《高等應(yīng)用數(shù)學(xué)》016-0（曾慧平）課件 05-第五章 定積分

高等應(yīng)用數(shù)學(xué)目錄CONTENTS前言0002第2章導(dǎo)數(shù)與微分第4章不定積分04第1章函數(shù)與極限01第3章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用03第5章微分方程05第6章微分方程06第7章多元函數(shù)微積分07定積分第5章5.1定積分概述5.2微積分基本公式5.3定積分的積分方法5.4定積分的應(yīng)用導(dǎo)學(xué)4本章將介紹積分學(xué)中另一重要內(nèi)容——定積分。導(dǎo)學(xué)學(xué)習(xí)目標(biāo)51．理解定積分的概念、幾何意義，了解定積分的性質(zhì)。2．理解積分上限函數(shù)的概念，會(huì)求其導(dǎo)數(shù)，掌握牛頓-萊布尼茨公式。3．掌握定積分的換元積分法和分部積分法。4．理解微元法的概念，掌握定積分在幾何上的應(yīng)用。素質(zhì)目標(biāo)61．提高觀察能力和歸納能力，加強(qiáng)數(shù)形結(jié)合意識(shí)。2．培養(yǎng)自主學(xué)習(xí)的良好習(xí)慣，加強(qiáng)數(shù)學(xué)知識(shí)運(yùn)用于生活的意識(shí)。3．弘揚(yáng)科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)、執(zhí)著專注、精益求精、追求卓越的工匠精神。定積分概述5.15.1.1定積分的定義8引例曲邊梯形的面積設(shè)y=f(x)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，且f(x)≥6則由曲線y=f(x)、直線x=a、直線x=b及x軸所圍成的圖形，稱為曲邊梯形，如圖所示。計(jì)算曲邊梯形的面積呢？5.1.1定積分的定義9根據(jù)分析，可按下面的步驟計(jì)算曲邊梯形的面積：（1）分割任取分點(diǎn)a=x0<x1<…xn-1<xn=b，把區(qū)間[a,b]分成n個(gè)小區(qū)間[x0,x1],[x1,x2]，[x2,x3]，…，[xn-1,xn]每個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度為Δxi=xi–xi-1(i=1,2,…,n)相應(yīng)地，曲邊梯形被分成n個(gè)窄曲邊梯形，每個(gè)窄曲邊梯形的面積記作ΔAi(i=1,2,…,n)5.1.1定積分的定義10根據(jù)分析，可按下面的步驟計(jì)算曲邊梯形的面積：（2）近似代替在每個(gè)小區(qū)間[xi-1,xi]上任取一點(diǎn)ξi，得到以區(qū)間[xi-1,xi]的長(zhǎng)Δxi為底、以f(ξi)為高的債矩形，如圖所示。用窄矩形的面積f(ξi)Δxi近似代替窄曲邊梯形的面積ΔAi

，即ΔAi

≈f(ξi)Δxi(i=1,2,…,n)。5.1.1定積分的定義11根據(jù)分析，可按下面的步驟計(jì)算曲邊梯形的面積：（3）求和將n個(gè)窄矩形的面積相加，便得到曲邊梯形面積的近似值，即

（4）取極限

5.1.1定積分的定義12根據(jù)分析，可按下面的步驟計(jì)算曲邊梯形的面積：（3）求和將n個(gè)窄矩形的面積相加，便得到曲邊梯形面積的近似值，即

（4）取極限

5.1.1定積分的定義13引例變速直線運(yùn)動(dòng)的路程設(shè)某物體做變速直線運(yùn)動(dòng)，其速度v=v(t)是時(shí)間t的連續(xù)函數(shù),求該物體在時(shí)間段[T1，T2]內(nèi)所經(jīng)過(guò)的路程s。5.1.1定積分的定義14整個(gè)路程的近似值的極限便是所求路程的精確值：（1）分割任取分點(diǎn)T1=t0<t1<…xt-1<tn=T2，把[T1,T2]分成n個(gè)小時(shí)段[t0,t1],[t1,t2]，…，[tn-1,tn]每個(gè)小時(shí)段的時(shí)間長(zhǎng)度為Δti=ti–ti-1(i=1,2,…,n)相應(yīng)地，路程s被分成n段小路程，每段小路程記作Δsi(i=1,2,…,n)5.1.1定積分的定義15（2）近似代替在小時(shí)段[ti-1,ti]上任取一點(diǎn)ξi(i=1,2,…,n)，用速度v(ξi)來(lái)近似代替[ti-1,ti]各個(gè)時(shí)刻的速度，則有Δsi

≈v(ξi)Δti(i=1,2,…,n)。整個(gè)路程的近似值的極限便是所求路程的精確值：5.1.1定積分的定義16（3）求和將n個(gè)小時(shí)段上的路程近似值相加，便得到整個(gè)路程的近似值，即（4）取極限整個(gè)路程的近似值的極限便是所求路程的精確值：

5.1.1定積分的定義17定義設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上有界，任取分點(diǎn)a=x0<x1

<…<xn-1<xn=b，把區(qū)間[a，b]分成n個(gè)小區(qū)間[xi-1，xi](i=1,2，…,n)，這些小區(qū)間稱為子區(qū)間，其長(zhǎng)度記作:

5.1.1定積分的定義18定義

其中，“∫”稱為積分號(hào)，f(x)稱為被積函數(shù)，f(x)dx稱為被積表達(dá)式，x稱為積分變量,[a,b]稱為積分區(qū)間，a，b分別稱為積分下限與積分上限。5.1.1定積分的定義19

例1解:

任取分點(diǎn)

，把區(qū)間[0,1]

n等份，分點(diǎn)為

每個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度為:

作乘積得：

5.1.1定積分的定義20

例1

并作和得：

5.1.2定積分的幾何意義21定積分的概念與幾何意義

5.1.2定積分的幾何意義22

5.1.2定積分的幾何意義23

5.1.2定積分的幾何意義24

例2

利用定積分表示如圖所示陰影部分的面積例35.1.2定積分的幾何意義25利用定積分表示如圖所示陰影部分的面積例3解（1）如圖所示，被積函數(shù)y=x2在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且f(x)≥0，由定積分的幾何意義可知，陰影部分的面積為:

5.1.2定積分的幾何意義26利用定積分表示如圖所示陰影部分的面積例3

5.1.2定積分的幾何意義27利用定積分的幾何意義，求下列定積分例4（1）

5.1.2定積分的幾何意義28利用定積分的幾何意義，求下列定積分例4（2）

5.1.3定積分的性質(zhì)29性質(zhì)1被積函數(shù)的常數(shù)因子可以提到積分號(hào)外面，即

性質(zhì)2兩個(gè)函數(shù)代數(shù)和的定積分等于它們定積分的代數(shù)和，即

5.1.3定積分的性質(zhì)30性質(zhì)3（區(qū)間可加性）性質(zhì)4若在區(qū)間[a，b]上有f(x)≥0，則函數(shù)f(x)在[a，b]上的定積分等于f(x)在[a，c]和[c，b]上的定積分的和，即

5.1.3定積分的性質(zhì)31推論1推論2若在區(qū)間[a，b]上有f(x)≤g(x)，則

5.1.3定積分的性質(zhì)32性質(zhì)5性質(zhì)6（估值定理）設(shè)M，m分別是函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上的最大值和最小值，則

定積分中值定理若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則在區(qū)間[a，b]上至少存在一點(diǎn)ξ，使下式成立：

即

中值定理的幾何意義5.1.3定積分的性質(zhì)33例5比較下列各組定積分的大?。?）

與

（2）

與

解：

≥

≤

5.1.3定積分的性質(zhì)34例6估計(jì)

的范圍。解：

再根據(jù)性質(zhì)5，得

課堂小結(jié)35定積分的定義定積分的幾何意義定積分的性質(zhì)微積分基本公式5.25.2.1積分上限函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)37

5.2.1積分上限函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)38因?yàn)槎ǚe分與積分變量的記號(hào)無(wú)關(guān)，所以，為了明確起見(jiàn)，可以把積分變量改用其他記號(hào)，如t則上面的定積分可以表示為

5.2.1積分上限函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)39

這個(gè)函數(shù)稱為積分上限函數(shù)或變上限函數(shù)。5.2.1積分上限函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)40積分上限函數(shù)Φ(x)具有以下重要定理：定理1

定理25.2.1積分上限函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)41

例1

例2解:

這個(gè)積分不是變上限，而是變下限，不能直接運(yùn)用定理1，可先交換上下限，即

從而

5.2.2牛頓-萊布尼茨公式42定理3設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，F(xiàn)(x)是f(x)的一個(gè)原函數(shù)，則

此公式稱為牛頓-萊布尼茨公式，也稱為微積分基本公式。定積分可以通過(guò)以下兩步來(lái)計(jì)算（1）先求f(x)的一個(gè)原函數(shù)F（x）

5.2.2牛頓-萊布尼茨公式43求下列定積分。例3（1）

（2）

解：（1）

解：（2）

5.2.2牛頓-萊布尼茨公式44

例4解：因?yàn)楸环e函數(shù)可化為

所以

5.2.2牛頓-萊布尼茨公式45設(shè)例5解：

課堂小結(jié)46積分上限函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)牛頓-萊布尼茨公式定積分的積分方法5.35.3.1定積分的換元積分法48定理1若f(x)在[a,b]上連續(xù)，函數(shù)x=φ(t)滿足下列條件，則有

該公式稱為定積分的換元積分公式。（1）函數(shù)x=φ(t)在區(qū)間[α，β]上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)φ’(t);（2）φ(α)=

a，φ(β)=

b;（3）當(dāng)t∈[α，β]時(shí)，x=φ(t)∈[α，β]。5.3.1定積分的換元積分法49求例1

求例2

5.3.1定積分的換元積分法50求例3

5.3.2定積分的分部積分法51定理2若u=u(x)與v=v(x)在區(qū)間[a,b]上有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則有

該公式稱為定積分的分部積分公式。5.3.2定積分的分部積分法52求例4

解：

5.3.2定積分的分部積分法53求例5

于是

所以

課堂小結(jié)54定積分的換元積分法定積分的分部積分法定積分的應(yīng)用5.45.4.1定積分的微元法56將分割的一小區(qū)間[xi-1,xi]（i=1,2,…,n），記作[x,x+dx],區(qū)間長(zhǎng)度Δx即為dx,取ξi=x，則dx段所對(duì)應(yīng)的窄曲邊梯形的面積近似于以點(diǎn)x處的函數(shù)值f(x)為高，dx為底的矩形的面積我們稱f(x)dx為曲邊梯形的面積微元，記作dA，即ΔA≈f(x)dx,dA=f(x)dx5.4.1定積分的微元法57通過(guò)微元作定積分來(lái)求某個(gè)實(shí)際量的方法稱為微元法（又稱元素法）。一般地，通過(guò)微元法求某個(gè)實(shí)際量U的步驟如下:(1）選取積分變量（如x)，并確定其變化區(qū)間（如x∈[a，b]。(2）將區(qū)間[a，b]分成n個(gè)小區(qū)間，取其中任一小區(qū)間并記作[x,x+dx]，求這個(gè)小區(qū)間的微元dU=f(x)dx。

5.4.2定積分在幾何上的應(yīng)用581.平面圖形的面積如圖所示，設(shè)平面圖形是由區(qū)間[a，b]上的連續(xù)曲線y=f(x)，y=g(x)及直線x=a,x=b圍成的，試求該平面圖形的面積。分析取x為積分變量，它的變化區(qū)間為[a,b]，在[a,b]上任取一小區(qū)間[x,x+dx]，對(duì)應(yīng)的窄曲邊梯形面積近似于以f(x)-g(x)為高、dx為底的矩形的面積，從而得面積微元為以dA=[f(x)-g(x)]dx。以[f(x)-g(x)]dx為被積表達(dá)式，在區(qū)間[a,b]上作定積分，便得到所求平面圖形的面積，即

591.平面圖形的面積

5.4.2定積分在幾何上的應(yīng)用60計(jì)算由拋物線y2=x，y=x2所圍成的平面圖形的面積。例1解：

這兩條拋物線所圍成的圖形如圖所示，為了確定平面圖形所在的范圍，解方程組

得到兩個(gè)解x=0，y=0及x=1,y=1即這兩拋物線的交點(diǎn)為(0,0)及(1，1)，從而知道該平面圖形在直線x=0，x=1之間5.4.2定積分在幾何上的應(yīng)用61計(jì)算由拋物線y2=x，y=x2所圍成的平面圖形的面積。例1

5.4.2定積分在幾何上的應(yīng)用62例2求由拋物線y2=2x與直線y=x-4所圍成的平面圖形的面積。解：所圍成的圖形如圖所示。解方程組

得出拋物線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為（2,-2）和（8,4）5.4.2定積分在幾何上的應(yīng)用63例2求由拋物線y2=2x與直線y=x-4所圍成的平面圖形的面積。

5.4.2定積分在幾何上的應(yīng)用642.空間立體的體積旋轉(zhuǎn)體的體積類型1如圖所示，設(shè)旋轉(zhuǎn)體是由連續(xù)曲線y=f(x)、直線x=a、直線x=b及x軸所圍成的曲邊梯形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周形成的，試求它的體積。5.4.2定積分在幾何上的應(yīng)用652.空間立體的體積

5.4.2定積分在幾何上的應(yīng)用662.空間立體的體積旋轉(zhuǎn)體的體積類型2如圖所示，設(shè)旋轉(zhuǎn)體是由連續(xù)曲線x=φ(y)、直線y=c、直線y=b及y軸所圍成的曲邊梯形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周形成的，則可求得其體積為

5.4.2定積分在幾何上的應(yīng)用67例3求由y=x2+1,x=0,x=1與x軸所圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體的體積，如圖。解取x為積分變量，其變化區(qū)間為[0,1]則所求旋轉(zhuǎn)體的體積為

5.4.2定積分在幾何上的應(yīng)用682.空間立體的體積平行