中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)之二-胡不歸問題

中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)之二——胡不歸問題從前，有一個小伙子在外地學(xué)徒。當(dāng)他得知老父親病危的消息后，便立即啟程趕回家。他只考慮了兩點(diǎn)之間線段最短的原理，選擇了直線路徑A→B（如圖所示），而忽視了走折線雖然路程多但速度快的實(shí)際情況。當(dāng)他氣喘吁吁地趕到家時，老人已經(jīng)去世了。鄰居告訴他，老人在彌留之際不斷念叨著“胡不歸？胡不歸？…”。這個古老的傳說引起了人們的思索，小伙子是否能提前到家？如果可以，他應(yīng)該選擇哪條路線？這就是風(fēng)靡千百年的“胡不歸問題”。例1.（2012崇安模擬）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，$\triangleABC$中，$AB=AC$，$A(0,22)$，$C(1,0)$，$D$為射線$AO$上一點(diǎn)。一動點(diǎn)$P$從$A$出發(fā)，運(yùn)動路徑為$A→D→C$，點(diǎn)$P$在$AD$上的運(yùn)動速度是在$CD$上的3倍。為使整個過程運(yùn)動時間最少，則點(diǎn)$D$的坐標(biāo)應(yīng)為（，2）（，）（，）（，）$A$、$B$、$C$、$D$。例2.（2016徐州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)$y=ax^2+bx+c$的圖像經(jīng)過點(diǎn)$A(-1,2)$，$B(0,-3)$，$C(2,4)$，其中對稱軸與$x$軸交于點(diǎn)$D$。（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式及其頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）若$P$為$y$軸上的一個動點(diǎn)，連接$PD$，則$PB+PD$的最小值為（）。（3）$M(s,t)$為拋物線對稱軸上的一個動點(diǎn)。①若平面內(nèi)存在點(diǎn)$N$，使得$A$、$B$、$M$、$N$為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，則這樣的點(diǎn)$N$共有（）個；②連接$MA$、$MB$，若$\angleAMB$不小于$60^\circ$，求$t$的取值范圍。練習(xí)鞏固：1.（2015無錫二模）如圖，菱形$ABCD$的對角線$AC$上有一動點(diǎn)$P$，$BC=6$，$\angleABC=150^\circ$，則$PA+PB+PD$的最小值為（）。2.（2019長沙中考）在$\triangleABC$中，$AB=AC=10$，$\tanA=2$，$BE\perpAC$于點(diǎn)$E$，$D$是線段$BE$上的一個動點(diǎn)，則$CD+5$的最小值為（）。BD的最小值為5√5。（2015內(nèi)江）在三角形ACE中，CA=CE，∠CAE=30°，⊙O經(jīng)過點(diǎn)C，且圓的直徑AB在線段AE上。（1）由于CA=CE，所以∠CAB=∠CEB=90°，因此CE是⊙O的切線。（2）由于AB是⊙O的直徑，所以AB=2R，其中R為⊙O的半徑。設(shè)AE=h，則CE=R-h，由勾股定理可得AC=2R-h。又由于三角形ACE是等邊三角形，所以AC=CE=h√3。聯(lián)立以上兩式，可得R=5h/(2√3)，因此AB=5h/√3。（3）由于OD是三角形OCE的中線，所以O(shè)D=CE=R-h=5h/(2√3)-h=5h/(2√3)-2h/(2√3)=h/(2√3)。又由于四邊形ACOD是矩形，所以AC=OD=5h/(2√3)。根據(jù)勾股定理可得CD=h√3，因此BD=BC-CD=AC-CD=5h/(2√3)-h√3=5√5h/(2√3)。要使BD的值最小，h的值應(yīng)該取√3/2，此時BD的最小值為5√5。（2017廣州）如圖，矩形ABCD的對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，△COD關(guān)于CD的對稱圖形為△CED。（1）因?yàn)椤鰿OD關(guān)于CD對稱，所以∠OCD=∠ECD，又因?yàn)榫匦蜛BCD中AC=BD，所以∠OCD=∠OBC，因此∠OBC=∠ECD。同理可得∠OBD=∠ECB。因此四邊形OCED是菱形。（2）連接AE，由勾股定理可得AE=√61。因?yàn)榫匦蜛BCD中AB=CD=6，BC=5，所以AC=√61。因此△ACE是等腰三角形，且∠EAC=∠AEC=(180°-∠ACE)/2=(180°-90°)/2=45°。因此sin∠EAD=sin(45°-∠EAC)=sin(45°-22.5°)=sin22.5°=√2/2。設(shè)AP=x，則EP=AE-AP=√61-x。因?yàn)镺P=OQ，所以PQ=OQ-OP=AP=x。因?yàn)镼以1cm/s的速度沿線段OP勻速運(yùn)動到點(diǎn)P，再以1.5cm/s的速度沿線段PA勻速運(yùn)動到點(diǎn)A，到達(dá)點(diǎn)A后停止運(yùn)動，所以QA=2x/3，AQ=4x/5。因?yàn)镼到A的距離是QA+AQ=22x/15，所以Q到A的時間是22x/15秒。因此AP=x，QA=2x/3，AQ=4x/5，所需的總時間為x+(√61-x)/(1cm/s)+(2x/3)/(1.5cm/s)+22x/15秒。要使總時間最短，可以對上式求導(dǎo)，得到x=√61/3。因此AP=√61/3，點(diǎn)Q走完全程所需的時間為(√61/3+√61/3)/(1cm/s)+(2/3)(√61/3)/(1.5cm/s)+(22/15)√61/3秒。（2015日照）如圖，拋物線y=1/2x^2+mx+n與直線y=-x+3交于A、B兩點(diǎn)，交x軸于D、C兩點(diǎn)，連接AC、BC，已知A（0，3），C（3，0）。（1）將拋物線的函數(shù)關(guān)系式化為標(biāo)準(zhǔn)式y(tǒng)=a(x-h)^2+k，其中h=-m/a，k=n+a(h^2)。將y=-x+3代入拋物線方程，得到1/2x^2+mx+n=-x+3，即1/2x^2+(m+1)x+(n-3)=0。因?yàn)閽佄锞€與直線有兩個交點(diǎn)，所以該方程有兩個實(shí)根，設(shè)它們?yōu)閤1和x2，則x1+x2=-(m+1)且x1x2=2(n-3)。根據(jù)Vieta定理可得x1+x2=-m-1/2=-3/2，因此m=1/2。又因?yàn)锳（0，3）在拋物線上，所以n=3。因此拋物線的函數(shù)關(guān)系式為y=1/2x^2+1/2x+3。因?yàn)椤螧AC是拋物線和直線的夾角，所以tan∠BAC=|k1-k2|/(1+k1k2)，其中k1=-1，k2=dy/dx|x=0=1/2。代入公式可得tan∠BAC=1/3。（2）設(shè)P為拋物線上一點(diǎn)，坐標(biāo)為（x，1/2x^2+mx+n），則Q為y軸上的點(diǎn)（0，1/2x^2+mx+n）。因?yàn)镻Q⊥PA，所以斜率為-1/tan∠BAC=-3。因此AP的斜率為3，即dy/dx=3，代入拋物線方程可得x=1/2。因?yàn)锳（0，3）和C（3，0）在直線y=-x+3上，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1/2，5/4），點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（0，1/2）。以A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC不相似，因?yàn)樗鼈兊膶?yīng)角不相等。（3）設(shè)E為線段AC上一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），連接DE，一動點(diǎn)M從點(diǎn)D出發(fā)，沿線段DE以每秒一個單位的速度運(yùn)動到E點(diǎn)，再沿線段EA以每秒2個單位的速度運(yùn)動到點(diǎn)A后停止。設(shè)DE=x，則AE=3-x。因?yàn)椤鰽DE是直角三角形，所以DE^2+AE^2=AD^2，即x^2+(3-x)^2=9，解得x=3/2。因此E的坐標(biāo)為（3/2，3/2）。設(shè)M到E的距離為d，則M到A的距離為3-d，因此M到A的時間為(3-d)/2秒。因?yàn)镸到E的距離是x=3/2，所以M到E的時間為3/2秒。因?yàn)镸到A的時間是M到E的時間加上E到A的時間，所以E到A的時間為(3-d)/2-3/2=(1-d)/2秒。因此M到A的總時間為d/2+(1-d)/2*2=1秒。要使M到A的時間最短，可以對上式求導(dǎo)，得到d=1/2。因此M到A的最短時間為1/2秒。(2)設(shè)點(diǎn)P在拋物線上，連接BP、CP，若△BCP的面積為8，求點(diǎn)P的坐標(biāo)。(3)在(1)的條件下，設(shè)點(diǎn)E是線段AC上一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），連接BE，一動點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，沿線段BE以每秒1個單位的速度運(yùn)動到點(diǎn)E，再沿線段EC以每秒2個單位的速度運(yùn)動到點(diǎn)C后停止，當(dāng)點(diǎn)E的坐標(biāo)為多少時，點(diǎn)Q在整個運(yùn)動過程中用時最少？(4)若點(diǎn)R在對稱軸DF上，且DR=2，當(dāng)△ARC面積最大時，求點(diǎn)R的坐標(biāo)。解析：(2)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y)，則由題意得到以下方程組：y=ax2+bx+cy=3y=a(x-1)2+b(x-1)+cS=8其中S為△BCP的面積。解方程組得到x=-2，y=3，因此點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-2,3)。(3)設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(x,y)，則由題意得到以下方程組：y=ax2+bx+cy=0y=(-a/4)x2+(3a/4)x+3/2t=(BE/1)+(EC/2)=(x+3)+(2-x/2)=5/2-x/2其中t為點(diǎn)Q在運(yùn)動過程中所用的時間。將第三個方程代入第一個和第二個方程中，解方程組得到x=-1/2，y=0，因此點(diǎn)E的坐標(biāo)為(-1/2,0)。(4)設(shè)點(diǎn)R的坐標(biāo)為(x,y)，則由題意得到以下方程組：y=ax2+bx+cy=0x=1y=a(2-x)2+b(2-x)+cS=(1/2)(AC)(DR)=(1/2)(3)(2)=3其中S為△ARC的面積。由于點(diǎn)R在對稱軸DF上，因此有x=0。將第四個方程代入第一個和第二個方程中，解方程組得到a=-3，b=9，c=3，因此二次函數(shù)的關(guān)系式為y=-3x2+9x+3。將a、b、c代入第四個方程中，解方程得到y(tǒng)=3/2，因此點(diǎn)R的坐標(biāo)為(0,3/2)。對稱軸DF與BC交于點(diǎn)M，設(shè)點(diǎn)P在對稱軸DF上。我們需要求解以下問題：①求AP+√5PD的最小值以及在取得最小值時點(diǎn)P的坐標(biāo)。②在①的條件下，將△APF沿著x軸向右平移t個單位長度（0≤t≤4），設(shè)△APF與△MBF重疊部分的面積為S。我們需要求出S與t的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值。首先，我們來解決第一個問題。設(shè)點(diǎn)A坐標(biāo)為（0，0），則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，1）。由于點(diǎn)P在對稱軸DF上，因此可以表示為P（x，y），其中x坐標(biāo)等于DF的x坐標(biāo)，即x=1。因此，我們需要求解y坐標(biāo)以及P點(diǎn)到A點(diǎn)的距離AP。根據(jù)對稱軸的性質(zhì)，可以得到點(diǎn)F的坐標(biāo)為（-1，y）。由于△APF為等腰直角三角形，因此有：AP=FP=√（x+1）^2+y^2又因?yàn)椤鱀PF與△APF相似，因此有：PD/FP=FP/AP即PD/√（x+1）^2+y^2=√（x+1）^2+y^2/√5解得PD=（√5-1）y，代入PD的坐標(biāo)方程可以得到：y=（1-1/√5）x+1/√5因此，P點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，（1-1/√5）+1/√5）=（1，（2-1/√5）/√5）。接下來，我們來解決第二個問題。首先，我們需要確定△APF和△MBF的坐標(biāo)。由于點(diǎn)M是對稱軸DF和BC的交點(diǎn)，因此可以得到點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2/3，0）。又因?yàn)辄c(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0），因此可以得到點(diǎn)F的坐標(biāo)為（1/3，y）。將△APF沿著x軸向右平移t個單位長度，可以得到新的三角形AP'F'，其中P'的坐標(biāo)為（1+t，（2-1/√5）/√5），F(xiàn)'的坐標(biāo)為（1/3+t，y）。由于△AP'F'與△APF全等，因此它們的面積相等。因此，我們只需要求解△APF和△MBF的重疊部分面積即可。設(shè)重疊部分的高為h，底邊長度為b，則有：S=1/2bh由于點(diǎn)F的坐標(biāo)為（1/3，y），點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2/3，0），因此可以得到h=y/3和b=1/3。又因?yàn)閥