空間向量基本定理

空間向量的基本定理姚旺河一、教學(xué)目標(biāo):1、知識(shí)與技能:理解共線向量定理和共面向量定理及它們的推論；理解空間任意一個(gè)向量可以用不共面的三個(gè)已知向量線性表示，而且這種表示是唯一的；在簡(jiǎn)單問(wèn)題中，會(huì)選擇適當(dāng)?shù)幕讈?lái)表示任一空間向量。2、過(guò)程與方法:經(jīng)歷向量及其運(yùn)算由平面向空間推廣的過(guò)程。3、情感態(tài)度與價(jià)值觀:經(jīng)歷向量及其運(yùn)算由平面向空間推廣的過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生的探索精神。二、教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)重點(diǎn)：共線、共面定理及其應(yīng)用;空間向量的基本定理及其推論難點(diǎn)：空間向量分解定理唯一性的理解三、教學(xué)方法：根據(jù)本節(jié)課的特點(diǎn)，嘗試運(yùn)用“問(wèn)題探究式”教學(xué)法，遵循“探索—研究—運(yùn)用”即“觀察—思維—遷移”的三個(gè)層次要素，教師“誘”在點(diǎn)上，學(xué)生動(dòng)腦思，動(dòng)手探。四、教學(xué)手段：多媒體輔助教學(xué)五、教學(xué)設(shè)計(jì)一、 復(fù)習(xí)回顧：（大約5分鐘）1．共線（平行）向量的定義：2.空間任意兩個(gè)向量a,b（b豐0）,a//b的條件：3-平面向量基本定理：如果即S是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)九1,九2,使a= ；（教師提問(wèn)，學(xué)生回答，教師強(qiáng)調(diào)限制條件）二、 共線向量定理：（大約3分鐘）對(duì)空間任意兩個(gè)向量a,b（b豐0）,a//b的充要條件是 （學(xué)生類比平面向量共線的條件類比得出，師生共同分析限制條件）三、共面向量定理（大約17分鐘）向量與平面平行：（大約5分鐘）已知平面a和向量a，作OA=a，如果直線OA平行于a或在a內(nèi)，那么我們說(shuō)向量a平行于平面量a平行于平面a，記作：a//a.通常我們把平行于同一平面的向量，叫做共面向量．說(shuō)明：空間任意的兩向量都是共面的.共面向量不一定是在同一平面內(nèi)的，但可以平移到同一平面內(nèi)．（教師強(qiáng)調(diào)共面向量的意義，學(xué)生深化理解）思考與討論1:空間中任意三個(gè)向量一定是共面向量嗎？請(qǐng)舉例說(shuō)明.思考與討論2：空間三個(gè)向量具備怎樣的條件時(shí)才是共面向量呢？（教師提問(wèn)，從而引出共面向量基本定理）共面向量定理：（大約12分鐘）如果兩個(gè)向量a,b不共線，p與向量a,b共面的充要條件是存在實(shí)數(shù)x,y使p-xa+yb.思考與討論：P85：練習(xí)A1、2、3、4（通過(guò)對(duì)練習(xí)題的討論讓學(xué)生對(duì)共線向量及共面向量定理進(jìn)一步深化理解。例1已知斜三棱柱ABC-A'B'C'，設(shè)AB=a，AC=b，AA'=c。在面對(duì)角線AC'上和棱BC上分別取點(diǎn)M和N，使AM二kAC',BN二kBC（0<k<1）。求證MN與向量a和c共面。分析：本題主要利用共面向量定理來(lái)證明向量與向量的共面問(wèn)題。只要將MN用a和c的線性表示就可證明共面。四、空間向量分解定理（大約18分鐘）例2已知平行六面體ABCD-A'B'C'D',設(shè)AB=a,AD=b,AA'=c,試用基底｛a,b,c｝表示如下向量:AC',BD',CA',DB'（大約5分鐘）分析：本題主要是利用向量的加法運(yùn)算，由本例題引出空間向量基本定理。C'C'學(xué)生先自主做，教師引導(dǎo)點(diǎn)出空間內(nèi)的任意向量都可用三個(gè)不共面的向量表示，從而引出空間向量基本定理。C'C'空間向量分解定理,大約8分鐘）：如果三個(gè)向量a,b,c不共面，那么對(duì)空間任一向量證明：（存在性）設(shè)a,b,c不共面,p，存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組（x,y,z），使P二xa+yb+zc證明：（存在性）設(shè)a,b,c不共面, !■>—=■ —=■ *-* 1- 1-過(guò)點(diǎn)O作OA=a,OB=b,OC=c,OP=p過(guò)點(diǎn)P作直線PP平行于OC，交平面OAB于點(diǎn)P'；在平面OAB內(nèi)，過(guò)點(diǎn)P'作直線PAIIOB,P'B'〃OA，分別與直線OA,OB相交于點(diǎn)A',B'，于是，存在三個(gè)實(shí)數(shù)x,y,z，使OAi=OA=xa,OB/=OB=yb,OC/=OC=zc >->>>—?—>->OP=OA+OB+OC=xOA+yOB+zOC，所以p=xa+yb+zc（教師精講存在性的證明，主要讓學(xué)生理解如何對(duì)空間向量的分解，如何作平行線。―? —? r- —f(唯一性)假設(shè)還存在x',y',z'使p=xie+yie+zie123…xe+ye+ze=x/e+y/e+z/e123123?.(x-xi)e+(y-y/)e+(z-zi)e=03不妨設(shè)X豐x'即x-x'H0?e不妨設(shè)X豐x'即x-x'H0?e1x-x/2x-x/3?e,e,e?e,e,e共面此與已知矛盾123???該表達(dá)式唯一綜上兩方面，原命題成立?（唯一性讓學(xué)生了解，不要求掌握證明）由此定理，若三向量a,b,c不共面，那么空間的任一向量都可由a,b,c線性表示，我—b-—fc-—fc- —r—?f們把｛a,b,c｝叫做空間的一個(gè)基底，a,b,c叫做基向量。注：①空間任何三個(gè)不共面的向量都可構(gòu)成空間的一個(gè)基底；②空間任意一個(gè)向量都可以用三個(gè)不共面的向量表示出來(lái)．例3如圖，已知空間四邊形OABC，其對(duì)角線OB,AC，M,N分別是對(duì)邊OA,BC的中點(diǎn)，點(diǎn)G在線段MN上,且MG=2GN，用基底向量OA,OB,OC表示向量OG.（大約5分鐘）解:OG=OM+MGB

B=OM+-MN31—>2—-―-=-OA+—(ON—OM)23=-OA+2[-(OB+OC)—丄OA]2322=-OA+-(OB+OC)—-OA2 3 3=丄OA+-OB+-OC633OG=-OA+-OB+-OC6 3 3分析：本題是對(duì)空間向量基本定理的應(yīng)用。五、總結(jié)反思：（大約2分鐘）學(xué)生從知識(shí)、題型與方法、數(shù)學(xué)思想三個(gè)方面總結(jié)，然后同桌交流各自的看法，最后教師找一名學(xué)生回答，其他學(xué)生進(jìn)行補(bǔ)充，教師適當(dāng)引導(dǎo)。1．知識(shí)：共線向量定理和共面向量定理；2．題型與方法：3．?dāng)?shù)學(xué)思想方法：類比,數(shù)形結(jié)合,等價(jià)轉(zhuǎn)化4．注意問(wèn)題：1．知識(shí)：共線向量定理和共面向量定理；2．題型與方法：3．?dāng)?shù)學(xué)思想方法：類比,數(shù)形結(jié)合,等價(jià)轉(zhuǎn)化4．注意問(wèn)題：六、達(dá)標(biāo)檢測(cè)（大約5分鐘）學(xué)生自主完成，訂正答案，教師強(qiáng)調(diào)注意事項(xiàng)1.已知a=3m-2n-4p,b=(x+1)m+8n+2yp，a豐0，若a//b，求實(shí)數(shù)x,y的值。2.已知a=i-2j+k,b=—i+3j+2k,c=—3i+7j，證明這三向量共面。七、布置作業(yè)必做題:1.已知三個(gè)向量a,b,c不共面，并且p二a+b—c，q二2a—3b—5cr=r=—7a+18b+22c向量p,q,r是否共面?選做題: ? >- ? ?OP=xOA+ ? >- ? ?OP=xOA+yOB+zOC（其中x+y+z=】）的四點(diǎn)P,A,B,C是否共面