第三節(jié)導(dǎo)數(shù)的基本公式與運算法則

第三節(jié)導(dǎo)數(shù)的基本公式與運算法則第1頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月§3.3導(dǎo)數(shù)的基本公式和運算法則

（七）導(dǎo)數(shù)公式（一）函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則（二）復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則（三）反函數(shù)的求導(dǎo)法則

（四）隱函數(shù)的求導(dǎo)法則

（五）對數(shù)求導(dǎo)法則

（六）由參數(shù)方程確定的函數(shù)的求導(dǎo)法則

（八）綜合雜例第2頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月第三章導(dǎo)數(shù)與微分設(shè)（為常數(shù)）（一）函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則1、常數(shù)的導(dǎo)數(shù)第3頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月第三章導(dǎo)數(shù)與微分2、冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)設(shè)（為正整數(shù)），由二項式定理知以后可以證明，為任何實數(shù)公式也成立。第4頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月3、代數(shù)和的導(dǎo)數(shù)第三章導(dǎo)數(shù)與微分設(shè)可導(dǎo)，則也可導(dǎo)，且

證明證畢.第5頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月此公式可以推廣到有限個函數(shù)的情形第三章導(dǎo)數(shù)與微分

例1求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

解第6頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月4、乘積的導(dǎo)數(shù)第三章導(dǎo)數(shù)與微分設(shè)可導(dǎo)，則也可導(dǎo)，且

證明第7頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月第三章導(dǎo)數(shù)與微分證畢.可導(dǎo)一定連續(xù)第8頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月第三章導(dǎo)數(shù)與微分乘積公式可以推廣到有限個函數(shù)的情形特別地（為常數(shù)）

例2求的導(dǎo)數(shù)

解第9頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月5、商的導(dǎo)數(shù)第三章導(dǎo)數(shù)與微分設(shè)可導(dǎo)，則也可導(dǎo)，且

證明且第10頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月第三章導(dǎo)數(shù)與微分可導(dǎo)一定連續(xù)可導(dǎo)一定連續(xù)證畢.第11頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月第三章導(dǎo)數(shù)與微分特別地（為常數(shù)）

例3求的導(dǎo)數(shù)

解第12頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月第三章導(dǎo)數(shù)與微分

例4求的導(dǎo)數(shù)

解第13頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月6、對數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)第三章導(dǎo)數(shù)與微分設(shè)第14頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月7、三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)第三章導(dǎo)數(shù)與微分（1）設(shè)

連續(xù)同理可得（2）設(shè)第15頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月第三章導(dǎo)數(shù)與微分（3）設(shè)同理可得（4）設(shè)第16頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月第三章導(dǎo)數(shù)與微分（5）設(shè)（6）設(shè)第17頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月第三章導(dǎo)數(shù)與微分例5求的導(dǎo)數(shù)解第18頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月第三章導(dǎo)數(shù)與微分設(shè)是的一個復(fù)合函數(shù)若在處有導(dǎo)數(shù)則在對應(yīng)點處有導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)在點處的導(dǎo)數(shù)也存在，且或?qū)懗?/p>

（二）復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則第19頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月第三章導(dǎo)數(shù)與微分則所以故

證明因為在點處可導(dǎo)，（當時，）所以證畢.可導(dǎo)一定連續(xù)第20頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月第三章導(dǎo)數(shù)與微分此法則可推廣到多個中間變量的情形若鏈式法則關(guān)鍵

弄清復(fù)合函數(shù)結(jié)構(gòu)，由外向內(nèi)逐層求導(dǎo)第21頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月第三章導(dǎo)數(shù)與微分例6求的導(dǎo)數(shù)

解設(shè)例7求的導(dǎo)數(shù)解第22頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月第三章導(dǎo)數(shù)與微分例8求的導(dǎo)數(shù)

解例9求的導(dǎo)數(shù)解第23頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月第三章導(dǎo)數(shù)與微分例10求的導(dǎo)數(shù)

解第24頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月第三章導(dǎo)數(shù)與微分例11求的導(dǎo)數(shù)

解第25頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月第三章導(dǎo)數(shù)與微分

解例12設(shè)存在，導(dǎo)數(shù)求的第26頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月第三章導(dǎo)數(shù)與微分

證例13證明（為任意常數(shù)）證畢.第27頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月第三章導(dǎo)數(shù)與微分設(shè)在點處可導(dǎo)，且則又設(shè)反函數(shù)在相應(yīng)點處連續(xù)，存在，且或

（三）反函數(shù)的求導(dǎo)法則第28頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月第三章導(dǎo)數(shù)與微分證設(shè)反函數(shù)的自變量取得改變量時，因變量取得相應(yīng)的改變量，當時，必有，否則由得因為函數(shù)的變量是一一對應(yīng)的，所以這與的假設(shè)相矛盾。第29頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月第三章導(dǎo)數(shù)與微分因此，有當時，再由假設(shè)得當時，又由的連續(xù)性知，證畢.第30頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月第三章導(dǎo)數(shù)與微分反三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（1）由于的反函數(shù)是第31頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月第三章導(dǎo)數(shù)與微分（2）同理可得（3）（4）第32頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月第三章導(dǎo)數(shù)與微分

解例14求的導(dǎo)數(shù)例15求的導(dǎo)數(shù)

解第33頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月第三章導(dǎo)數(shù)與微分

（四）隱函數(shù)的求導(dǎo)法則且可導(dǎo)，設(shè)方程確定了是的函數(shù)，并再利用復(fù)合函數(shù)的兩邊同時對求導(dǎo)，求導(dǎo)公式可求隱函數(shù)對的導(dǎo)數(shù)。第34頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月第三章導(dǎo)數(shù)與微分

例16方程確定是的函數(shù)，求

解方程兩邊同時對求導(dǎo)解得是的函數(shù)第35頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月第三章導(dǎo)數(shù)與微分

例17方程確定是的函數(shù)，求

解方程兩邊同時對求導(dǎo)解得第36頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月第三章導(dǎo)數(shù)與微分求其曲線上點處的切線和法線方程

例18方程確定是的函數(shù)，

解方程兩邊對求導(dǎo)得切線方程法線方程第37頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月第三章導(dǎo)數(shù)與微分指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)設(shè)兩邊取對數(shù)，寫成隱函數(shù)的形式兩邊對求導(dǎo)解得第38頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月第三章導(dǎo)數(shù)與微分

例19求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

解

例20求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

解

例21方程確定是的函數(shù)，求

解方程兩邊對求導(dǎo)解得第39頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月第三章導(dǎo)數(shù)與微分

（五）對數(shù)求導(dǎo)法則

例22求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)兩邊取對數(shù)，寫成隱函數(shù)的形式兩邊對求導(dǎo)解得

解此函數(shù)既不是冪函數(shù)也不是指數(shù)函數(shù)稱其為冪指函數(shù)。不能用冪函數(shù)或指數(shù)函數(shù)的求導(dǎo)公式，第40頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月第三章導(dǎo)數(shù)與微分

例23求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)兩邊對求導(dǎo)

解此函數(shù)若直接求導(dǎo)會很復(fù)雜。兩邊取對數(shù)（設(shè)）第41頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月第三章導(dǎo)數(shù)與微分解得當時，當時，用同樣的方法求導(dǎo)可得與上面相同的結(jié)果。第42頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月第三章導(dǎo)數(shù)與微分

（六）由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的求導(dǎo)法則若參數(shù)方程確定是的函數(shù)，則稱此函數(shù)關(guān)系為由參數(shù)方程所確定的函數(shù)。設(shè)有連續(xù)反函數(shù)又存在，且則有第43頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月第三章導(dǎo)數(shù)與微分

例24已知求

解

例25已知求

解第44頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月第三章導(dǎo)數(shù)與微分

（七）導(dǎo)數(shù)公式基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式第45頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月第三章導(dǎo)數(shù)與微分說明在公式中均為常實數(shù)。第46頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月第三章導(dǎo)數(shù)與微分說明在公式中為常實數(shù)，運算法則均為函數(shù)。第47頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月第三章導(dǎo)數(shù)與微分

（八）綜合雜例例26設(shè)求

解第48頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月第三章導(dǎo)數(shù)與微分例27設(shè)求

解函數(shù)，求例28確定是的

解整理得第49頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月第三章導(dǎo)數(shù)與微分例29設(shè)求

解當時，當時，當時，當時，第50頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月第三章導(dǎo)數(shù)與微分由上節(jié)例10知不存在，不存在，故有第51頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月第三章導(dǎo)數(shù)與微分例30已知可導(dǎo)，求

解其中為常數(shù)第52頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月第三章導(dǎo)數(shù)與微分例31已知若求證證證畢.第53頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月第三章導(dǎo)數(shù)與微分求當球半徑時，例32設(shè)球半徑以的速度等速增加，其體積增加的速度。

解兩邊對時間求導(dǎo)當時（此題為相關(guān)變化率問題）第54頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月內(nèi)容小結(jié)1.導(dǎo)數(shù)公式2.函數(shù)的求導(dǎo)法則3.隱函數(shù)求導(dǎo)法則4.對數(shù)求導(dǎo)法則作業(yè)P13815---45第三章導(dǎo)數(shù)與微分和、差、積、商反函數(shù)、復(fù)合函數(shù)由參數(shù)方程確定的函數(shù)第55頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月備用題第三章導(dǎo)數(shù)與微分

1.已知則（2004）

解第56頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月第三章導(dǎo)數(shù)與微分

2.已知可導(dǎo)，

解（1）（1）求下列