高中數(shù)學(xué)第1章空間向量與立體幾何1.2空間向量基本定理課件新人教版選修1

1.2

空間向量基本定理課前·基礎(chǔ)認(rèn)知課堂·重難突破素養(yǎng)·目標(biāo)定位隨堂訓(xùn)練素養(yǎng)?目標(biāo)定位目標(biāo)素養(yǎng)1.了解空間向量基本定理及其意義.2.掌握空間向量的正交分解.3.會(huì)用空間向量基本定理解決一些簡(jiǎn)單問(wèn)題.4.通過(guò)本節(jié)課學(xué)習(xí),提升學(xué)生直觀想象、邏輯推理的核心素養(yǎng).知識(shí)概覽課前·基礎(chǔ)認(rèn)知1.空間向量基本定理(1)定理:如果三個(gè)向量a,b,c

不共面

,那么對(duì)任意一個(gè)空間向量p,存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x,y,z),使得p=xa+yb+zc.

(2)基底:如果三個(gè)向量a,b,c不共面,那么所有空間向量組成的集合就是

{p|p=xa+yb+zc,x,y,z∈R}

.這個(gè)集合可看作由向量a,b,c生成的,我們把

{a,b,c}

叫做空間的一個(gè)基底,a,b,c都叫做基向量.空間任意三個(gè)不共面的向量都可以構(gòu)成空間的一個(gè)基底.

微判斷

判斷.(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)(1)空間向量的基底是唯一的.(

)(2)若a,b,c是空間向量的一組基底,則a,b,c均為非零向量.(

)(3)已知A,B,M,N是空間四點(diǎn),若

不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底,那么A,B,M,N共面.(

)(4)若{a,b,c}是空間的一個(gè)基底,且存在實(shí)數(shù)x,y,z使得xa+yb+zc=0,則有x=y=z=0.(

)×√√√2.空間向量的正交分解(1)單位正交基底:如果空間的一個(gè)基底中的三個(gè)基向量?jī)蓛纱怪?且長(zhǎng)度都為

1

,那么這個(gè)基底叫做單位正交基底,常用{i,j,k}表示.

(2)正交分解:把一個(gè)空間向量分解為三個(gè)

兩兩垂直

的向量,叫做把空間向量進(jìn)行正交分解.

課堂·重難突破一

空間基底的判斷典例剖析

規(guī)律總結(jié)判斷三個(gè)向量能否構(gòu)成空間的一個(gè)基底的關(guān)鍵是判斷這三個(gè)向量是否共面,若共面,則不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底;若不共面,則能構(gòu)成空間的一個(gè)基底.判斷三個(gè)向量是否共面,往往先假設(shè)共面,再利用向量共面的充要條件及已知條件進(jìn)行判斷.學(xué)以致用1.(多選題)設(shè)x=a+b,y=b+c,z=c+a,且{a,b,c}是空間的一個(gè)基底.給出下列向量組,其中可以構(gòu)成空間的基底的有(

)A.{a,b,x} B.{x,y,z}C.{b,c,z} D.{x,y,a+b+c}答案:BCD由A,B1,D1,C四點(diǎn)不共面可知,向量x,y,z不共面,故{x,y,z}可以構(gòu)成空間的一個(gè)基底.同理可知b,c,z和x,y,a+b+c也不共面,故{b,c,z}和{x,y,a+b+c}可以作為空間的基底.因?yàn)閤=a+b,所以a,b,x共面,故{a,b,x}不能作為空間的一個(gè)基底.二

用基底表示空間向量典例剖析2.在四面體OABC中,G,H分別為△ABC,△OBC的重心,D為BC的中點(diǎn),設(shè)規(guī)律總結(jié)用基底表示向量時(shí)的注意事項(xiàng)

(1)若基底確定,則要充分利用向量的三角形法則或平行四邊形法則,以及向量的線性運(yùn)算進(jìn)行變形、化簡(jiǎn),求出結(jié)果.

(2)若沒(méi)給定基底,則要先選擇基底,再用基底表示向量.學(xué)以致用

B三

空間向量基本定理的應(yīng)用典例剖析3.如圖,在空間四邊形OABC中,∠AOB=∠BOC=∠AOC=60°,且OA=OB=OC=1,M,N分別是OA,BC的中點(diǎn).求:(1)MN的長(zhǎng);(2)ON與CM所成角的余弦值.互動(dòng)探究(變問(wèn)法)本例其他條件不變,若G是MN的中點(diǎn),求證:OG⊥BC.規(guī)律總結(jié)用向量法求異面直線所成角的步驟:學(xué)以致用3.已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1的底面是邊長(zhǎng)為1的菱形,且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=,DD1=2.(1)證明:DD1⊥BD;(2)求CA1與AB所成角的余弦值.隨堂訓(xùn)練1.已知a,b,c是不共面的三個(gè)向量,則能構(gòu)成空間的一個(gè)基底的一組向量是(

)A.3a,a-b,a+2b B.2b,b-2a,b+2aC.a,2b,b-c D.c,a+c,a-c答案:C解析:對(duì)于A,有3a=2(a-b)+a+2b,則3a,a-b,a+2b共面,不能作為基底;同理可判斷B,D均不符合題意.故選C.答案:DA.鈍角三角形

B.銳角三角形C