數(shù)學建模實驗報告求微分方程的解

wilyes11收集博客(與學習無關(guān))：/u/1810231802求微分方程的解一、實驗?zāi)康募耙饬x歸納和學習求解常微分方程(組)的基本原理和方法；掌握解析、數(shù)值解法，并學會用圖形觀察解的形態(tài)和進行解的定性分析；熟悉MATLAB軟件關(guān)于微分方程求解的各種命令。二、實驗內(nèi)容微分方程及方程組的解析求解法；微分方程及方程組的數(shù)值求解法——歐拉、歐拉改進算法；直接使用MATLAB命令對微分方程(組)進行求解(包括解析解、數(shù)值解)；利用圖形對解的特征作定性分析。三、實驗步驟開啟軟件平臺——MATLAB，開啟MATLAB編輯窗口；根據(jù)微分方程求解步驟編寫M文件保存文件并運行；觀察運行結(jié)果(數(shù)值或圖形)；根據(jù)觀察到的結(jié)果和體會寫出實驗報告。四、實驗要求與任務(wù)根據(jù)實驗內(nèi)容和步驟，完成以下實驗，要求寫出實驗報告1.求微分方程的通解．2.求微分方程的通解．3.求微分方程組在初始條件下的特解，并畫出解函數(shù)的圖形．4.分別用ode23、ode45求上述第3題中的微分方程初值問題的數(shù)值解(近似解)，求解區(qū)間為．利用畫圖來比較兩種求解器之間的差異．5.用Euler折線法求解微分方程初值問題的數(shù)值解(步長h取0.1)，求解范圍為區(qū)間[0,2]．6.用四階Runge-Kutta法求解微分方程初值問題的數(shù)值解(步長h取0.1)，求解范圍為區(qū)間[0,3]．五.程序代碼及運行結(jié)果（經(jīng)調(diào)試后正確的源程序）1.求微分方程的通解．程序代碼：symsxyfprintf('通解為')y=dsolve('(x^2-1)*Dy+2*x*y-sin(x)=0','x')運行結(jié)果：通解為y=(-cos(x)+C1)/(x^2-1)2.求微分方程的通解．程序代碼：symsxyfprintf('通解為')y=dsolve('D2y-2*Dy+5*y=exp(x)*sin(x)','x')運行結(jié)果：通解為y=-1/4*exp(x)*cos(2*x)*sin(x)+1/12*exp(x)*cos(2*x)*sin(3*x)-1/12*exp(x)*sin(2*x)*cos(3*x)+1/4*exp(x)*sin(2*x)*cos(x)+C1*exp(x)*cos(2*x)+C2*exp(x)*sin(2*x)3.求微分方程組

在初始條件下的特解，并畫出解函數(shù)的圖形．程序代碼：symsxyt[x,y]=dsolve('Dx+x+y=0','Dy+x-y=0','x(0)=1','y(0)=0','t')ezplot(x,y,[0,2]);運行結(jié)果：x=1/2*exp(2^(1/2)*t)+1/4*2^(1/2)*exp(-2^(1/2)*t)-1/4*2^(1/2)*exp(2^(1/2)*t)+1/2*exp(-2^(1/2)*t)y=1/4*2^(1/2)*exp(-2^(1/2)*t)-1/4*2^(1/2)*exp(2^(1/2)*t)4.分別用ode23、ode45求上述第3題中的微分方程初值問題的數(shù)值解(近似解)，求解區(qū)間為．利用畫圖來比較兩種求解器之間的差異．程序代碼：M函數(shù)文件verderpol.m:functionxprime=verderpol(t,x)xprime=[-x(1)-x(2);x(2)-x(1)];在程序中調(diào)用此函數(shù)：clear;y0=[1;0];[t,x]=ode45('verderpol',[0,2],y0);plot(x(:,1),x(:,2),'r-');holdonclear;y0=[1;0];[t,x]=ode23('verderpol',[0,2],y0);plot(x(:,1),x(:,2),'b-');運行結(jié)果：5.用Euler折線法求解微分方程初值問題的數(shù)值解(步長h取0.1)，求解范圍為區(qū)間[0,2]．程序代碼：clearf=sym('y-(12*x^2)/y^3');a=0;b=2;h=0.1;n=(b-a)/h+1;x=0;y=1;szj=[x,y];fori=1:n-1y=y+h*subs(f,{'x','y'},{x,y});x=x+h;szj=[szj;x,y];endszjplot(szj(:,1),szj(:,2),'or-')運行結(jié)果：szj=01.00000.10001.10000.20001.20100.30001.29340.40001.37280.50001.43590.60001.47810.70001.49210.80001.46440.90001.36621.00001.12171.10000.38361.2000-25.30541.3000-27.83581.4000-30.61931.5000-33.68121.6000-37.04921.7000-40.75411.8000-44.82941.9000-49.31232.0000-54.24356.用四階Runge-Kutta法求解微分方程初值問題的數(shù)值解(步長h取0.1)，求解范圍為區(qū)間[0,3]．程序代碼：clear;f=sym('y-exp(x)*cos(x)');a=0;b=3;h=0.1;n=(b-a)/h+1;x=0;y=1;szj=[x,y];fori=1:n-1l1=subs(f,{'x','y'},{x,y});l2=subs(f,{'x','y'},{x+h/2,y+l1*h/2});l3=subs(f,{'x','y'},{x+h/2,y+l2*h/2});l4=subs(f,{'x','y'},{x+h,y+l3*h});y=y+h*(l1+2*l2+2*l3+l4)/6;x=x+h;szj=[szj;x,y];endszjplot(szj(:,1),szj(:,2),'dg-')運行結(jié)果：szj=01.00000.10000.99480.20000.97870.30000.95090.40000.91090.50000.85830.60000.79330.70000.71650.80000.62900.90000.53291.00000.43091.10000.32681.20000.22561.30000.13371.40000.05901.50000.01121.60000.00211.70000.04561.80000.15821.90000.35902.00000.67022.10001.11712.20001.72832.30002.53642.40003.57742.50004.89162.60006.52312.70008.52042.800010.93592.900013.82603.000017.2510六．實驗總結(jié)本次實驗的目的是歸納和學習求解常微分方程(組)的基本原理和方法；掌握解析、數(shù)值解法，并學會用圖形觀察解的形態(tài)和進行解的定性分析；熟悉MATLAB軟件關(guān)于微分方程求解的各種命令。實驗中，我們了解和熟悉了微分方程及方程組的解析求解法；微分方程及方程組的數(shù)值求解法——歐拉、歐拉改進算法；直接使用MATLAB命令對微分方程(組)進行求解(包括解析解、數(shù)值解)以及利用圖形對解的特征作定性分析。經(jīng)過多次MATLAB實驗，對MATLAB的語法也越來越熟悉，對相關(guān)的數(shù)學思想也有了更多了解。