第九章-拉普拉斯變換

第九章-拉普拉斯變換1第1頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月9.0引言傅里葉變換是以復指數(shù)函數(shù)的特例和為基本分解信號。對更一般的復指數(shù)函數(shù)和，也能以此為基本信號對信號進行分解。復指數(shù)函數(shù)是一切LTI系統(tǒng)的特征函數(shù)。相當廣泛的信號都可以表示成復指數(shù)信號的線性組合將連續(xù)時間傅里葉變換推廣到更一般的情況（拉普拉斯變換）就是本章要討論的中心問題。拉氏變換具有很多與傅氏變換相同的性質(zhì)，不僅能解決用傅氏分析方法可以解決的信號與系統(tǒng)分析問題，還能用于傅里葉分析方法不適用的許多問題。拉普拉斯分析是傅里葉分析的推廣，傅里葉分析是拉普拉斯分析的特例。第2頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月一.雙邊拉氏變換的定義：其中若，則有:

這就是的傅里葉變換。連續(xù)時間傅里葉變換是雙邊拉普拉斯變換在(s平面的軸)上的特例。FT:實頻率，是振蕩頻率LT:復頻率，是振蕩頻率，控制衰減速度9.1拉普拉斯變換

s平面第3頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月拉氏變換是對傅里葉變換的推廣，的拉氏變換就是的傅里葉變換。只要有合適的存在，就可以使本來不滿足狄里赫利條件的信號在引入后滿足該條件。即有些信號的傅氏變換不收斂而它的拉氏變換存在。這表明拉氏變換比傅里葉變換有更廣泛的適用性。不滿足狄里赫利條件的信號u(t)增長信號乘一衰減因子后收斂第4頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月例1.當時，的傅里葉變換存在:在時，積分收斂：拉氏變換收斂的區(qū)域為，包括了軸。比較和,有:當時，收斂域不包含

軸，所以不能得出u(t)的傅里葉變換為第5頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月例2.與例1.比較，區(qū)別僅在于收斂域不同。在時，積分收斂：第6頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月幾點結(jié)論：1.拉氏變換與傅里葉變換一樣存在收斂問題。并非任何信號的拉氏變換都存在，也不是s平面上的任何復數(shù)都能使拉氏變換收斂。2.使拉氏變換積分收斂的那些復數(shù)s的集合，稱為拉氏變換的收斂域(ROC)。收斂域?qū)献儞Q是非常重要的概念。3.不同的信號可能會有完全相同的拉氏變換表達式，只是它們的收斂域不同。只有拉氏變換的表達式連同相應的收斂域，才能和信號建立一一對應的關系。4.如果一個信號的拉氏變換的ROC包含軸，則信號的傅里葉變換也存在，并且：第7頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月二.拉氏變換的ROC及零極點圖：例3.第8頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月可見：拉氏變換的收斂域是各個收斂域的公共部分。ROC總是以平行于軸的直線作為邊界的，ROC的邊界總是與的分母的根(極點)相對應。極點零點第9頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月分子多項式的根稱為零點，分母多項式的根稱為極點。將的全部零點和極點表示在S平面上，就構(gòu)成了零極點圖。零極點圖及其收斂域可以表示一個，最多與真實的相差一個常數(shù)因子。因此，零極點圖是拉氏變換的圖示方法。若是有理函數(shù)第10頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月9.2拉氏變換的收斂域2.在ROC內(nèi)無任何極點。1.ROC是s平面上平行于軸的帶形區(qū)域。4.右邊信號的ROC位于s平面內(nèi)一條平行于軸的直線的右邊。5.左邊信號的ROC位于s平面內(nèi)一條平行于軸的直線的左邊。3.時限信號的ROC是整個s平面。6.雙邊信號的ROC如果存在，一定是s平面內(nèi)平行于軸的帶形區(qū)域。第11頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月若，則表明也在收斂域內(nèi)。若是右邊信號,,在ROC內(nèi)，則有絕對可積，即：性質(zhì)4的證明：第12頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月例1.考查零點，令有極點顯然在也有一階零點，由于零極點相抵消，致使在整個S平面上無極點。得（k為整數(shù)）第13頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月當時，上述ROC有公共部分，當時，上述ROC無公共部分，表明不存在。例2.第14頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月

當是有理函數(shù)時，其ROC總是由的極點分割的。ROC必然滿足下列規(guī)律：3.雙邊信號的ROC可以是任意兩相鄰極點之間的帶形區(qū)域。2.左邊信號的ROC一定位于

最左邊極點的左邊。1.右邊信號的ROC一定位于

最右邊極點的右邊。第15頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月例3.可以形成三種ROC：

ROC：

ROC：

ROC：此時是右邊信號。此時是左邊信號。此時是雙邊信號。第16頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月對有理函數(shù)形式的求反變換一般有兩種方法,即部分分式展開法和留數(shù)法。

1.將展開為部分分式。部分分式展開法：3.利用常用信號的變換對與拉氏變換的性質(zhì),對每一項進行反變換。2.根據(jù)的ROC，確定每一項的ROC

。9.3

拉普拉斯反變換的求法第17頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月極點：確定其可能的收斂域及所對應信號的屬性。例1.右邊信號左邊信號雙邊信號第18頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月例2.思考題：對于本例中的X(s),若收斂域分別為：(a)Re[s]>-1;(b)Re[s]<-2,求這兩種情況下的x(t)？12ROC1、ROC2必須各自包含ROC第19頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月可以用零極點圖表示的特征。當ROC包括軸時，以代入，就可以得到。以此為基礎可以用幾何求值的方法從零極點圖求得的特性。這在定性分析系統(tǒng)頻率特性時有很大用處。9.4由零極點圖對傅里葉變換幾何求值第20頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月1.單零點情況：

矢量稱為零點矢量，它的長度表示,其幅角即為。0

零點,要求出時的，可以作兩個矢量和，則。第21頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月極點

直接由極點向點作矢量（稱為極點矢量），其長度的倒量為,幅角的負值為。2.單極點情況：0第22頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月對s平面任意一點s1有:3.一般情況：即：從所有零點向點作零點矢量，從所有極點向點作極點矢量。所有零點矢量的長度之積除以所有極點矢量的長度之積即為。所有零點矢量的幅角之和減去所有極點矢量的幅角之和即為。當取為軸上的點時，即為傅里葉變換的幾何求值?？疾樵谳S上移動時所有零、極點矢量的長度和幅角的變化，即可得出的幅頻特性和相頻特性。第23頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月例1.

畫出信號的幅頻特性和相頻特性包含軸幅頻特性：是的偶函數(shù)，時，取最大值1，隨著，單調(diào)下降，時，下降到最大值的相頻特性：是的奇函數(shù)，時，隨著，趨于，，趨于第24頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月則ROC至少是9.5拉氏變換的性質(zhì)拉氏變換與傅氏變換一樣具有很多重要的性質(zhì)。這里只著重于ROC的討論。1.線性：若第25頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月而ROC擴大為整個S平面。當與無交集時，表明不存在。例.（原因是出現(xiàn)了零極點相抵消的現(xiàn)象）第26頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月2.時移性質(zhì):若ROC不變則3.S域平移:若則表明的ROC是將的ROC平移了一個。這里是指ROC的邊界平移。第27頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月例.顯然第28頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月

4.時域尺度變換:若則當時收斂，時收斂第29頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月可見：若信號在時域尺度變換，其拉氏變換的ROC在S平面上作相反的尺度變換。特例例.求的拉氏變換及ROC第30頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月如果是實信號，且在有極點（或零點），則一定在也有極點（或零點）。這表明：實信號的拉氏變換其復數(shù)零、極點必共軛成對出現(xiàn)。當為實信號時，有：由此可得以下重要結(jié)論：或5.共軛對稱性（Conjugation）：若則第31頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月

6.卷積性質(zhì):（ConvolutionProperty）包括若則顯然有:例.ROC擴大原因是與相乘時，發(fā)生了零極點相抵消的現(xiàn)象。當被抵消的極點恰好在ROC的邊界上時，就會使收斂域擴大。第32頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月7.時域微分:（DifferentiationintheTimeDomain）ROC包括,有可能擴大。若則

8.時域積分:（IntegrationintheTimeDomain）若包括則包括證明：第33頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月9.6常用拉氏變換對

第34頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月

單邊拉氏變換是雙邊拉氏變換的特例。也就是因果信號的雙邊拉氏變換。一.定義:

如果是因果信號，對其做雙邊拉氏變換和做單邊拉氏變換是完全相同的。9.9單邊拉普拉斯變換（一般了解即可）單邊拉氏變換也同樣存在ROC。其ROC必然遵從因果信號雙邊拉氏變換時的要求，即：一定位于最右邊極點的右邊。

正因為這一原因，在討論單邊拉氏變換時，一般不再強調(diào)其ROC。第35頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月做單邊拉氏變換：例1.做雙邊拉氏變換：

與不同，是因為在的部分對有作用，而對沒有任何作用所致。第36頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月做單邊拉氏變換：做雙邊拉氏變