矩陣?yán)碚摷皯?yīng)用-jordan標(biāo)準(zhǔn)型

第六節(jié)矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形一、—矩陣及其Smith標(biāo)準(zhǔn)形1、—矩陣以數(shù)域上的變量的多項(xiàng)式為元素的矩陣

其中，是數(shù)域上的變量的多項(xiàng)式。例如：矩陣的特征矩陣就是一個(gè)—矩陣。9/12/20231電子信息工程學(xué)院第六節(jié)矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形—矩陣的秩:

不恒等于零的子式的最高階數(shù)稱為—矩陣的秩，記為例：—矩陣的逆:

若兩個(gè)階的—矩陣和滿足則稱為可逆矩陣（或?yàn)閱文＞仃嚕⒎Q是的逆矩陣

記為定理1.6.1

—矩陣可逆的充要條件是是數(shù)域中的非零常數(shù)。9/12/20232電子信息工程學(xué)院第六節(jié)矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形2、—矩陣的初等變換三種初等變換為：（1）兩行（或列）互換位置；（2）某行（或列）乘以不等于零的數(shù)；（3）某行（或列）乘以的多項(xiàng)式加到另一行（或列）。三種初等變換對(duì)應(yīng)三個(gè)不同的初等矩陣

（由單位矩陣作相應(yīng)的初等變換即可得其對(duì)應(yīng)的初等矩陣）初等矩陣都是可逆矩陣當(dāng)對(duì)—矩陣進(jìn)行行變換時(shí)，相當(dāng)于左乘相應(yīng)的初等矩陣；當(dāng)對(duì)—矩陣進(jìn)行列變換時(shí)，相當(dāng)于右乘相應(yīng)的初等矩陣，且施行初等變換不改變—矩陣的秩。9/12/20233電子信息工程學(xué)院第六節(jié)矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形定義1.6.4

（等價(jià)變換）若—矩陣經(jīng)有限次初等變換化為—矩陣，則稱與等價(jià)，記為?！仃嚨牡葍r(jià)關(guān)系與數(shù)字矩陣一樣，滿足自反性、對(duì)稱性和傳遞性。3、—矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形定理1.6.2

任一非零的—矩陣都等價(jià)于一個(gè)如下形式的標(biāo)準(zhǔn)對(duì)角形—矩陣

其中是的秩，是的首一多項(xiàng)式，且，將稱為的Smith標(biāo)準(zhǔn)形。9/12/20234電子信息工程學(xué)院第六節(jié)矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形例1.6.1求的Smith標(biāo)準(zhǔn)形。解：9/12/20235電子信息工程學(xué)院第六節(jié)矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形例1.6.2已知矩陣，求特征矩陣的Smith標(biāo)準(zhǔn)形。解：9/12/20236電子信息工程學(xué)院第六節(jié)矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形可以證明，在—矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形中，對(duì)角線上的非零元素不隨矩陣初等變換而改變，稱為的不變因子。4、—矩陣的行列式因子定義1.6.4

設(shè)—矩陣的秩為，對(duì)正整數(shù)中，必有非零的階子式，稱中所有的階子式的首一最大公因式為的階行列式因子，記為。（行列式因子）9/12/20237電子信息工程學(xué)院第六節(jié)矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形。由定義可知，一個(gè)階—矩陣的階行列式因子能整除任一個(gè)階子式，而由行列式的展開(kāi)可知一個(gè)階行列式可表示為個(gè)階子式的代數(shù)和，從而能整除任一個(gè)階子式，因此，能整除，即定理1.6.3等價(jià)矩陣具有相同的秩與相同的各階行列式因子。由上述定理可以得到：可以通過(guò)求的各階行列式因子把化為Smith標(biāo)準(zhǔn)形。9/12/20238電子信息工程學(xué)院第六節(jié)矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形例1.6.3已知矩陣，求其特征矩陣的Smith標(biāo)準(zhǔn)形。解：的特征矩陣為9/12/20239電子信息工程學(xué)院第六節(jié)矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形于是有9/12/202310電子信息工程學(xué)院第六節(jié)矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形5、—矩陣的初等因子將—矩陣的不變因子分解成各因式的乘積形式，即其中互異，且由不變因子的整除性，有所有指數(shù)大于零的因子都稱為的初等因子；全部初等因子稱為的初等因子組；其中稱為與相當(dāng)?shù)某醯纫蜃咏M。9/12/202311電子信息工程學(xué)院第六節(jié)矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形例1.6.4已知矩陣，求其特征矩陣的不變因子、初等因子及Smith標(biāo)準(zhǔn)形。解：于是不變因子為初等因子組為Smith標(biāo)準(zhǔn)形為9/12/202312電子信息工程學(xué)院第六節(jié)矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形由初等因子求不變因子的情況，主要應(yīng)用于對(duì)角矩陣或分塊對(duì)角矩陣的不變因子或Smith標(biāo)準(zhǔn)形的計(jì)算。設(shè)有分塊對(duì)角—矩陣定理1.6.4則的初等因子組的全體就是的初等因子組。

如：—矩陣其初等因子組為不變因子為Smith標(biāo)準(zhǔn)形為9/12/202313電子信息工程學(xué)院第六節(jié)矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形定理1.6.5與均為的—矩陣：（1）的充要條件是存在可逆的與使得（2）的充要條件是與具有相同的不變因子。（3）的充要條件是與具有相同的Smith標(biāo)準(zhǔn)形。

（4）的充要條件是與有相同的各級(jí)行列式因子。

（5）的充要條件是與有相同的秩和初等因子組。

9/12/202314電子信息工程學(xué)院第六節(jié)矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形二、矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形1、Jordan形矩陣和Jordan塊定理1.6.6

設(shè)是復(fù)數(shù)域上的線性空間的線性變換，任意取的一個(gè)基，在該基下的矩陣為,（或）的特征多項(xiàng)式可分解因式為，,則可分解為不變子空間的直和，其中是線性變換的核子空間。如果給每個(gè)子空間選擇一個(gè)適當(dāng)?shù)幕?，每個(gè)子空間的