否則就有顯著差異于是提出假設(shè)課件

§8.1假設(shè)檢驗(yàn)的基本原理與兩類錯誤§8.2正態(tài)總體的假設(shè)檢驗(yàn)§8.3分布擬合檢驗(yàn)第8章假設(shè)檢驗(yàn)§8.1假設(shè)檢驗(yàn)的基本原理與兩類錯誤第8章假設(shè)檢驗(yàn)下面通過一個具體實(shí)例引出假設(shè)檢驗(yàn)的一些重要概念和基本思想。

例8.1.1某廠生產(chǎn)一種零件的尺寸

服從正態(tài)分布

，從過去較長一段時間的生產(chǎn)情況來看，零件的平均尺寸為mm，為檢驗(yàn)該廠某批零件是否符合標(biāo)準(zhǔn)，現(xiàn)對該批零件隨機(jī)抽取6件得到其尺寸數(shù)據(jù)（單位：mm）32.56，29.66，31.64，30.00，31.87，31.03，

問該批零件的平均尺寸與過去是否有顯著差異？8.1.1問題的提出§8.1假設(shè)檢驗(yàn)的基本原理與兩類錯誤下面通過一個具體實(shí)例引出假設(shè)檢驗(yàn)的一些重要概念和基本思想。8

我們的問題是判斷該批零件的平均尺寸

是否為30.50mm，若mm，則認(rèn)為其與過去沒有顯著差異，否則就有顯著差異.于是提出假設(shè)：稱

為零假設(shè)或原假設(shè)（originalhypothesis），

為備擇假設(shè)或?qū)α⒓僭O(shè)（alternativehypothesis）.一般地，把關(guān)于未知分布的各種陳述稱為統(tǒng)計假設(shè)，簡稱為假設(shè).若總體分布類型已知，僅對總體分布中未知參數(shù)的假設(shè)稱為參數(shù)假設(shè).如上例中僅對參數(shù)

的假設(shè).在有些實(shí)際問題中總體分布未知，需對總體分布類型提出假設(shè)，這類對總體分布類型的假設(shè)稱為非參數(shù)假設(shè).我們的問題是判斷該批零件的平均尺寸是否為30.50m

在假設(shè)檢驗(yàn)中，零假設(shè)和對立假設(shè)的選擇要看具體的目的和要求而定，如果我們希望通過樣本觀測值獲得對某個論斷的有力支持，則一般把這一論斷的否定作為原假設(shè).因?yàn)閮H通過一次抽樣無法去證實(shí)一個論斷，但用來否定一個論斷的理由則比較充分.如上例中

為原假設(shè)，

為對立假設(shè).在假設(shè)檢驗(yàn)中，零假設(shè)和對立假設(shè)的選擇要看具體的目的和要求

在統(tǒng)計假設(shè)提出之后，就要尋找一個檢驗(yàn)法則，在

與

之間作出判斷，若拒絕原假設(shè)

，就意味著接受對立假設(shè)

，否則就不能拒絕（即接受）原假設(shè).例8.1要檢驗(yàn)總體均值

，根據(jù)參數(shù)估計知樣本均值是總體均值的良好估計，可考慮能否用樣本均值

來進(jìn)行判斷，由抽樣的結(jié)果知樣本均值為

本次抽樣

的取值

與過去生產(chǎn)零件的平均尺寸之間差異為0.63mm，這種差異有以下兩種不同的解釋.（1）若

成立，這種差異是由抽樣的隨機(jī)性造成的.8.1.2假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想在統(tǒng)計假設(shè)提出之后，就要尋找一個檢驗(yàn)法則，在（2）若

不成立，抽樣的隨機(jī)性不可能造成0.63mm這么大的差異，說明該批零件尺寸與過去生產(chǎn)的零件尺寸確實(shí)有明顯差異.

從而問題的關(guān)鍵是0.63mm的差異能否用抽樣的隨機(jī)性來解釋.為回答這一問題，由參數(shù)估計知道，樣本均值

的大小在一定程度上反映了總體均值的大小.由于

未知，用

代替

與30.50作比較，如選用

作為衡量

是否成立的指標(biāo).如果

成立，則

應(yīng)該較小，如果

較大，則差異就不能僅僅解釋為樣本隨機(jī)性的影響了，從而有理由懷疑

是否成立.這樣問題就轉(zhuǎn)化為找一個合理的臨界值

，使得當(dāng)

時，接受

；當(dāng)

時，拒絕

；（2）若不成立，抽樣的隨機(jī)性不可能造成0.63m稱（8.1.1）為一個檢驗(yàn)例8.1.1中

假設(shè)的檢驗(yàn)法.該檢驗(yàn)法給出的檢驗(yàn)規(guī)則實(shí)質(zhì)上是把樣本

的所有可能取值（

或

的子集）分為互不相交的兩部分：于是檢驗(yàn)法（8.1.1）又可表述為當(dāng)

時，接受

；當(dāng)

時，拒絕

；稱（8.1.1）為一個檢驗(yàn)例8.1.1中假設(shè)的檢

因此問題是如何確定常數(shù)?為確定常數(shù)

，我們適當(dāng)選擇一個小正數(shù)

，稱作顯著性水平（levelofsignificance），在

成立的條件下，確定隨機(jī)事件

為小概率事件，即

根據(jù)小概率事件的實(shí)際不可能原理，即“在一次試驗(yàn)中小概率事件幾乎是不可能發(fā)生的”原理.由（8.1.2）確定的事件為小概率事件，實(shí)際上是不可能發(fā)生的.如果根據(jù)抽樣的結(jié)果，小概率事件

在一次抽樣中發(fā)生了，則說明抽樣得到的結(jié)果與原假設(shè)

不相符，因而有理由懷疑

的正確性.即在顯著水平

給定時，拒絕.如果在一次抽樣中小概率事件

沒有發(fā)生，則沒有充分理由拒絕

，從而只能接受，這就是顯著性檢驗(yàn).因此問題是如何確定常數(shù)?為確定常數(shù)

上例中取

，因?yàn)榭傮w

，在

成立條件下，查正態(tài)分布表有根據(jù)（8.1.2）式

，。所以上例中取，因?yàn)榭傮w即而代入樣本觀測值上式也等價于

給定

時，根據(jù)小概率事件原理，不能拒絕

，即認(rèn)為該批零件的尺寸與過去生產(chǎn)的零件尺寸沒有顯著差異。即而代入樣本觀測值上式也等價于給定通過上例分析，我們知道假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想是：從

成立出發(fā)，構(gòu)造合適的檢驗(yàn)法，根據(jù)小概率事件原理，如果導(dǎo)出“不合理”的結(jié)論，則拒絕

，否則就不能拒絕

，因而只能接受

。上述思想可以概括為具有概率性質(zhì)的反證法.假設(shè)檢驗(yàn)的一般步驟為：（1）根據(jù)實(shí)際問題的要求提出原假設(shè)

與對立假設(shè).（2）選取適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計量

，作為衡量

是否成立的標(biāo)準(zhǔn)，在

成立時，

的分布或漸近分布已知.（3）給定顯著水平

，在

成立的條件下，借助統(tǒng)計量

確定一個小概率事件，從而把樣本空間分為兩個互不相交的區(qū)域，即拒絕域

和接受域.（4）作出判斷，若樣本觀測值落入拒絕域

，則拒絕

，

否則接受.通過上例分析，我們知道假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想是：從成8.1.3兩類錯誤

顯著性檢驗(yàn)是根據(jù)樣本對原假設(shè)

作出接受還是拒絕的判斷，由于樣本的隨機(jī)性和局限性.因此在作判斷時，我們有可能犯兩類錯誤：一類錯誤是，當(dāng)

為真時，根據(jù)樣本拒絕了

，這類錯誤稱之為第一類錯誤，也稱為“棄真錯誤”.其發(fā)生的概率稱為犯第一類錯誤的概率，通常記為

，即

（拒絕|為真）=.

另一類錯誤是，當(dāng)

為不真時，根據(jù)樣本接受了

，這類錯誤稱之為第二類錯誤，也稱為“采偽錯誤”，其發(fā)生的概率稱為犯第二類錯誤的概率，通常記為

，即

（接受|不真）=.在此我們把兩類錯的各種情況總結(jié)于表8-1中.8.1.3兩類錯誤顯著性檢驗(yàn)是根據(jù)樣本對原假設(shè)

母體情況為真不真樣本

（拒絕域）犯第一類錯誤（概率為）正確（概率為）

（拒絕域）

正確（概率為

）犯第二類錯誤（概率為

）表8-1兩類錯誤

對于給定的一對

和

，總可以找到很多不同的拒絕域

，我們總希望找到這樣的拒絕域

，使得犯兩類錯誤的概率

和

都很小.但是當(dāng)樣本容量

固定時，要想

和

都很小是不可能的，通常減少犯其中一類錯誤的概率，則犯另一類錯誤的概率就會增加。母體情況

基于這種情況，紐曼—皮爾遜（Neyman-Pearson）提出了一個原則：即在樣本容量

固定時，控制犯第一類錯誤的概率

，尋找最優(yōu)的檢驗(yàn)法則，使犯第二類錯誤的概率

盡量小.具體實(shí)行這一原則有時也有許多困難，因而降低要求，僅對犯第一類錯誤的概率

加壓控制，而不考慮犯第二類錯誤的概率

，這類假設(shè)檢驗(yàn)問題稱為顯著性假設(shè)檢驗(yàn)問題，相應(yīng)的檢驗(yàn)稱為顯著性檢驗(yàn).一般情形下，顯著性檢驗(yàn)法是較容易找到的，我們將在正態(tài)總體情形下詳細(xì)討論.基于這種情況，紐曼—皮爾遜（Neyman-Pears§8.2正態(tài)總體的假設(shè)檢驗(yàn)8.2.1單個正態(tài)總體均值

的假設(shè)檢驗(yàn)設(shè)總體

，

是來自總體

的樣本，

為顯著水平.（1）方差

已知，均值

的檢驗(yàn)

檢驗(yàn)的問題為

（

為已知常數(shù)），

（8.2.1）由第六章抽樣分布的理論知，當(dāng)

成立時，

（8.2.2）選取

作為此假設(shè)檢驗(yàn)的統(tǒng)計量，對給定的顯著水平

，§8.2正態(tài)總體的假設(shè)檢驗(yàn)8.2.1單個正態(tài)總體均值因而拒絕域可取為

或

把樣本觀測察值

代入

，得到統(tǒng)計量

的觀察值

若

，則拒絕

，否則就接受.稱此檢驗(yàn)法為

檢驗(yàn)法.因而拒絕域可取為例8.2.1某種電器元件的電阻

，從過去生產(chǎn)情況看，其平均電阻一直保持在2.64，標(biāo)準(zhǔn)差為0.06.改變加工工藝后，測得100個元件，其平均電阻為2.62，標(biāo)準(zhǔn)差不變.問新工藝的平均電阻與原來的有無顯著差異？（取顯著水平

）解檢驗(yàn)問題為.使用

檢驗(yàn)法，計算統(tǒng)計量

的觀測值由

，查表得

，由于

，所以拒絕

，即認(rèn)為新工藝元件的平均電阻與原來有顯著差異.例8.2.1某種電器元件的電阻以上討論的假設(shè)檢驗(yàn)問題中，提出的是雙側(cè)檢驗(yàn)，即對立假設(shè).有時在實(shí)際問題中，我們僅關(guān)心總體均值是變大還是減小的情況，因而對立假設(shè)為

或

，這兩類檢驗(yàn)統(tǒng)稱為單側(cè)檢驗(yàn).其檢驗(yàn)方法與雙側(cè)檢驗(yàn)類似，只是拒絕域相應(yīng)變?yōu)?/p>

和.

另外，如果總體分布為非正態(tài)分布，但在

成立的條件下，統(tǒng)計量

的極限分布為正態(tài)分布，則在樣本容量

較大時，

近似服從正態(tài)分布，這時

檢驗(yàn)法仍可使用.如對產(chǎn)品次品率的檢驗(yàn)，泊松分布參數(shù)的檢驗(yàn)等.以上討論的假設(shè)檢驗(yàn)問題中，提出的是雙側(cè)檢驗(yàn)，即對立假設(shè)例8.2.2某地區(qū)成年男性中吸煙占75%，經(jīng)過戒煙宣傳之后，進(jìn)行了抽樣調(diào)查，發(fā)現(xiàn)100名被調(diào)查的成年男性，有63人是吸煙者，問戒煙宣傳是否受到了成效？（取顯著水平.）

解檢驗(yàn)問題為.令

表示該調(diào)查該地區(qū)一名成年男性中吸煙的人數(shù)，則

，

為來自總體

的樣本.由中心極限定理中知，在

成立的條件下，統(tǒng)計量

近似服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.因此可使用

檢驗(yàn)法。例8.2.2某地區(qū)成年男性中吸煙占75%，經(jīng)過戒煙宣傳之后計算

的觀測值對給定的

，查表

，

，因此拒絕

，即認(rèn)為戒煙宣傳收到了成效.（2）方差

未知，均值

的檢驗(yàn)對（8.3）式給出的假設(shè)檢驗(yàn)問題，可構(gòu)造如下的統(tǒng)計量

，

（8.2.3）其中.從而對給定的顯著水平

，有

，所以拒絕域可取為.稱此檢驗(yàn)法為

檢驗(yàn)法.計算的觀測值例8.2.3

已知某種礦石含鐵量服從正態(tài)分布，從中抽取5個樣品，經(jīng)測定其含鐵量（%）分別為：3.24，3.26，3.24，3.27，3.25，問在顯著水平

下，能否接受假設(shè)：這批礦石的含鐵量為3.25？解檢驗(yàn)問題為.由于總體方差

未知，采用

檢驗(yàn)法

，.由此得統(tǒng)計量的觀測值例8.2.3已知某種礦石含鐵量服從正態(tài)分布，從中抽取5個對給定的

，

查表

而

，故接受.即能認(rèn)為這批礦石的含鐵量為3.25%.

對于以上假設(shè)檢驗(yàn)問題，若采用第七章的區(qū)間估計的方法，能否作出對原假設(shè)

的判斷？

根據(jù)方差

未知，對均值

的區(qū)間估計.對給定的

，可得其置信區(qū)間

對給定的，查表

根據(jù)小概率原理，若

成立，對給定的

，可得置信度為95%的置信區(qū)間應(yīng)該包含

，而現(xiàn)在一次樣本的調(diào)查結(jié)果表明

，因而無法拒絕

，即認(rèn)為這批礦石的含鐵量為3.25%.通過本例可以看出，區(qū)間估計與假設(shè)檢驗(yàn)的統(tǒng)計之處是相通的.實(shí)際上，假設(shè)檢驗(yàn)的接受域也恰好是相應(yīng)的區(qū)間估計的置信區(qū)間.根據(jù)小概率原理，若8.2.2單個正態(tài)總體方差

的假設(shè)檢驗(yàn)設(shè)總體

，

是來自總體

的樣本，

未知.檢驗(yàn)的問題為

（

為已知常數(shù)），

（8.2.4）由于樣本方差

是

的無偏估計，根據(jù)Fisher定理，當(dāng)

成立時，從而可選取

作為檢驗(yàn)統(tǒng)計量.對給定的顯著水平

有

所以其拒絕域?yàn)?稱此檢驗(yàn)法為

檢驗(yàn)法.8.2.2單個正態(tài)總體方差的假設(shè)檢驗(yàn)設(shè)總體例8.2.4設(shè)某車間生產(chǎn)的銅絲的折斷力

，通常情形下

，現(xiàn)從某批產(chǎn)品中抽查5根銅絲測得其折斷力（單位：公斤）分別為578，572，570，568，582，問在顯著水平

下，能否接受該批銅絲的折斷力的方差仍為64？解檢驗(yàn)的問題為

，由于總體均值

未知，采用

檢驗(yàn)法

，.由此得統(tǒng)計量的觀測值例8.2.4設(shè)某車間生產(chǎn)的銅絲的折斷力對給定的

，查表

，因而

，故接受.即能認(rèn)為這批銅絲的折斷力的方差仍為64.

以上（8.2.4）式的檢驗(yàn)中，若均值

是已知的，檢驗(yàn)統(tǒng)計量相應(yīng)地為

從而對給定的顯著水平

，其拒絕域?yàn)?/p>

.上述討論的是關(guān)于方差假設(shè)檢驗(yàn)問題的雙側(cè)檢驗(yàn)情況，同樣關(guān)于方差假設(shè)檢驗(yàn)問題也存在單側(cè)檢驗(yàn)情形：對給定的，查表檢驗(yàn)參數(shù)條件統(tǒng)計量及統(tǒng)計量的分布顯著水平

下拒絕域均值已知未知方差已知未知表8-2單個正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)檢驗(yàn)條統(tǒng)計量及統(tǒng)顯著水平下拒絕域表8-2單個正態(tài)§8.3分布擬合檢驗(yàn)

前面討論了在總體分布形式已知的前提下對其參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)問題，但在實(shí)際問題中，往往總體分布形式是未知的，需要對總體分布形式進(jìn)行推斷.這類根據(jù)樣本對總體分布類型進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)的問題，統(tǒng)稱為非參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn).本節(jié)主要討論

擬合檢驗(yàn).設(shè)總體

的分布

未知，

是來自總體的樣本，檢驗(yàn)問題

總體

的分布

，

（8.3.1）其中

是某個已知分布函數(shù).§8.3分布擬合檢驗(yàn)前面討論了在總體分布形式已知為解決（8.3.1）式提出的假設(shè)檢驗(yàn)是否成立，皮爾遜（K.Pearson）提出了

擬合檢驗(yàn)法.其基本思想是將樣本觀測值決定的經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)來替代總體分布，并與假設(shè)的理論分布相比較.由于抽樣的隨機(jī)性和樣本容量有限性，兩者之間必然存在一些偏差.問題是這種偏差能否解釋為僅僅是樣本的隨機(jī)性和試驗(yàn)次數(shù)有限而帶來的隨機(jī)波動，還是因?yàn)樗浜系睦碚摲植寂c樣本分布之間確實(shí)具有實(shí)質(zhì)性差異所導(dǎo)致的.如果兩者偏差是顯著的，則認(rèn)為總體分布不服從該理論分布，即拒絕

，否則接受.

擬合檢驗(yàn)法的基本步驟如下：為解決（8.3.1）式提出的假設(shè)檢驗(yàn)是否成立，皮爾遜（K.P（1）根據(jù)樣本觀測值的取值范圍，把總體

的一切可能取值的集合

（

或

的子集）分成

個互不相交的區(qū)間

，統(tǒng)計樣本觀測值落入各區(qū)間的頻數(shù)

與頻率

（2）在

成立的條件下，計算總體

落在每個區(qū)間的概率.若

中含有未知參數(shù)，先需用極大似然估計法估計出參數(shù)，再求相應(yīng)的概率.

選取統(tǒng)計量

，

（8.3.2）（1）根據(jù)樣本觀測值的取值范圍，把總體的一切可能取值直觀上，

統(tǒng)計量可理解為觀測頻數(shù)與理論期望頻數(shù)的相對差異，也可理解為觀測頻率與理論概率差的加權(quán)平和.當(dāng)

成立時，

值應(yīng)該比較小，因此當(dāng)

值大于某一臨界值時，就應(yīng)該拒絕.

基于上述直觀理解，皮爾遜采用（8.3.2）式確定的統(tǒng)計量作為檢驗(yàn)

的統(tǒng)計量，并證明了如下定理：

定理8.3.1（皮爾遜定理）對充分大的

，當(dāng)

成立時，統(tǒng)計量（8.3.2）近似地服從自由度為

的

分布，其中

為待估參數(shù)的個數(shù).直觀上，統(tǒng)計量可理解為觀測頻數(shù)與理論期望頻數(shù)的相對

（3）在

成立的條件下，給定顯著水平

有

，可得拒絕域?yàn)?（4）根據(jù)樣本觀測值計算

值若

，拒絕

；若

，接受.

需要指出的是應(yīng)用

擬合檢驗(yàn)時，要求樣本容量

較大，一般分為5至7個區(qū)間，且樣本觀測值落入每個區(qū)間的頻數(shù)不能少于4，若少于4，則應(yīng)并入相鄰的區(qū)間.盡管

擬合檢驗(yàn)對于離散型和連續(xù)型總體分布都適用，但它依賴于區(qū)間的劃分，

擬合檢驗(yàn)實(shí)質(zhì)上只是檢驗(yàn)了

是否為真，并未真正檢驗(yàn)總體分布

是否為.（3）在成立的條件下，給定顯著水平例8.3.1自1875年至1955年，對其中63年的觀測中，某市夏季共有180天下過暴雨.把5至9月作為夏季，每年夏季共153天.在統(tǒng)計的63年中，某市一年夏季有

天發(fā)生過暴雨的年數(shù)

如下表：012345678合計

481419104211063表8-5試問：觀測結(jié)果能否說明某市一年內(nèi)夏季發(fā)生暴雨的天數(shù)服從泊松分布

？

例8.3.1自1875年至1955年，對其中63年的觀測中解以

表示某市一年內(nèi)夏季發(fā)生暴雨的天數(shù)，根據(jù)容量為63的樣本來檢驗(yàn)假設(shè)

總體

服從泊松分布.當(dāng)

成立時，

未知.首先要求出

的極大似然估計值把

的一切可能取值分為7個組，

，則在

成立時，可求出

的值如下：解以表示某市一年內(nèi)夏季發(fā)生暴雨的天數(shù)，根據(jù)容量列表計算

值

列表計算值一年中暴雨天數(shù)實(shí)際年數(shù)假設(shè)概率期望年數(shù)040.05743.610.0399180.164110.340.5296