歷年高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽真題分類匯編17三角函數(shù)與解三角形

1/2歷年高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽真題分類匯編專題17三角函數(shù)與解三角形第四緝1．【2016年新疆預(yù)賽】函數(shù)fx【答案】3【解析】依題意知f=?2sin又sinx∈0,1，故當(dāng)sinx=2．【2016年新疆預(yù)賽】設(shè)△ABC的∠A、∠B、∠C的對(duì)邊分別為【答案】9【解析】由余弦定理得a??a從而，由正弦定理得tanA3．【2016年四川預(yù)賽】若實(shí)數(shù)α、【答案】?【解析】設(shè)β=2a，由sin??cos若cosα=1，則sin從而，cosα=?4．【2016年江西預(yù)賽】如圖,P為正方形ABCD內(nèi)切圓上的一點(diǎn),記∠APC=α,∠BPD=β則【答案】8【解析】如圖,建立直角坐標(biāo)系.設(shè)圓方程為x則正方形頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A若Prcosθ,rsinθ,則直線PA、PB、PC、PD的斜率分別為kPA=1+sinθ1+故tantan因此tan25．【2016年江西預(yù)賽】設(shè)x為銳角.則函數(shù)y=sin【答案】4【解析】由y=si?當(dāng)cos26．【2016年湖南預(yù)賽】方程16sin【答案】{1【解析】當(dāng)x>0時(shí)，16x+18≥8又16sinπ當(dāng)且僅當(dāng)x=14+k(k∈Z)于是，當(dāng)x>0時(shí)，方程只有解x=1由奇函數(shù)的性質(zhì)，知x=?1故方程的解集為{17．【2016年甘肅預(yù)賽】已知函數(shù)f(x)=sinωx+cosωx(ω>0),x∈R,若函數(shù)f(x)在區(qū)間(?ω,ω)內(nèi)單調(diào)遞增,且函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線【答案】π【解析】由f(x)在區(qū)間(?ω,ω)內(nèi)單調(diào)遞增,且f(x)的圖像關(guān)于直線x=ω對(duì)稱,可得2ω≤πω,且f(ω)=考點(diǎn):本題主要考查三角函數(shù)的性質(zhì).視頻8．【2016高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽（第01試）】設(shè)函數(shù)f(x)=sinkx104+coskx104，其中k是一個(gè)正整數(shù).若對(duì)任意實(shí)數(shù)a【答案】16【解析】由條件知，f(x)==1?1其中當(dāng)且僅當(dāng)x=5mπk(m∈Z)時(shí)，f根據(jù)條件知，任意一個(gè)長(zhǎng)為1的開(kāi)區(qū)間(a，a+1)至少包含一個(gè)最大值點(diǎn)，從而5πk<1，即k>5反之，當(dāng)k>5π時(shí)，任意一個(gè)開(kāi)區(qū)間(a，a+1)均包含f(x)的一個(gè)完整周期，此時(shí){f(x)|a<x<a+1}={f(x)|x∈R}成立.綜上可知，正整數(shù)k的最小值為[5π]+1=16.9．【2015年全國(guó)】若，則__________．【答案】2【解析】由有，而，求出（負(fù)值舍去），所以。10．【2015年全國(guó)】設(shè)ω為正實(shí)數(shù).若存在a、b(π≤a<b≤2π【答案】ω∈[【解析】由sinωa+而[ωa,ωb]?[ωπ,2ωπωπ≤2k當(dāng)ω≥4時(shí)，區(qū)間[ωπ,2ωπ]的長(zhǎng)度不小于4π當(dāng)0<ω<4時(shí)，注意到，[ωπ故只要考慮如下幾種情形：（1）ωπ≤π2<（2）ωπ≤5（3）ωπ≤9綜上，并注意到ω≥4也滿足條件，知ω∈[9故答案為：ω∈[11．【2015年浙江預(yù)賽】若16sin2x【答案】?【解析】設(shè)t=16則16cos代入原方程得t+16解得sin2從而，cos4x=?12．【2015年上海預(yù)賽】已知cosθ+π4<3sin【答案】?π,?【解析】注意到，cos?2由fxf???π≤θ<?13．【2015年上海預(yù)賽】有一個(gè)單擺，在夏季擺的周期T=1秒，到了冬季，擺長(zhǎng)縮短了0.01厘米.在冬季這只單擺在24小時(shí)中比在冬季大約快______秒（精確到1秒）.注：?jiǎn)螖[周期公式為T=2πl(wèi)g，其中，周期T的單位為秒，擺長(zhǎng)l的單位為厘米，重力加速度g=980厘米/秒【答案】17【解析】將T=1秒代入公式得夏季擺長(zhǎng)l=T冬季擺長(zhǎng)l'=l?0.01≈24.814厘米，冬季擺的周期T'=2πl(wèi)'故24小時(shí)內(nèi)冬季擺比夏季的快約為24×60×T?T'14．【2015年新疆預(yù)賽】已知n為正整數(shù).則lg12【答案】5【解析】由三角不等式得lgnlgn則7512由n為整數(shù)，知n2故7≤n于是，n的取值可以為4,5,?,12注意到，函數(shù)fn=n故f4從而，fn因此，lg1215．【2015年新疆預(yù)賽】已知α、β均為銳角，且1+tanα1+【答案】π【解析】由已知得tan?tan因?yàn)棣?、β?,π216．【2015年四川預(yù)賽】設(shè)x+sinx?cos【答案】?1【解析】由x+sinx?cosx?1=0由2cosy?2y+π+4=0，得設(shè)fx=x+sin故fx由式①、②得f?2x?y=?π17．【2015年安徽預(yù)賽】設(shè)a為實(shí)數(shù)，且關(guān)于x的方程a+cosxa?【答案】?1?【解析】設(shè)u=a+cos方程有實(shí)根?雙曲線uv=1與圓u?a2注意到，圓心位于直線y=x之上，只需找到圓與雙曲線相切時(shí)圓心的位置即可.當(dāng)圓與雙曲線切于點(diǎn)A1,1時(shí)，a=1+當(dāng)圓與雙曲線切于點(diǎn)B?1,?1時(shí)，a=?1±因此，a的取值范圍是?1?218．【2015年陜西預(yù)賽】已知sinα+3sin【答案】0【解析】將已知兩式平方相加得:4+2319．【2015年陜西預(yù)賽】在△ABC中，若tanA2+【答案】3【解析】由題設(shè)知tanC當(dāng)且僅當(dāng)tanA故tanC2的最小值為20．【2015年山西預(yù)賽】若sinα+cosα=【答案】7【解析】由條件得2sin?sin?sin21．【2015年山東預(yù)賽】方程sin【答案】x=kx+【解析】由方程得：sin?cosx=0,sinx=±1，?x=kπ+π22．【2015年山東預(yù)賽】在△ABC中,∠A<∠B<∠C,sinA+sinB+sinCcosA+cosB+cosC=3【答案】π【解析】由已知得：sinA?3?sina+sinβ+sinγ=0,其中,a=∠A?π則2sin?4sin故∠A、∠B、∠C中至少有一個(gè)為π3又∠A<∠B<∠C,從而,∠B=π23．【2015年江西預(yù)賽】求值＝【答案】【解析】解：因?yàn)?4．【2015年江蘇預(yù)賽】函數(shù)fx【答案】?【解析】注意到f2當(dāng)且僅當(dāng)3?3sinx=1+sin從而，當(dāng)sinx=12當(dāng)sinx=12故函數(shù)fx的值域?yàn)?25．【2015年江蘇預(yù)賽】設(shè)△ABC的外心為O，內(nèi)心為I，∠B=45°.若OI∥BC，則cosC的值為_(kāi)________.【答案】1?【解析】設(shè)△ABC的外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑分別為R，r.記BC的中點(diǎn)為M，D為由點(diǎn)I向BC所作垂線的垂足.因?yàn)镺I∥BC，所以，ON=ID=r.由∠BOC=2∠A,?r?cosA=4sin26．【2015年吉林預(yù)賽】已知函數(shù)fx=sinωx+π2?【答案】0,【解析】由題意可得：fx由最小正周期公式可得：2π2ω=π，則ω=1，函數(shù)的解析式為∵x∈0,函數(shù)的值域fx27．【2015年湖南預(yù)賽】已知三邊為連續(xù)自然數(shù)的三角形的最大角是最小角的兩倍.則該三角形的周長(zhǎng)為_(kāi)_________.【答案】15【解析】設(shè)ΔABC的三邊長(zhǎng)AB=n+1，BC=n，AC=n?1，邊AC所對(duì)的角θ，邊據(jù)正弦定理、余弦定理，分別有n?1sinθcosθ=n+1由①、②得n+1n?1故三角形的周長(zhǎng)為15.28．【2015年湖北預(yù)賽】已知頂角為20°的等腰三角形的底邊長(zhǎng)為a，腰長(zhǎng)為b.則a3【答案】3【解析】由已知得a=2bsin故a?a29．【2015年湖北預(yù)賽】已知點(diǎn)P在RtΔABC所在的平面內(nèi)，∠BAC=90°，∠CAP為銳角，且AP【答案】2【解析】設(shè)∠CAP=α.由題意知∠BAP=π由AP??AB=sin≥2cos當(dāng)且僅當(dāng)cos2α4sin2α=30．【2015年黑龍江預(yù)賽】已知x、y∈?π4,π【答案】1【解析】聯(lián)立方程，消去a得31．【2015年河南預(yù)賽】設(shè)f(x)=sin【答案】8【解析】由已知得f'接下來(lái)證明6?則6?π2易知，p't在區(qū)間0,π2上遞增，在區(qū)間π又p0=0,p'0>0,從而，fx為區(qū)間0,1由琴生不等式，知當(dāng)x∈0,1時(shí)，故gx≥8，等式根號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)因此，所求gx32．【2015年甘肅預(yù)賽】已知△ABC的外接圓半徑為R,且2Rsin2A?sin2C【答案】45【解析】題設(shè)等式結(jié)合正弦定理得：a2?a?cos?∠C=45°.33．【2015年福建預(yù)賽】若sinπ9+【答案】4【解析】注意到，2?tan?n=9k+4k∈Z故正整數(shù)n的最小值為4.34．【2015高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽（第01試）】若實(shí)數(shù)α滿足cosα=tanα，則1sinα【答案】2【解析】由條件知cos2α=sin得1sin35．【2015高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽（第01試）】設(shè)ω為正實(shí)數(shù)，若存在a,b(π?a<b?2π)，使得sinωa+sinωb=2，則ω的取值范圍是 【答案】9【解析】由sinωa+sinωb=2知sin故題目條件等價(jià)