時(shí)間序列分析-第四章-均值和自協(xié)方差函數(shù)的估計(jì)省名師優(yōu)質(zhì)課賽課獲獎(jiǎng)?wù)n件市賽課一等獎(jiǎng)?wù)n件

第四章均值和自協(xié)方差函數(shù)預(yù)計(jì)第1頁本章結(jié)構(gòu)均值預(yù)計(jì)自協(xié)方差函數(shù)預(yù)計(jì)白噪聲檢驗(yàn)第2頁§4.1均值預(yù)計(jì)相合性中心極限定理收斂速度模擬計(jì)算第3頁均值、自協(xié)方差函數(shù)作用AR,MA,ARMA模型參數(shù)能夠由自協(xié)方差函數(shù)唯一確定。有了樣本之后，能夠先預(yù)計(jì)均值和自協(xié)方差函數(shù)。然后由均值和自協(xié)方差函數(shù)解出模型參數(shù)。均值和自協(xié)方差能夠用矩預(yù)計(jì)法求。還要考慮相合性，漸進(jìn)分布，收斂速度等問題。第4頁均值預(yù)計(jì)公式設(shè)是平穩(wěn)列觀察。

點(diǎn)預(yù)計(jì)為把觀察樣本看成隨機(jī)樣本時(shí)記作大寫第5頁相合性設(shè)統(tǒng)計(jì)量是預(yù)計(jì)，在統(tǒng)計(jì)學(xué)中有以下定義1假如，則稱是無偏預(yù)計(jì)。2假如當(dāng)則稱是漸進(jìn)無偏預(yù)計(jì)。3假如依概率收斂到，則稱是相合預(yù)計(jì)。4假如收斂到，則稱是強(qiáng)相合預(yù)計(jì)。第6頁普通情況下，無偏預(yù)計(jì)比有偏預(yù)計(jì)來得好，對于由(1.1)定義。有所以是均值無偏預(yù)計(jì)。第7頁均值預(yù)計(jì)相合性好預(yù)計(jì)量起碼應(yīng)是相合。不然，預(yù)計(jì)量不收斂到要預(yù)計(jì)參數(shù)，它無助于實(shí)際問題處理。對于平穩(wěn)序列，假如它自協(xié)方差函數(shù)

收斂到零，則：第8頁第9頁利用切比雪夫不等式得到依概率收斂到。于是是相合預(yù)計(jì)。第10頁均值預(yù)計(jì)性質(zhì)定理1.1設(shè)平穩(wěn)序列有均值和自協(xié)方差函數(shù)。則1是無偏預(yù)計(jì)。2假如則

是相合預(yù)計(jì)。3假如還是嚴(yán)平穩(wěn)遍歷序列，則是

強(qiáng)相合預(yù)計(jì)。

第11頁第三條結(jié)論利用1.5遍歷定理5.1可得。

普通地，任何強(qiáng)相合預(yù)計(jì)一定是相合預(yù)計(jì)。

線性平穩(wěn)列均值預(yù)計(jì)是相合預(yù)計(jì)。ARMA模型均值預(yù)計(jì)是相合預(yù)計(jì)。第12頁獨(dú)立同分布樣本中心極限定理若。則能夠據(jù)此計(jì)算置信區(qū)間。(1.3)其中1.96也經(jīng)慣用2近似代替。第13頁平穩(wěn)列均值預(yù)計(jì)中心極限定理定理1.2設(shè)是獨(dú)立同分布，線性平穩(wěn)序列由(1.5)定義。其中平方可和。假如譜密度(1.6)

在連續(xù)，而且則當(dāng)時(shí)，第14頁推論當(dāng)絕對可和時(shí)，連續(xù)。推論1.3假如和成立，則當(dāng)時(shí)而且(1.7)第15頁收斂速度相合預(yù)計(jì)量漸進(jìn)性質(zhì)除了是否服從中心極限定理外，還包含這個(gè)預(yù)計(jì)量收斂速度。收斂速度描述方法之一是所謂重對數(shù)律。重對數(shù)律成立時(shí)，得到收斂速度階數(shù)普通是除了個(gè)別情況，這個(gè)階數(shù)普通不能再被改進(jìn)。第16頁收斂速度(2)定理1.4設(shè)是獨(dú)立同分布。線性平穩(wěn)序列由(1.5)定義。譜密度。當(dāng)以下條件之一成立時(shí)：1當(dāng)以負(fù)指數(shù)階收斂于0.2譜密度在連續(xù)。而且

對某個(gè)成立。第17頁則有重對數(shù)律(1.8)(1.9)易見重對數(shù)律滿足時(shí)

不收斂。第18頁AR(2)均值計(jì)算令

考慮AR(2)模型為模擬方便設(shè)。第19頁AR(2)均值計(jì)算(2)第20頁預(yù)計(jì)收斂性模擬為了觀察時(shí)收斂能夠模擬L個(gè)值然后觀察改變。為了研究固定N情況下精度以至于抽樣分布。能夠進(jìn)行M次獨(dú)立隨機(jī)模擬，得到M個(gè)

觀察值。這種方法對于難以得到預(yù)計(jì)量理論分布情況是很有用。第21頁第22頁第23頁第24頁第25頁§4.2自協(xié)方差函數(shù)預(yù)計(jì)自協(xié)方差預(yù)計(jì)公式及正定性

相合性

漸進(jìn)分布模擬計(jì)算第26頁自協(xié)方差函數(shù)預(yù)計(jì)公式

(2.2)樣本自相關(guān)系數(shù)(ACF)預(yù)計(jì)為(2.3)第27頁自協(xié)方差函數(shù)預(yù)計(jì)公式預(yù)計(jì)普通不使用除了預(yù)計(jì)形式：(2.4)因?yàn)椋?/p>

我們不對大k值計(jì)算

更主要是只有除以N預(yù)計(jì)式才是正定。第28頁樣本自協(xié)方差正定性只要觀察不全相同則正定。令記(2.5)只要不全是零則A滿秩。第29頁樣本自協(xié)方差正定性實(shí)際上，設(shè)則A矩陣左面會出現(xiàn)一個(gè)以值開始非零斜面。顯然是滿秩。故不全相同時(shí)正定。

作為主子式也是正定。第30頁

相合性定理2.1設(shè)平穩(wěn)序列樣本自協(xié)方差函數(shù)由式(2.2)或(2.4)定義。1假如當(dāng)時(shí)，則對每個(gè)確定k，

是漸進(jìn)無偏預(yù)計(jì)：第31頁2假如是嚴(yán)平穩(wěn)遍歷序列。則對每個(gè)確定k,和分別是和強(qiáng)相合預(yù)計(jì)：第32頁定理2.1證實(shí)下面只對由(2.2)定義樣本自協(xié)方差函數(shù)證實(shí)定理2.1。對由(2.4)定義證實(shí)是一樣。

設(shè)則是零均值平穩(wěn)序列。利用(2.7)第33頁定理2.1證實(shí)第34頁第35頁定理2.1證實(shí)第36頁第37頁只考慮線性序列。

設(shè)是4階矩有限獨(dú)立同分布

實(shí)數(shù)列平方可和。線性平穩(wěn)序列(2.8)

第38頁

有自協(xié)方差函數(shù)(2.9)

有譜密度(2.10)第39頁設(shè)自協(xié)方差函數(shù)列平方可和。設(shè)為獨(dú)立同分布。令定義正態(tài)時(shí)間序列(2.11)(2.12)第40頁樣本自協(xié)方差和自相關(guān)中心極限定理定理2.2設(shè)是獨(dú)立同分布。滿足。假如線性平穩(wěn)序列(2.8)譜密度(2.10)平方可積：第41頁則對任何正整數(shù)h，當(dāng)時(shí)，有以下結(jié)果1依分布收斂到2依分布收斂到

第42頁自相關(guān)檢驗(yàn)例子例2.1(接第三章例1.1)對MA(q)序列。利用定理2.2得到，只要當(dāng)依分布收斂到分布。注意時(shí)，中應(yīng)屬于，所以令有

第43頁為期望為0，方差為正態(tài)分布。在假設(shè)是MA(q)下，對m>q有第44頁自相關(guān)檢驗(yàn)例子現(xiàn)在用表示第三章例1.1中差分后化學(xué)濃度數(shù)據(jù)。在是MA(q)下。用代替真值后分別對計(jì)算出第45頁在q=0假設(shè)下，所以應(yīng)該否定q=0.第46頁自相關(guān)檢驗(yàn)例子實(shí)際工作中人們還計(jì)算概率

而且把p稱為檢驗(yàn)p值。顯著p值越小，數(shù)據(jù)提供否定原假設(shè)依據(jù)越充分?，F(xiàn)在在下，近似服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。所以p值幾乎是零，因而必須拒絕是MA(0)假設(shè)。

取q=1時(shí)，所以不能拒絕

是MA(1)假設(shè)。第47頁譜密度平方可積充要條件對于實(shí)際工作者來講譜密度平方可積條件通常極難驗(yàn)證。于是希望能把定理2.2中譜密度平方可積條件改加在自協(xié)方差函數(shù)收斂速度上。定理2.3對于一平穩(wěn)序列它自協(xié)方差函數(shù)平方可積充分必要條件是它譜密度平方可積。第48頁這個(gè)結(jié)論主要是利用實(shí)變函數(shù)論中Fourier級數(shù)理論。只有證實(shí)時(shí)用了周期圖(如P.67定理3.1證實(shí)，那里絕對可和)。證實(shí)略。推論2.4設(shè)是獨(dú)立同分布白噪聲

滿足假如線性平穩(wěn)序列(2.8)自協(xié)方差函數(shù)平方可和：則定理2.2中結(jié)論成立。第49頁

快速收斂條件下中心極限定理定理2.2要求白噪聲方差有4階矩。下面關(guān)于線性平穩(wěn)序列樣本自相關(guān)系數(shù)中心極限定理不要求噪聲項(xiàng)4階矩有限。定理2.5設(shè)是獨(dú)立同分布線性平穩(wěn)序列由(2.8)定義。假如自協(xié)方差函數(shù)

平方可和，而且對某個(gè)常數(shù)(2.13)

第50頁則對任何正數(shù)h.當(dāng)時(shí)，

依分布收斂到ARMA序列滿足(2.13).ARMA序列白噪聲列是獨(dú)立同分布序列時(shí)定理2.5結(jié)論成立。第51頁獨(dú)立同分布列中心極限定理推論2.6假如是獨(dú)立同分布白噪聲，

是樣本自相關(guān)系數(shù)，則對任何正整數(shù)h:1:

依分布收斂到多元標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布這里

是單位矩陣。第52頁2：假如則

依分布收斂到第53頁推論2.6證實(shí)對白噪聲，定理2.5條件滿足。第二條滿足推論2.4條件。第54頁AR(2)模型實(shí)例首先用圖形表示N不一樣時(shí)誤差。然后重復(fù)M=1000次計(jì)算1000個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差(稱為標(biāo)準(zhǔn)誤差)。發(fā)覺N增大時(shí)標(biāo)準(zhǔn)誤差減小。誤差隨N減小速度為。根離單位圓近模型其預(yù)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤差大。第55頁第56頁第57頁第58頁第59頁第60頁第61頁§4.3白噪聲檢驗(yàn)白噪聲檢驗(yàn)樣本自相關(guān)置信區(qū)間檢驗(yàn)法第62頁白