不等關(guān)系及絕對值不等式及習(xí)題

PAGE..不等式和根本不等式一．知識梳理1.實(shí)數(shù)大小的比擬方法(1)作差法：a>b?a-b>0，a<b?a-b<0，a=b?a-b=02.不等式的性質(zhì)

(1)性質(zhì)1:如果a>b,則b<a;如果b<a,則a>b.

(2)性質(zhì)2:如果a>b,b>c,則a>c.

(2)性質(zhì)3:如果a>b,則a+c>b+c.

推論:如果a>b,c>d,則a+c>b+d.

(4)性質(zhì)4:如果a>b,c>0,則ac>bc;，如果a>b,c<0,則ac<bc.

推論1:如果a>b>0,c>d>0,則ac>bd.

推論2:如果a>b>0,則a2>b2.

推論3:如果a>b>0,則an>bn(n為正整數(shù)).

推論4:如果a>b>0,則(n為正整數(shù)).3.含有絕對值不等式

(1)定理:對任意實(shí)數(shù)a和b,有|a+b|≤|a|+|b|,其中等號成立的條件為ab≥0.

說明:①定理中的b以-b代替,則有|a-b|≤|a|+|b|.，其中等號成立的條件為ab≤0.

②對任意實(shí)數(shù)a和b,有||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|.(2)絕對值不等式的解法

解含有絕對值的不等式,關(guān)鍵在于利用絕對值的意義,設(shè)法去掉絕對值符號,把它轉(zhuǎn)化為一個(gè)或幾個(gè)普通不等式或不等式組,常用的方法有定義法、平方法、公式法等.4.平均值不等式定理1:對任意實(shí)數(shù)a,b,有a2+b2≥2ab(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取"=〞號).定理2;定理3:對任意三個(gè)正數(shù)a,b,c,有a3+b3+c3≥3abc(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取"=〞號).二．典例分析題型一比擬兩個(gè)數(shù)的大小點(diǎn)評:比擬兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小,可以用作差法或作商法,假設(shè)含有未知字母,注意分類討論.練習(xí)1:a,b,c∈R+,且b<c,比擬ab與ac+bc的大小.題型二絕對值三角不等式定理的應(yīng)用對于絕對值三角不等式定理：|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|，要從以下兩個(gè)方面深刻理解：(1)兩端的等號成立的條件在解題時(shí)經(jīng)常用到，特別是用此定理求函數(shù)的最大(小)值時(shí)．(2)該定理可以推廣為|a＋b＋c|≤|a|＋|b|＋|c|，也可強(qiáng)化為||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，它們經(jīng)常用于含絕對值的不等式的推證．例2〔1〕f(*)＝|3－*|＋|*－2|的最小值為________．〔2〕假設(shè)不等式|*-a|+|*-2|≥1對任意實(shí)數(shù)*均成立,則實(shí)數(shù)a的取值圍是________.練習(xí)2f(*)=|*-1|+|2*+3|.假設(shè)f(*)≥m對一切*∈R都成立,數(shù)m的取值圍;

題型三絕對值不等式的解法(1)形如|*＋a|±|*－b|≥c不等式的解法常用零點(diǎn)分段討論法，其步驟為：①求零點(diǎn)；②劃分區(qū)間、去絕對值號；③分別解去掉絕對值的不等式；④取每個(gè)結(jié)果的并集，特別注意在分段時(shí)不要漏掉區(qū)間的端點(diǎn)值．(2)上述不等式也可用|*－a1|±|*－a2|的幾何意義去求解集．例3解以下不等式：(1)|*－1|<2；(2)|*2－1|>3；(3)|*2－2*＋4|>2*；(4)4|*＋6|<3－2*.〔5〕2|*|+|*-1|<2例4函數(shù)f(*)＝|2*＋1|－|*－3|.(1)解不等式f(*)≤4；(2)假設(shè)存在*使得f(*)＋a≤0成立，數(shù)a的取值圍．題型四絕對值不等式的證明例5假設(shè)|a-b|>c,|b-c|<a,求證:c<a.點(diǎn)評:絕對值不等式|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|的幾何意義是:三角形任意兩邊之差小于第三邊,三角形任意兩邊之和大于第三邊,在運(yùn)用時(shí)注意等號成立的條件.題型五利用不等式求最值練習(xí)5:θ為銳角,求y=sinθcos2θ的最大值.三高考回憶(2010·新課標(biāo)全國卷，理)(本小題總分值10分)設(shè)函數(shù)f(*)＝|2*－4|＋1.(1)畫出函數(shù)y＝f(*)的圖像；(2)假設(shè)不等式f(*)≤a*的解集非空，求a的取值圍．例9(2010·卷，理)函數(shù)f(*)＝|*－a|.①假設(shè)不等式f(*)≤3的解集為{*|－1≤*≤5}，數(shù)a的值；②在①的條件下，假設(shè)f(*)＋f(*＋5)≥m對一切實(shí)數(shù)*恒成立，數(shù)m的取值圍．四家庭作業(yè)一、選擇題

1〔2011年理高考題7〕a＞0，b＞0，a+b=2，則y=的最小值是 A． B．4 C． D．52.〔2011年全國高考大綱理3〕下面四個(gè)條件中，使成立的充分而不必要的條件是 A． B． C． D．3〔2011年高考題理15〕假設(shè)，且，則以下不等式中，恒成立的是 A． B． C．D D．4.設(shè)a>0,b>0,以下不等式中不成立的是5.設(shè)a,b,c是互不相等的正數(shù),則以下等式中不恒成立的是6.函數(shù)y=|*+1|-|*-1|的最大值是()A.1B.2C.-2D.不存在7.設(shè)a,b∈R,a2+2b2=6,則a+b的最小值為8.不等式|*-1|+|*+2|≥5的解集為()9.設(shè)a>1,方程|*+loga*|=|*|+|loga*|的解是()

A.0≤*≤1B.*≥1C.*≥aD.0<*≤a二、填空題11.假設(shè)5-*>7|*+1|與不等式a*2+b*-2>0同解,而|*-a|+|*-b|≤k的解集為空集,則k的取值圍為________.12.設(shè)正數(shù)a,b,c,d滿足a+d=b+c,且|a-d|<|b-c|,則ad與bc的大小關(guān)系是________.三、解答題14.(2009·)如圖,O為數(shù)軸的原點(diǎn),A,B,M為數(shù)軸上三點(diǎn),C為線段OM上的動(dòng)點(diǎn),設(shè)*表示C與原點(diǎn)的距離,y表示C到A距離4倍與C與B的距離的6倍的和.

(1)將y表示成*的函數(shù);

(2)要使y的值不超過70,*應(yīng)該在什么圍取值、答案：練習(xí)1解:ab-(ac+bc)=a(b-c)-bc,∵b<c,∴b-c<0,又a>0,∴a(b-c)<0,

∵b>0,c>0,∴bc>0,-bc<0,∴a(b-c)-bc<0,∴ab<ac+bc.例2〔1〕解析：∵|3－*|＋|*－2|≥|3－*＋(*－2)|＝1，∴f(*)min＝1.，答案：1〔2〕解析:由題得|*-a|+|*-2|≥|(*-a)-(*-2)|=|a-2|,∴|a-2|≥1,解得a∈(-∞,1]∪例3【思路分析】這四個(gè)小題分別代表四個(gè)根本類型．【解析】(1)原不等式等價(jià)于－2<*－1<2，解得{*|－1<*<3}．(2)原不等式等價(jià)于*2－1>3或*2－1<－3，由*2－1>3，得*>2或*<－2.由*2－1<－3，得*2<－2無解．∴原不等式的解集為{*|*>2或*<－2}．(3)原不等式等價(jià)于①*2－2*＋4<－2*或②*2－2*＋4>2*.解①得無解，解②得*≠2.∴原不等式的解集為{*|*∈R且*≠2}．(4)原不等式等價(jià)于－eq\f(1,4)(3－2*)<*＋6<eq\f(1,4)(3－2*)．即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4*＋24>2*－3，,4*＋24<3－2*.))解之得－eq\f(27,2)<*<－eq\f(7,2).∴原不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(*|－\f(27,2)<*<－\f(7,2)))例4練習(xí)3例5證明:由|a-b|>c,|b-c|<a,，所以c-a<|a-b|-|b-c|≤|(a-b)+(b-c)|=|a-c|=|c-a|

由c-a<|c-a|知c-a<0,所以c<a.例6〔1〕〔2〕練習(xí)5：例7答案:B練習(xí)6例8【解析】(1)由于f(*)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2*＋5，*<2，,2*－3，*≥2，))則函數(shù)y＝f(*)的圖象如下圖．(2)由函數(shù)y＝f(*)與函數(shù)y＝a*的圖象可知，當(dāng)且僅當(dāng)a≥eq\f(1,2)或a<－2時(shí)，函數(shù)y＝f(*)與函數(shù)y＝a*的圖象有交點(diǎn)．故不等式f(*)≤a*的解集非空時(shí)，a的取值圍為(－∞，－2)∪[eq\f(1,2)，＋∞)．例9【解析】解法一①由f(*)≤3得|*－a|≤3，解得a－3≤*≤a＋3.又不等式f(*)≤3的解集為{*|－1≤*≤5}，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－3＝－1，,a＋3＝5，))解得a＝2.②當(dāng)a＝2時(shí)，f(*)＝|*－2|.設(shè)g(*)＝f(*)＋f(*＋5)，于是g(*)＝|*－2|＋|*＋3|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2*－1，*＜－3；,5，－3≤*≤2；,2*＋1，*＞2)).所以當(dāng)*＜－3時(shí)，g(*)＞5；當(dāng)－3≤*≤2時(shí)，g(*)＝5；當(dāng)*＞2時(shí)，g(*)＞5.綜上可得，g(*)的最小值為5.從而，假設(shè)f(*)＋f(*＋5)≥m即g(*)≥m對一切實(shí)數(shù)*恒成立，則m的取值圍為(－∞，5]．解法二①同解法一．②當(dāng)a＝2時(shí)，f(*)＝|*－2|.設(shè)g(*)＝f(*)＋f(*＋5)．由|*－2|＋|*＋3|≥|(*－2)－(*－3)|＝5(當(dāng)且僅當(dāng)－3≤*≤2時(shí)等號成立)得，g(*)的最小值為5.從而，假設(shè)f(*)＋f(*＋5)≥m即g(*)≥m對一切實(shí)數(shù)*恒成立，則m的取值圍是(－∞，5]．家庭作業(yè)答1，【答案】C2，【答案】A3，答案:D，4.答案:D5，.答案:C,6，解析:|*+1|-|*-1|≤|*+1-*+1|=2,應(yīng)選B.7，,8，答案:D9，解析:由題可知*與loga*同號,,又*>0,∴l(xiāng)oga*≥0,∵a>1,∴*≥1.答案:B10，,11.解析:不等式5