導數(shù)證明函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，再結(jié)合單調(diào)性比較大小即可.【詳解】由題意知，，當時，，即函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，，即故選：C【點睛】關(guān)鍵點睛：解決本題的關(guān)鍵是利用導數(shù)證明函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合單調(diào)性比較大小.二、多選題9．（2020·山東高三期末）已知函數(shù)，，則以下結(jié)論錯誤的是（）A．任意的，且，都有B．任意的，且，都有C．有最小值，無最大值D．有最小值，無最大值【答案】ABC【分析】根據(jù)與的單調(diào)性逐個判定即可.【詳解】對A,中為增函數(shù),為減函數(shù).故為增函數(shù).故任意的,且,都有.故A錯誤.對B,易得反例,.故不成立.故B錯誤.對C,當因為為增函數(shù),且當時,當時.故無最小值,無最大值.故C錯誤.對D,,當且僅當即時等號成立.當時.故有最小值,無最大值.故選：ABC【點睛】本題主要考查了函數(shù)的單調(diào)性與最值的判定,需要根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)分析.屬于基礎題.10．（2022·全國高三專題練習）一般地，若函數(shù)的定義域為，值域為，則稱為的“倍跟隨區(qū)間”；若函數(shù)的定義域為，值域也為，則稱為的“跟隨區(qū)間”.下列結(jié)論正確的是（）A．若為的跟隨區(qū)間，則B．函數(shù)存在跟隨區(qū)間C．若函數(shù)存在跟隨區(qū)間，則D．二次函數(shù)存在“3倍跟隨區(qū)間”【答案】ABCD【分析】根據(jù)“倍跟隨區(qū)間”的定義,分析函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的最值與取值范圍逐個判斷即可.【詳解】對A,若為的跟隨區(qū)間,因為在區(qū)間為增函數(shù),故其值域為,根據(jù)題意有,解得或,因為故.故A正確；對B,因為函數(shù)在區(qū)間與上均為減函數(shù),故若存在跟隨區(qū)間則有,解得：.故存在,B正確.對C,若函數(shù)存在跟隨區(qū)間,因為為減函數(shù),故由跟隨區(qū)間的定義可知,即,因為,所以.易得.所以,令代入化簡可得,同理也滿足,即在區(qū)間上有兩根不相等的實數(shù)根.故,解得,