2021全國中考真題分類匯編-三角形 特殊三角形

2021全國中考真題分類匯編（三角形）

---特殊三角形

一、選擇題

1.（2021?江蘇省揚州）如圖，在4x4的正方形網格中有兩個格點A、B,連接A3,在網格中再找一個

格點C,使得△ABC是等腰直曲三角形，滿足條件的格點C的個數是（）

2.（2021?山東省臨沂市）如圖，點A,8都在格點上，若BC=^亙，則AC的長為（）

A.5B.C.2萬D.3713

3

3.（2021?山西）在勾股定理的學習過程中，我們已經學會了運用以下圖形，驗證著名的勾股定理.這種根

據圖形直觀推論或驗證數學規(guī)律和公式的方法，簡稱為“無字證明實際上它也可用于驗證數與代數，圖形

與幾何等領域中的許多數學公式和規(guī)律，它體現(xiàn)的數學思想是（）

A.統(tǒng)計思想B.分類思想C.數形結合思想D.函數思想

4.（2021?浙江省杭州）已知線段48,按如下步驟作圖：①作射線AC,使ACLA&②悴4BAC的平分

線AD,③以點A為圓心,AB長為半徑作弧，交AD于E；④過點E作EPYAB于點P,則AP：AB=（）

Cl

幺片------------j-----“

A.1：B.1：2C.1：,\/3D.1：yfQ.

5.（2021?四川省樂山市）如圖，已知點尸是菱形A3CD的對角線AC延長線上一點，過點P分別作AD>

QC延長線的垂線，垂足分別為點E、若NA6C=12O。，A5=2，則PE—PE的值為（）

6.（2021?四川省自貢市）如圖，A（8,0）,C（-2,0）,以點A為圓心，AC長為半徑畫弧，交y軸正半軸于

點B，則點8的坐標為（）

A.（0,5）B.（5,0）C.（6,0）D.（0,6）

7.（2021?浙江省紹興市）如圖，菱形ABCD中，/B=60°,點P從點B出發(fā)，沿折線BC-C。方向移

動，移動到點。停止.在aAB尸形狀的變化過程中（）

D.

A.直角三角形一等邊三角形一等腰三角形一直角三角形

B.直角三角形一等腰三角形一直角三角形一等邊三角形

C.直角三角形一等邊三角形一直角三角形一等腰三角形

D.等腰三角形一等邊三角形一直角三角形一等腰三角形

8.（2021?新疆）如圖，在中，ZACB=90°,ZA=30°,AB=4，于點。，E

是48的中點，則OE的長為（）

C.3D.4

9.（2021?浙江省寧波市）如圖，在AA6c中，ZB=45°,NC=60°,AZ），3C于點。，BD=#）.若

則即的長為（）

A.叵B.也C.1

32D-T

10.（2021?甘肅省定西市）如圖1,在△ABC中，AB=BC,B￡>_LAC于點。（A￡>>8￡>）.動點/從A點

出發(fā)，沿折線AB-BC方向運動，運動到點C停止.設點M的運動路程為x,△AMQ的面積為y,y與x

的函數圖象如圖2,則AC的長為（）

11.（2021?廣西玉林市）圖（1）,在RhABC中，NA=90°,點尸從點A出發(fā)，沿三角形邊以1cm

/秒的速度逆時針運動一周，圖（2）是點P運動時，線段AP的長度》（cm）隨運動時間x（秒）變化的

關系圖象，則圖（2）中P點的坐標是（）

A.(13,4.5)B.(13,4.8)

C.(13,5)D.(13,5.5)

12.（2021?江蘇省無錫市）在RtZ\ABC中，ZA=90°,AB=6,AC=8,點尸是△ABC所在平面內一點，

則抬2+PB2+PC2取得最小值時，下列結論正確的是（）

A.點P是aABC三邊垂直平分線的交點

B.點P是△ABC三條內角平分線的交點

C.點P是△A8C三條高的交點

D.點P是aABC三條中線的交點

13.（2021?貴州省銅仁市）如圖，在故A48c中，ZC=90°,AB=10,8c=8,按下列步驟作圖:

步驟1：以點A為圓心，小于AC的長為半徑作弧分別交AC、43于點。、E.步驟2：分別以點。、

E為圓心，大于1。后的長為半徑作弧，兩弧交于點M.步驟3：作射線AM交3C于點則AF的

2

長為（)

A.6B.375C.48D.6丘

14.（2021?襄陽市）我國古代數學著作《九章算術》中記載了一個問題：“今有池方一丈，葭（j/a）生其

中，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊.間水深幾何."（丈、尺是長度單位，1丈=10尺，）其大意為：有

一個水池，水面是一個邊長為10尺的正方形，在水池正中央有一根蘆葦，它高出水面1尺.如果把這根蘆

葦拉向水池一邊的中點，它的頂端恰好到達池邊的水面，水的深度是多少？則水深為（）

A.10尺B.11尺C12尺D.13尺

15.（2021?吉林省長春市）在△ABC中，N8AC=90°,AB^AC.用無刻度的直尺和圓規(guī)在BC邊上找一

點。，使△ACQ為等腰三角形.下列作法不正確的是（）

16.（2021?湖北省黃石市）如圖，在RtaABC中，ZACB=90°,按以下步驟作圖：①以B為圓心，任意長

為半徑作弧，分別交BA、BC于M、N兩點；②分別以M、N為圓心，以大于‘MN的長為半徑作弧，兩弧相交

2

于點P;③作射線BP,交邊AC于D點.若AB=10,BC=6,則線段CD的長為（）

10816

A.3B.C.D.

335

17.（2021?綏化市）已知在心AACB中，ZC=90°,ZABC=75°,AB=5.點E為邊AC上的動點,

點F為邊A3上的動點，則線段五￡+￡3的最小值是（）

A,史BC.亞D.G

2-I

18.（2021?遼寧省本溪市）如圖，在AABC中，4B=BC,由圖中的尺規(guī)作圖痕跡得到的射線BD與AC

交于點E,點尸為的中點，連接上戶，若BE=AC=2,則的周長為（）

y/5+3C.75+1D.4

二.填空題

1.（2021?湖北省黃岡市）在Rt/XABC中，ZC=90°,NB=30°,適當長為半徑畫弧，分別交AC,F；

再分別以點￡尸為圓心尸的長為半徑畫弧，兩弧交于點8您豺線AO爻BC干點O,則BD與CD

2

的數量關系為:.

2.（2021?江蘇省蘇州市）如圖，在由ZiABC中，/C=90°.AF=EF.若NCFE=72°.則NB=▲°.

B

C

3.（2021?江蘇省揚州）如圖，在mAABC中，NACB=90°,點。是AB的中點，過點。作。EL8C,

垂足為點E,連接CO,若CD=5,5c=8,則?！?.

4.（2021?湖南省婁底市）如圖，8c中，46=4。=2,尸是8。上任意一點，PELAB于點

E,PF，AC于點凡若S4ABC=1，則PE+PF=.

5.（2021?四川省成都市）如圖，數字代表所在正方形的面積，則A所代表的正方形的面積為.

6.（2021?四川省眉山市）如圖，ZVIBC中，AB=AC=5,8C=6,A￡＞平分NBAC交BC于點。，分別以

點A和點C為圓心，大于L1C的長為半徑作弧，兩弧相交于點M和點M作直線MN,交AO于點E,

2

則DE的長為

7.（2021?浙江省杭州）如圖，在直角坐標系中，以點A（3,1）,AC,AD（1,1）,點C（1,3）,點D

（4,4）（5,2）,則NBACZDAE（填中的一個）.

8.（2021?浙江省紹興市））如圖，在△A8C中，A8=AC,ZABC=70°,以點C為圓心，CA長為半徑作

弧，交直線BC于點P,連結4P,則N84P的度數是.

9.（2021?江蘇省鹽城市）如圖，在Rt/SABC中，CD為斜邊AB上的中線，若CD=2,則AB=

10.（2021?齊齊哈爾市）若直角三角形其中兩條邊的長分別為3,4,則該直角三角形斜邊上的高的長為

11.（2021?貴州省銅仁市）如圖，將邊長為1的正方形ABCD繞點A順時針旋轉30。到AAGQ的位置,

則陰影部分的面積是

12.（2021?深圳）如圖，已知N84C=60°,是角平分線且A￡>=10,作AD的垂直平分線交AC于

點F,作則△0EF周長為.

13.（2021?江蘇省南京市）如圖，在四邊形A6CO中，AB=BC=BD.設NA6C=a,則ZADC=

______（用含a的代數式表示）.

14.（2021?廣西賀州市）如圖，一次函數y=x+4與坐標軸分別交于A,3兩點，點P,C分別是線

段A3，OB上的點，且ZOPC=45°,PC=PO,則點P的標為.

三、解答題

1.（2021?江西省）如圖，在△A8C中，/A=40°,ZABC=80°,BE平分/ABC交AC于點E,ED

_L4B于點￡）,求證：AD=BD.

2.（2021?浙江省杭州）如圖，在△A8C中，NABC的平分線80交AC邊于點力，NC=45°.

（1）求證：AB=BD；

（2）若AE=3,求△ABC的面積.

3.（2021?長沙市）如圖，在△A8C中，ADL8C,垂足。，80=CD,延長至E,使得C￡=C4,

連接AE.

(1)求證：ZB=ZACB-.

(2)若AB=5,4)=4,求/XABE的周長和面積.

答案

一、選擇題

1.（2021?江蘇省揚州）如圖，在4x4的正方形網格中有兩個格點A、B,連接A3，在網格中再找一個

格點C,使得△ABC是寫曖亶革三角形，滿足條件的格點C的個數是（）

【答案】B

【解析】

【分析】根據題意，結合圖形，分兩種情況討論：①AB為等腰直角△ABC底邊；②AB為等腰直角△ABC

其中的一條腰.

【詳解】解：如圖：分情況討論：

①AB為等腰直角△A8C底邊時，符合條件的C點有0個；

②A8為等腰直角△A8C其中的一條腰時，符合條件的C點有3個.

故共有3個點，

故選：B.

2.（2021?山東省臨沂市）如圖，點A,8都在格點上，若8c=2Z亙，則AC的長為（）

B.............................

A.Vl3B.C.2VI3D.3VT3

3

【分析】根據勾股定理可以得到AB的長，然后由圖可知AC=4B-BC,然后代入數據計算即可.

【解答】解：由圖可得，

AB=4鏟+&2=V36+16=V^2=2^/13>

:BC=

3__

：.AC^AB-BC=2yfu-20^,=當垣,

33

故選：B.

3.（2021?山西）在勾股定理的學習過程中，我們已經學會了運用以下圖形，驗證著名的勾股定理.這種根

據圖形直觀推論或驗證數學規(guī)律和公式的方法，簡稱為“無字證明實際上它也可用于驗證數與代數，圖形

與幾何等領域中的許多數學公式和規(guī)律，它體現(xiàn)的數學思想是（C）

A.統(tǒng)計思想B.分類思想C.數形結合思想D.函數思想

4.（2021?浙江省杭州）已知線段AB,按如下步驟作圖：①作射線AC,使ACLAB；②忤4BAC的平分

線AD,③以點A為圓心,AB長為半徑作弧，交AD于E；④過點E作EP1AB于點P,則4P：A8=（）

Cl

cpu

A.I：B.I：2C.1：,\/3D.1：yfQ.

【分析】直接利用基本作圖方法得出AP=PE,再結合等腰直角三角形的性質表示出AE/P的長，即可得

出答案.

【解答】解：?.?ACLAB,

：.ZCAB=90°,

：A。平分NBAC,

，/EA8=2X90°=45°,

2

'：EP±AB,

.,.N4PE=90°,

：.ZEAP=ZAEP=45a,

：.AP=PE,

.?.設AP=PE=x,

故AE=AB--\[7x,

.".AP：AB=x:-\[2x=1:

故選：D.

5.（2021?四川省樂山市）如圖，已知點P是菱形A6C。的對角線AC延長線上一點，過點P分別作AO、

【答案】B

【解析】

【分析】根據菱形的基性質，得到/附E=30。，，利用勾股理求出AC=26,則4P=2g+PC,PE^^AP=

y[3+-PC,由/Pb=/OC4=30°,得至iJPgLpC,最后算出結果.

22

【詳解】解：???四邊形"CO是菱形且NA8C=120。，A8=2,

：.AB=BC=CD=DA=2fZBAD=60°,ACLBD,

；?NCAE=30°,

9

'.AC±BD,ZCAE=30°fAD=2,

???AC=2V^P=26，

：.AP=2y/3+PC,

在直角中，

VZB4￡=30°,AP=26+PC，

：.PE=^AP=y/3+-^PC,

在直角△「入?中，

VZPCF=30°,

：.PF=—PC,

2

，PE-PF=A；PC-gpC=5

故選：B.

6.（2021?四川省自貢市）如圖，4（8,0）,C（—2,0）,以點A為圓心，AC長為半徑畫弧，交y軸正半軸于

點8,則點2的坐標為（）

A.（0,5）B.（5,0）C.（6,0）D.（0,6）

【答案】D

【解析】

【分析】先根據題意得出OA=8,OC=2,再根據勾股定理計算即可

【詳解】解：由題意可知：AC=AB

VA（8,0）,C（-2,0）

：.OA=S,OC=2

.*.AC=AB=10

在Rt^OAB中，OB=7AB2-（9A2=V102-82=6

6）

故選：D

7.（2021?浙江省紹興市）如圖，菱形ABC。中，NB=60°,點P從點B出發(fā)，沿折線BC-C。方向移

動，移動到點。停止.在AAB尸形狀的變化過程中（）

A.直角三角形分等邊三角形一等腰三角形一直角三角形

B.直角三角形一等腰三角形一直角三角形一等邊三角形

C.直角三角形一等邊三角形一直角三角形一等腰三角形

D.等腰三角形一等邊三角形-直角三角形一等腰三角形

【分析】把點尸從點8出發(fā)，沿折線BC-C。方向移動的整個過程，逐次考慮確定三角形的形狀即可。

【解答】解：：/8=60°,故菱形由兩個等邊三角形組合而成，

當APLBC時，此時△ABP為等腰三角形；

當點P到達點C處時，此時△A8P為等邊三角形；

當點P在CQ上且位于AB的中垂線時，則△ABP為等腰三角形；

當點P與點。重合時，此時△ABP為等腰三角形，

故選：C.

8.（2021?新疆）如圖，在四△ABC中，ZACB=90°，NA=30°,AB=4，C￡）J_A8于點O,E

是A8的中點，則。E的長為（）

【答案】A

9.（2021?浙江省寧波市）如圖，在△MC中，ZB=45°,NC=60°,AZ），3C于點。，BD=6若

A.且B.3C.1D.逅

322

【答案】C

【解析】

【分析】根據條件可知△AB。為等腰直角三角形，則BO=AO,△ADC是30°、60°的直角三角形，可求

Ar

出AC長，再根據中位線定理可知無尸二——o

2

【詳解】解：因為AO垂直3C,

則△ABO和△AC。都是直角三角形,

又因為NB=45°,NC=60。，

所以AD=BD=yfi，

,萬A。>/3

因為sinZC=---=,

AC2

所以AC=2,

因為EF為△ABC的中位線，

…AC

所以*——二］,

2

故選：C.

10.（2021?甘肅省定西市）如圖1,在△4BC中，AB=BC,BO_LAC于點。（AD>BD）.動點M從A點

出發(fā)，沿折線48fBe方向運動，運動到點C停止.設點M的運動路程為x,的面積為y,y與x

的函數圖象如圖2,則AC的長為（）

【分析】先根據AB=8C結合圖2得出48=任，進而利用勾股定理得，AD2+Biy^l3,再由運動結

合△AQM的面積的變化，得出點M和點8重合時，△AOM的面積最大，其值為3,即

2

進而建立二元二次方程組求解，即可得出結論.

【解答】解：由圖2知，AB+BC=2-/l3,

'：AB=BC,

?'-AB—y/13,

'：AB=BC,BD1.BC,

：.AC=2AD,NAOB=90°,

在Rt/\ABD中,AD2+BD2=AB2=13①，

設點M到AC的距離為"，

-'.S^ADM=-AD'h,

?動點M從A點出發(fā)，沿折線AB-BC方向運動，

當點M運動到點8時，△AOM的面積最大，即〃=8￡>,

由圖2知，的面積最大為3,

-AD'BC^3,

2

：.AD'BD=6?,

①+2X②得，AD2+BD2+240^0=13+2X6=25,

：.（AD+BD）2=25,

：.AD+BD^5（負值舍去），

：.BD=5-AD@,

將③代入②得，AD（5-AD）=6,

；.4。=3或AO=2,

"：AD>BD,

：.AD=3,

：.AC=2AD=6,

故選:B.

11.（2021?廣西玉林市）圖（1）,在RhABC中，NA=90。，點P從點A出發(fā)，沿三角形邊以1cm

/秒的速度逆時針運動一周，圖（2）是點尸運動時，線段AP的長度y（cm）隨運動時間X（秒）變化的

關系圖象，則圖（2）中尸點的坐標是（）

A.(13,4.5)B.(13,4.8)

C.(13,5)D.(13,5.5)

【答案】c

12.（2021?江蘇省無錫市）在RtZ\ABC中，NA=90°,4B=6,AC=8,點P是△ABC所在平面內一點,

則以2+PB2+PC2取得最小值時，下列結論正確的是（)

A.點P是aABC三邊垂直平分線的交點

B.點P是△ABC三條內角平分線的交點

C.點尸是aABC三條高的交點

D.點P是aABC三條中線的交點

【分析】過P作PO_LAC于。，過P作PE_LAB于E,延長CP交AB于M,延長BP交4c于N,設AO

=PE=x,AE=DP=y,則AP2+CP1+BP2=3(x-2)2+3(y-A)2+^M,當x=2,y=當寸，AP2+CP2+BP2

333

的值最大，此時AZ)=PE=2,AE=PD=&由迪=2C,得AM=4,M是A8的中點，同理可得AN

3PDCD

=」AC,N為AC中點，即P是AABC三條中線的交點.

2

【解答】解：過P作P￡>_LAC于。，過P作PE_LAB于E,延長CP交AB于M,延長BP交AC于N,

如圖：

四邊形4EP。是矩形，

設AO=PE=x,AE=DP=y,

RtZ\AEP中，人產=/+丫2,

為△COP中，3=(6-x)2+y2,

《△8EP中，8尸=/+(8-y)2,

.".AP2+CP2+BP2=x1+y2+(6-x)1+yi+j?+(8-y)2

=3/-12X+3)2-16y+100

=3(x-2)2+3(j-&)2+.20Q,

33

；.x=2,y=a時，4尸+。尸+8尸的值最大，

-3

此時A￡>=PE=2,AE=PD=&,

3

；/A=90°,PDLAC,

：.PD//AB,

.AM=AC即迪=旦

"PDCD*'AT

3

；.AM=4,

：.AM=^AB,即M是AB的中點，

2

同理可得AN=LC,N為AC中點,

2

是AABC三條中線的交點，

故選：D.

13.（2021?貴州省銅仁市）如圖，在放A48C中，NC=90°,A6=10,8c=8,按下列步驟作圖:

步驟1：以點A為圓心，小于AC的長為半徑作弧分別交AC、AB于點。、E.步驟2：分別以點。、

E為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧交于點M.步驟3：作射線A〃交BC于點尸.則A尸的

2

長為（）

A.6B.375c.4GD.6&

【答案】B

14.（2021?襄陽市）我國古代數學著作《九章算術》中記載了一個問題：“今有池方一丈，葭。詁）生其

中，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊.間水深幾何.”（丈、尺是長度單位，I丈=10尺，）其大意為：有

一個水池，水面是一個邊長為10尺的正方形，在水池正中央有一根蘆葦，它高出水面1尺.如果把這根蘆

葦拉向水池一邊的中點，它的頂端恰好到達池邊的水面，水的深度是多少？則水深為（）

k-10—

A.10尺B.11尺C.12尺D.13尺

【答案】C

15.（2021?吉林省長春市）在△ABC中，/BAC=90°,ABHAC.用無刻度的直尺和圓規(guī)在BC邊上找一

點。，使△ACD為等腰三角形.下列作法不正確的是（）

【分析】根據等腰三角形的定義一一判斷即可.

【解答】解：4、由作圖可知A。是△ABC的角平分線，推不出△ADC是等腰三角形，本選項符合題意.

B、由作圖可知CA=C￡>,△AOC是等腰三角形，本選項不符合題意.

C、由作圖可知D4=C￡>,△AQC是等腰三角形，本選項不符合題意.

￡>、由作圖可知8￡>=C￡>,推出AD=OC=8￡）,△AOC是等腰三角形，本選項不符合題意.

故選：A.

16.（2021?湖北省黃石市）如圖，在RtZ\ABC中，ZACB=90°,按以下步驟作圖：①以B為圓心，任意長

為半徑作弧，分別交BA、BC于M、N兩點；②分別以M、N為圓心，以大于'MN的長為半徑作弧，兩弧相交

2

于點P;③作射線BP,交邊AC于D點.若AB=10,BC=6,則線段CD的長為（）

【答案】A

【解析】

【分析】由尺規(guī)作圖痕跡可知，8。是/ABC的角平分線，過。點作于H點，設。C=ZW=x則

AD=AC-DC=S-x,BC=BH=6,AH=AB-BH=4,在RtZ\AZ）H中，由勾股定理得到（8-工y=/+42,由此

即可求出x的值.

【詳解】解：由尺規(guī)作圖痕跡可知，8。是/A8C的角平分線,

過。點作于〃點，

D

N

?；NC=NDHB=90。,

:,DC=DH,

AC=\lAB2-BC2=4102-62=8'

DC=DH=x,貝|JAD=AC-DC=8-x,BC=BH=6,AH=AB-BH=4,

在Rt^AOH中，由勾股定理：AD2=AH2+DH2>

代入數據：（8-X）2=X2+42,解得X=3,故8=3,

故選：A.

17.（2021?綏化市）已知在RRACB中，NC=90°,NABC=75°,AB=5.點E為邊AC上的動點,

點F為邊A3上的動點，則線段FE+4的最小值是（）

A.—B.-C.石D.6

22

【答案】B

【解析】

【分析】作點F關于直線AB的對稱點尸，如下圖所示，止匕時再由點到直線的距離垂線

段長度最短求解即可.

【詳解】解：作點尸關于直線A8的對稱點尸，連接/廠’，如下圖所示：

由對稱性可知，EF=EF',

此時EF+EB=EF'+EB,

由“點到直線的距離垂線段長度最小”可知，

當8尸，/小時，EF+EB有最小值BFo,此時E位于上圖中的Eo位置,

由對稱性知，ZCAFo=ZBAC=900-75°=15°,

ZBAFo=3O°,

由直角三角形中，30°所對直角邊等于斜邊的一半可知，

1「5

BFo=—AB——x5=—,

222

故選：B.

18.（2021?遼寧省本溪市）如圖，在△A5C中，AB=BC,由圖中的尺規(guī)作圖痕跡得到的射線BD與AC

交于點E,點尸為8C的中點，連接EF，若BE=AC=2,則△CM的周長為（）

【答案】C

【解析】

【分析】根據作圖可知BD平分NABC,AB=BC,由三線合一，解Rt△BEC,即可求得.

【詳解】：8。平分ZA6C,AB=8C,B￡=AC=2

:.BE±AC,AE^EC^-AC=\

2

BC=yjBE2+EC2=V22+l2=V5

,:點、F為BC的中點

???EF=~BC=FC=—

22

???△CEF的周長為：

CE+EF+FC=l+—+—=y/5+l

22

故選C.

二.填空題

1.（2021?湖北省黃岡市）在RtZXABC中，NC=90°,ZB=30°,適當長為半徑畫弧，分別交AC,F；

再分別以點E,尸為圓心廠的長為半徑畫弧，兩弧交于點8作我線A。交8c子點O,則BD與CD

2

的數量關系為:BD=2CD.

【分析】證明4。=。8=2?！?,可得結論.

【解答】解：?.?/C=90°,N8=30°,

：.ZCAB=90°-30°=60°,

由作圖可知AD平分NCAB,

???NCAD=NB4O=30°,

：.AD=2CDf

VZBAD=ZB=30°,

；.AD=DB,

:?BD=2CD,

故答案為：BD=2CD.

2.（2021?江蘇省蘇州市）如圖，在劭△ABC中，NC=90。.AF=EE若NC尸E=72。.則NB=

B

F

【分析】根據等邊對等角可得=再根據/4+NAE/=NCFE=72°,求出NA的度數，最后

根據在Rt/XABC中，ZC=90°,即可求出/B的度數.

【解答】解：

ZA=ZAEF,

；NA+NAEF=NCFE=72",

：.ZA=AX72°=36°,

2

在RtZ\ABC中，/A=36°,

：.ZB=90°-36°=54°.

故答案為：54.

3.(2021?江蘇省揚州)如圖，在&5c中，NACB=9O°,點。是A3的中點，過點。作OEL3C,

垂足為點E,連接CZ),若8=5,BC=8,貝ijOE=.

【答案】3

【解析】

r\pr)r\i

【分析】根據直角三角形的性質得到48=10,利用勾股定理求出AC,再說明DE//AC,得至lj匕=絲==,

ACAB2

即可求出DE.

【詳解】解：???NACB=90。，點。為A8中點，

AAB=2CD=10,

VBC=8,

-AC=yjAB2-BC2=6，

?；DE_LBC,AC±BCf

：.DE//AC,

,DEBD\DEBD1

??----=-----=—,un|Jn-----=-----=—

ACAB26A82

：.DE=3,

故答案為：3.

4.（2021?湖南省婁底市）如圖，AAbC中，48=4。=2,尸是3。上任意一點,PELAB于點

E,PFJ.AC于點尸，若SA4BC=1,則PE+PF

【答案】1

【解析】

【分析】將AABC的面積拆成兩個三角形面積之和，即可間接求出PE+PF的值.

【詳解】解：連接AP,如下圖：

PE上AB于點E,PF工AC于點F，

S^ABC=SJPC+SWB=1

S^APC+S^APB=^ACPF+^ABPE

???4?=AC=2,

S△AP尸Cc+S4mAPtsB=PF+PE=1,

:.PE+PF=1，

故答案是：1.

5.（2021?四川省成都市）如圖，數字代表所在正方形的面積，則4所代表的正方形的面積為

【分析】三個正方形的邊長正好構成直角三角形的三邊，根據勾股定理得到字母A所代表的正方形的面

積A=36+64=100.

【解答】解：由題意可知，直角三角形中，一條直角邊的平方=36,一直角邊的平方=64,

則斜邊的平方=36+64=100.

故答案為100.

6.（2021?四川省眉山市）如圖，ZVIBC中，AB=AC=5,BC=6,AQ平分NBAC交BC于點。，分別以

點A和點C為圓心，大于L1C的長為半徑作弧，兩弧相交于點M和點M作直線MM交A。于點E,

2

則OE的長為1

【分析】直接利用基本作圖方法結合線段垂直平分線的性質、等腰三角形的性質、勾股定理分別得出

0a4。的長，即可得出OE的長.

【解答】解：如圖所示：連接EC,

由作圖方法可得：垂直平分AC,

則AE=EC,

'：AB=AC=5,BC=6,平分/BAC交2c于點。，

：.BD=DC^3ADA.BC,

在Rt^ABD中，AD=VAB2-BD2=必二P=4,

設￡>E=x，則AE=EC=4-x,

在RtA￡Z)C中，

DE1+DC2=EC2,

即X2+32=(4-x)2,

解得：X=工，

8

故。E的長為工.

8

故答案為：工.

7.(2021?浙江省杭州)如圖，在直角坐標系中，以點4(3,1),AC,AD(1,1),點C(1,3),點D

(4,4)(5,2),則NBAC=NDAE(填中的一個).

【分析】在直角坐標系中構造直角三角形，根據三角形邊之間的關系推出角之間的關系.

【解答】解：連接OE,

由上圖可知AB—2,BC—2,

：./\ABC是等腰直角三角形，

.?.NB4C-45°,

22=：

又■:AE=7AF4+EF2=V2+l"

同理可得DE=^22+52=V5>

4Z）=y2+28=~\j]0,

則在△ADE中，有AE2+D￡2—AD7,

...△AOE是等腰直角三角形，

；./￡>AE=45°,

ZBAC=ZDAE,

故答案為：=

8.（2021?浙江省紹興市））如圖，在AABC中，AB=AC,NA8C=70°,以點C為圓心，CA長為半徑作

弧，交直線BC于點P,連結AP,則N8AP的度數是15°或75°.

【分析】根據等腰三角形的性質可以得到AABC各內角的關系，然后根據題意，畫出圖形，利用分類討

論的方法求出NBAP的度數即可.

【解答】解：如右圖所示，

當點P在點8的左側時，

*：AB=AC,NA8C=70°,

AZACB=ABC=1Q°,

AZBAC=180°-ZACB-ZABC=180°-70°-70°=40°,

,.,CA=CP1,

180°-/ACP〔Ior)0-7(1。

：.ZCAP\=ZCPbA=--------------1=2^——_=55°，

23

：.ZBAP\=ZCAP\-ZCAB=55°-40°=15°；

當點P在點C的右側時，

*：AB=AC,NABC=70°,

/.ZACB=ABC=10°,

AZBAC=180°-ZACB-ZABC=180°-70°-70°=40°，

,:CA=CP4,

NC4P2=NCPIA=/MB=2^=35。,

52

.".ZBAP2=ZCAP2-ZCAB=35°+40°=75'

由上可得，N8AP的度數是15°或75°,

故答案為：15°或75°.

9.（2021?江蘇省鹽城市）如圖，在RtaABC中，CC為斜邊A8上的中線，若C￡>=2,則AB=4

D

-----------------------------------

【分析】根據直角三角形斜邊上的中線性質得出co=LB,代入求出答案即可.

2

【解答】解：：NACB=90°,8為aABC斜邊AB上的中線，

：.CD=^AB,

2

■:CD=2,

：.AB=2CD=4,

故答案為：4.

10.（2021?齊齊哈爾市）若直角三角形其中兩條邊的長分別為3,4,則該直角三角形斜邊上的高的長為

【答案】2.4或9

4

【解析】

【分析】分兩種情況：直角三角形的兩直角邊為3、4或直角三角形一條直角邊為3,斜邊為4,首先根據

勾股定理即可求第三邊的長度，再根據三角形的面積即可解題.

【詳解】若直角三角形的兩直角邊為3、4,則斜邊長為J32+42=5,

設直角三角形斜邊上的高為h,

—x3x4=-x5/z,

22

/.h=2.4.

若直角三角形一條直角邊為3,斜邊為4,則另一條直角邊為“2-32=不

設直角三角形斜邊上的高為h,

—x3xV?=—x4/z,

22

,,377

??ll--------

4

故答案為：2.4或地.

4

11.（2021?貴州省銅仁市）如圖，將邊長為1的正方形ABCD繞點A順時針旋轉30。到AB.C.D,的位置,

則陰影部分的面積是

【答案】2-2叵

3

12.（2021?深圳）如圖，已知NB4c=60。，是角平分線且AD=10,作AO的垂直平分線交AC于

【解答】DF=AF（垂直平分線上的點到線段兩端點距離相等）

CAnrF=DE+EF+AF=AE+DE

???N3AC=60°,A￡＞是角平分線

ZZME=30°

AD=10

DE=5,AE=5上

=5+5百

13.（2021?江蘇省南京市）如圖，在四邊形ABC。中，AB=BC=BD.設NA8C=cz,則ZADC=

（用含a的代數式表示）.

D

6

【答案】1800--a

2

【解析】

【分析】由等腰的性質可得：ZADB=9Q0--ZABD,ZBDC=9Q°--ZCBD,兩角相加即可得到結論.

22

【詳解】解：在△AB。中，AB=BD

：.ZA=ZADB=-(180°-NABD)=90°--ZABD

22

在△