套利定價(jià)模型課件

第六章套利定價(jià)模型第六章套利定價(jià)模型一、因子模型

（一）概述

因子模型(factormodel)由夏普于1963年提出，是一種假設(shè)證券的收益率與不同的因子或者指標(biāo)的運(yùn)動(dòng)有關(guān)的經(jīng)濟(jì)模型系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)因素：對(duì)大多數(shù)資產(chǎn)產(chǎn)生影響的風(fēng)險(xiǎn)，只是每種資產(chǎn)受影響的程度不同而已。

例如：GNP、利率、通脹非系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)因素：對(duì)某一種資產(chǎn)或某一類資產(chǎn)發(fā)生影響的風(fēng)險(xiǎn)。

例如：公司的高管變更、研發(fā)信息、銷售信息、競(jìng)爭(zhēng)對(duì)手的信息一、因子模型（一）概述一、因子模型股票的收益：R=E（R）+U

E（R）：期望收益；

U：非期望收益，即風(fēng)險(xiǎn)收益把風(fēng)險(xiǎn)收益U分為系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)m和非系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)兩個(gè)部分。非系統(tǒng)因素之間不相關(guān)，即：相關(guān)系數(shù)

R=E（R）+m+預(yù)期到的系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)中的變動(dòng)部分非系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)一、因子模型股票的收益：R=E（R）+U預(yù)期一、因子模型

假定考慮通脹、GNP和利率三個(gè)系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)因素，它們與股票收益相關(guān)的系數(shù)為、、，則：

期望收益率非期望部分一、因子模型假定考慮通脹、GNP和利一、因子模型

例：年初預(yù)測(cè)：期望通脹率=5％，期望GNP增長(zhǎng)率=2％，期望利率變動(dòng)=0。β系數(shù)：βI=2，βGNP=1，βr=－1.8實(shí)際結(jié)果：①實(shí)際通脹率=7％，實(shí)際GNP增長(zhǎng)率=1％，實(shí)際利率變動(dòng)=－2％②公司成功實(shí)施新的企業(yè)戰(zhàn)略，這一沒有預(yù)料到的發(fā)展使公司股票收益增長(zhǎng)5％③同期股票市場(chǎng)的平均收益，R＝4％一、因子模型例：年初預(yù)測(cè)：期望通脹率=5％一、因子模型

則各系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)因素的異動(dòng)

FI＝7％－5％＝2％

FGNP＝1％－2％＝－1％

Fr＝－2％－0＝－2％系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)因素異動(dòng)對(duì)該公司股票收益的影響：

m＝βIFI＋βGNPFGNP＋βrFr

＝2×2%＋1×（-1％）＋（-1.8）×（-2％）＝6.6

總風(fēng)險(xiǎn)收益=m＋ε＝6.6%+5%=11.6%

總收益R＝E(R)＋m＋ε＝4％＋11.6％＝15.6%一、因子模型則各系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)因素的異動(dòng)一、因子模型

（二）單因子模型

單因子模型相對(duì)CAPM解決了兩個(gè)問題，一是提供一種簡(jiǎn)化地應(yīng)用CAPM的方式；二是細(xì)分影響總體市場(chǎng)環(huán)境變化的宏觀因素。

一、因子模型（二）單因子模型

假設(shè)僅考慮經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)GDP對(duì)公司股票收益率的影響，即只考慮GDP變化對(duì)風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償?shù)挠绊憽?/p>

歷史數(shù)據(jù)庫(kù)年GDP增長(zhǎng)率（%）證券收益率（%）1234565.76.47.97.05.12.914.319.223.415.69.213.0一、因子模型

假設(shè)僅考慮經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)GDP對(duì)公司股票收益率這一關(guān)系也可用下面的圖形表示

24201612844826??????9這一關(guān)系也可用下面的圖形表示24201612844826?一、因子模型

使用一元回歸分析的統(tǒng)計(jì)技術(shù)做一條直線來擬合圖中的點(diǎn)。那么，圖中這條直線的回歸方程則為：

Ri=4%+2GDP

回歸方程和直線都表示較高預(yù)期的GDP與較高的證券收益率相關(guān)聯(lián)。一、因子模型使用一元回歸分析的統(tǒng)計(jì)技術(shù)一、因子模型

任一給定證券的實(shí)際回報(bào)率由于含有非因素回報(bào)率的緣故而位于擬合直線的上方或下方。因此對(duì)例中的單因子模型所反映的關(guān)系的完整描述為：

任何一個(gè)證券的收益由三部分構(gòu)成：αi：宏觀因素期望變化為零時(shí)的收益，是投資者對(duì)證券的期初收益；βiG：系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)收益，即隨整個(gè)市場(chǎng)運(yùn)動(dòng)變化不確定性（非預(yù)期的）的收益，且變化的敏感度是βi，測(cè)量因子風(fēng)險(xiǎn)；εi：與國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值無關(guān)因素的作用，是非系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)收益（既測(cè)量非因子風(fēng)險(xiǎn)），即只與單個(gè)證券相關(guān)的非預(yù)期事件形成的非預(yù)期收益。一、因子模型任一給定證券的實(shí)際回報(bào)率

1、單因子模型的一般形式

一般地，單因子模型認(rèn)為有一個(gè)因素F對(duì)證券收益產(chǎn)生廣泛影響，這種影響力通過對(duì)每種證券i在任意時(shí)期t的建立如下方程來反映：

其中：

是證券i在t時(shí)期的（實(shí)際）收益率,

是宏觀因素在t期的值，

是證券i對(duì)宏觀因素的敏感度，

是一個(gè)均值為零的隨機(jī)變量，

是當(dāng)宏觀因素均值為零時(shí)證券的收益率。一、因子模型

1、單因子模型的一般形式一、因子模型一、因子模型

2、單因子模型有如下假設(shè)：

收益率的生成過程由上述回歸方程描述

對(duì)每一證券i，每一證券的殘差與宏觀因素不相關(guān)，這意味著因素的結(jié)果對(duì)隨機(jī)誤差的結(jié)果沒有任何影響：證券i與j的殘差不相關(guān)，這意味著一種證券的隨機(jī)誤差結(jié)果對(duì)任意其他證券的隨機(jī)誤差結(jié)果不產(chǎn)生任何影響。換句話說，兩種證券的回報(bào)率僅僅通過對(duì)因素的共同反應(yīng)而相關(guān)聯(lián)：

一、因子模型2、單因子模型有如下假設(shè)：

上述方程中證券i的期望收益、方差、協(xié)方差分別為：期望收益率：一、因子模型

上述方程中證券i的期望收益、方差、協(xié)方差分別

方差：

其中，

是因素的方差，

是隨機(jī)誤差項(xiàng)的方差

因而證券i收益率的方差分為兩個(gè)部分：系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)

，主要由宏觀因素影響產(chǎn)生；非系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)殘差方差，主要由微觀因素影響產(chǎn)生一、因子模型

不能分散可分散方差：一、因子模型不能分散可分散協(xié)方差：一、因子模型協(xié)方差只取決于市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)。協(xié)方差：一、因子模型協(xié)方差只取決于市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)。

3、單因子模型中表示的系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)與非系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)

因子模型是一個(gè)描述證券收益生成的模型。

表示非系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)；

表示系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)，其中，

表示宏觀因素均值為零時(shí)證券的期望收益。

Return

一、因子模型

因子風(fēng)險(xiǎn)非因子風(fēng)險(xiǎn) 3、單因子模型中表示的系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)與非系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)一、因子一、因子模型

（三）資本資產(chǎn)定價(jià)模型與因子模型

1、市場(chǎng)模型(MarketModel)用證券市場(chǎng)指數(shù)來作為影響證券價(jià)格的單因素，此時(shí)的單因子模型被稱為市場(chǎng)模型。市場(chǎng)模型實(shí)際上是單因素模型的一個(gè)特例。一、因子模型（三）資本資產(chǎn)定價(jià)模型與因子模型一、因子模型

假設(shè)一種股票在某一特定時(shí)期內(nèi)的收益率與同一時(shí)期證券市場(chǎng)指數(shù)（如標(biāo)準(zhǔn)普爾500指數(shù)）的收益率相聯(lián)系，即如果行情上揚(yáng)，則很可能該股票價(jià)格會(huì)上升，市場(chǎng)行情下降，則該股票很可能下跌。因此，可以用市場(chǎng)模型的方程表示這一關(guān)系：式中：代表某一給定時(shí)期證券i的收益率；

I代表市場(chǎng)指數(shù)；代表相同時(shí)期市場(chǎng)指數(shù)I的收益率；是隨機(jī)誤差項(xiàng)一、因子模型假設(shè)一種股票在某一特定時(shí)期內(nèi)一、因子模型

例子：考慮股票A，有αIi=2%，?I

i=1.2，這意味著股票A的市場(chǎng)模型為：

因此，如果市場(chǎng)指數(shù)回報(bào)率為10%，則證券A的回報(bào)率預(yù)期為14%（=2%+1.2*10%）。同樣，如果市場(chǎng)預(yù)期的回報(bào)率為-5%，則證券A的預(yù)期回報(bào)率為-4%。

注意：由于隨機(jī)誤差項(xiàng)的存在（表示證券回報(bào)率中沒有被市場(chǎng)模型所完全解釋的部分），當(dāng)市場(chǎng)指數(shù)上升10%或下降5%時(shí)，證券A的回報(bào)率將不會(huì)準(zhǔn)確地為14%或-4%。即，實(shí)際回報(bào)率和所給定市場(chǎng)指數(shù)回報(bào)率之間的差額將歸結(jié)于隨機(jī)誤差項(xiàng)的影響。一、因子模型例子：考慮股票A，有αIi=2%，?一、因子模型2、資本資產(chǎn)定價(jià)模型與因子模型的關(guān)系CAPM可視為一個(gè)特殊的單因子模型，在那里的市場(chǎng)組合收益率rM實(shí)質(zhì)上就是一個(gè)單因素。以市場(chǎng)組合的收益率的風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償來作為宏觀經(jīng)濟(jì)指數(shù)，于是有：,或者

（實(shí)際上這是證券i對(duì)市場(chǎng)組合收益的回歸方程，其回歸直線就是證券i的特征線）一、因子模型2、資本資產(chǎn)定價(jià)模型與因子模一、因子模型但資本資產(chǎn)定價(jià)模是一個(gè)資產(chǎn)定價(jià)的均衡模型，而因子模型卻不是。例如，比較分別由因子模型和資本資產(chǎn)定價(jià)模型得到的證券的預(yù)期收益率：前者不是一個(gè)均衡模型，而后者是均衡模型一、因子模型但資本資產(chǎn)定價(jià)模是一個(gè)資產(chǎn)定價(jià)一、因子模型單因子模型中參數(shù)αi和βi與資本資產(chǎn)定價(jià)模型中單因素βi之間存在怎樣的關(guān)系呢？例如，如果實(shí)際收益率可以看作是由單因子模型產(chǎn)生，其中因素F是市場(chǎng)組合的收益率rM，那么預(yù)期收益率將等于：

根據(jù)資本資產(chǎn)定價(jià)模型，如果均衡存在，則一、因子模型單因子模型中參數(shù)αi和βi與資一、因子模型這意味著，單因子模型和資本資產(chǎn)定價(jià)模型的參數(shù)之間必然存在下列關(guān)系：一、因子模型這意味著，單因子模型和資本資產(chǎn)一、因子模型可以再?gòu)囊韵陆嵌瓤磧蓚€(gè)貝塔的關(guān)系：證券i的風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償與市場(chǎng)組合的風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償?shù)膮f(xié)方差是：從而

這里的βi和資本資產(chǎn)定價(jià)模型（證券市場(chǎng)線）里的β系數(shù)是完全一樣的，這也就是為什么把指數(shù)模型里對(duì)宏觀經(jīng)濟(jì)變量的敏感度也定義為β的原因一、因子模型可以再?gòu)囊韵陆嵌瓤磧蓚€(gè)貝塔的一、因子模型在資本資產(chǎn)定價(jià)模型和市場(chǎng)模型中都有一個(gè)被稱為?值的斜率，并且這兩個(gè)模型或多或少地包含了市場(chǎng)，但是它們之間卻有明顯的區(qū)別：資本資產(chǎn)定價(jià)模型是一個(gè)均衡模型，它描述證券的價(jià)格如何確定；市場(chǎng)模型是一個(gè)因子模型。資本資產(chǎn)定價(jià)模型是相對(duì)于整個(gè)市場(chǎng)組合而言的，即相對(duì)于市場(chǎng)中所有證券的集合。而市場(chǎng)模型是相對(duì)于某個(gè)市場(chǎng)指數(shù)而言，即基于市場(chǎng)中的一個(gè)樣本。

但是在實(shí)際操作中，由于不能確切知道市場(chǎng)組合的構(gòu)成，所以一般用市場(chǎng)指數(shù)來代替，因此可以用市場(chǎng)模型中測(cè)算的?值來代替資本資產(chǎn)定價(jià)模型中的?值。

Return

一、因子模型在資本資產(chǎn)定價(jià)模型和市場(chǎng)模型中一、因子模型（四）多因子模型1、多因子模型的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)經(jīng)濟(jì)狀況影響著大部分企業(yè)，因而對(duì)經(jīng)濟(jì)前景的預(yù)期的變化被認(rèn)為對(duì)絕大部分證券的收益率產(chǎn)生深刻影響。然而經(jīng)濟(jì)并不是一個(gè)簡(jiǎn)單、統(tǒng)一的實(shí)體，因而我們需要確認(rèn)一些具有廣泛作用的共同影響力，比如：國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值；利率水平；通貨膨脹率；石油價(jià)格水平。多因子模型對(duì)現(xiàn)實(shí)的近似程度更高。這一簡(jiǎn)化形式使得證券組合理論廣泛應(yīng)用于實(shí)際成為可能，尤其是20世紀(jì)70年代以來計(jì)算機(jī)的發(fā)展和普及以及軟件的成套化和市場(chǎng)化，極大地促進(jìn)了現(xiàn)代證券組合理論在實(shí)踐中的應(yīng)用。一、因子模型（四）多因子模型一、因子模型

2、多因子模型（Multifactormodels）

當(dāng)考慮多個(gè)因素對(duì)證券收益率的影響時(shí)，則產(chǎn)生多因子模型，多因子模型更加清晰明確解釋了系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)，從而有可能展示不同的股票對(duì)不同的因素有不同的敏感性。

一、因子模型2、多因子模型（Multif一、因子模型

多因子模型的假設(shè)條件：在多因子模型中，各因子之間不存在相關(guān)關(guān)系。即Fi與Fj之間均協(xié)方差為零；證券的殘差與因子之間協(xié)方差為零。

Cov(εi，F(xiàn)i)=0兩種證券收益率εi和εj之間的協(xié)方差為零。

εi的均值E（εi）=0，一切εi，εj不相關(guān)，即

Cov（εi,εj）=0

一、因子模型多因子模型的假設(shè)條件：一、因子模型（1）單一證券的雙因子模型

雙因子模型在t時(shí)期的方程式為：F1t和F2t是兩個(gè)對(duì)證券回報(bào)率具有普遍影響的因素，βi1和βi2分別是證券i對(duì)兩個(gè)因素的敏感性。同單因子模型一樣，εit是隨機(jī)誤差項(xiàng)，αi是當(dāng)兩個(gè)因素都取值為0是證券i的預(yù)期回報(bào)率。在雙因素模型中，我們需要為每種證券估計(jì)4個(gè)參數(shù)：αi,βi1,βi2以及隨機(jī)誤差的標(biāo)準(zhǔn)差εit。對(duì)每個(gè)因素，需要估計(jì)兩個(gè)參數(shù)：因素的預(yù)期值以及因素的方差。此外還要估計(jì)兩個(gè)因素的協(xié)方差cov(F1,F2)。一、因子模型（1）單一證券的雙因子模型一、因子模型預(yù)期收益率：利用上述估計(jì)值，證券i的預(yù)期收益率可以由下式計(jì)算得出：方差：根據(jù)雙因子模型，任意證券i的方差為：一、因子模型預(yù)期收益率：利用上述估計(jì)值，證一、因子模型（2）單一證券的多因子模型一般式

一、因子模型（2）單一證券的多因子模型一一、因子模型

3、投資組合的因子模型用N種股票構(gòu)建一個(gè)組合：?jiǎn)我蜃幽Ｐ停篟i＝αi+βiF+εi

（i＝1，2，…，N）

（1）組合的收益：

RP＝X1R1＋X2R2＋X3R3＋…＋XNRN

＝X1（α1+β1F+ε1）＋X2（α2+β2F+ε2）＋…＋XN（αN+βNF+εN）＝（X1

α1＋X2α2＋…＋XNα

N）＋（X1β1＋X2β2＋…＋XNβN）F＋（X1ε1＋X2ε2＋…＋XNεN）一、因子模型3、投資組合的因子模型一、因子模型

（2）證券組合單因子的風(fēng)險(xiǎn)描述任意兩種證券之間的協(xié)方差為：

故組合的方差為：一、因子模型（2）證券組合單因子的風(fēng)險(xiǎn)描一、因子模型

（3）證券組合多因子的風(fēng)險(xiǎn)描述證券i收益率的方差：證券i和j之間的協(xié)方差：（不考慮因子之間的相關(guān)性）

Return一、因子模型（3）證券組合多因子的風(fēng)險(xiǎn)描述一、因子模型

練習(xí)題1：基于單因子模型，有兩種證券A和B有：

1、計(jì)算每一種證券的標(biāo)準(zhǔn)差

2、假定A證券在組合中的比重為XA=40%，B證券的比重為XB=60%，計(jì)算組合的方差一、因子模型練習(xí)題1：一、因子模型

解：（1）單一證券單因子的風(fēng)險(xiǎn)衡量：一、因子模型解：（1）單一證券單因子的風(fēng)險(xiǎn)衡量：一、因子模型

（2）證券組合單因子的風(fēng)險(xiǎn)衡量一、因子模型（2）證券組合單因子的風(fēng)險(xiǎn)衡量一、因子模型

練習(xí)題2：考慮一個(gè)如下特征的兩證券投資組合：證券零因素因素1因素2非因素風(fēng)險(xiǎn)比例（期望收益）敏感度敏感度（方差）

A2%0.32.01.96%0.7B3%0.51.81.00%0.3

假定兩因素不相關(guān)，因素1的期望值為15%，標(biāo)準(zhǔn)差為20%；因素2的期望值為4%，標(biāo)準(zhǔn)差為5%。計(jì)算組合的期望收益率與標(biāo)準(zhǔn)差一、因子模型練習(xí)題2：考慮一個(gè)如下特征的兩證券一、因子模型

解：（1）證券組合多因子的收益衡量：一、因子模型解：（1）證券組合多因子的收益衡量：一、因子模型

（2）證券組合多因子的風(fēng)險(xiǎn)衡量一、因子模型（2）證券組合多因子的風(fēng)險(xiǎn)衡量二、套利定價(jià)模型（APT）羅斯(Ross)1976年提出的套利定價(jià)理論，是作為CAPM的替代物。CAPM的驗(yàn)證涉及到對(duì)市場(chǎng)組合是否有效的驗(yàn)證，但這在實(shí)證上是不可行的。于是針對(duì)CAPM的單因子模型，Ross提出目前被統(tǒng)稱為APT的多因子模型。APT拓展了更多影響風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)收益的因素，并根據(jù)無套利原則，得到風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)均衡收益與多個(gè)因素之間存在線性關(guān)系的結(jié)論。二、套利定價(jià)模型（APT）羅斯(Ross)19二、套利定價(jià)模型（APT）（一）套利定價(jià)理論(ArbitragePricingTheory)的假設(shè)和邏輯起點(diǎn)

1、假設(shè)條件：資本市場(chǎng)處于競(jìng)爭(zhēng)均衡狀態(tài)；投資者是非滿足的，喜愛更多財(cái)富；任何證券的預(yù)期收益率可用因子模型表示；不同證券的剩余收益之間不相關(guān)，且協(xié)方差為0；市場(chǎng)上證券的種類遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于因子的數(shù)目與CAPM的假設(shè)相同二、套利定價(jià)模型（APT）（一）套利定價(jià)理二、套利定價(jià)模型（APT）APT模型不需要以下的假設(shè)單期投資；不存在稅收的問題；投資者能以無風(fēng)險(xiǎn)利率自由地借入和貸出資金；投資者以回報(bào)率的均值和方差選擇投資組合。二、套利定價(jià)模型（APT）APT模型不需二、套利定價(jià)模型（APT）2、套利定價(jià)理論模型的邏輯起點(diǎn)——因子模型與充分分散風(fēng)險(xiǎn)的投資組合（1）因子模型在套利定理理論中，先從考察一個(gè)單因子模型入手，這個(gè)模型假設(shè)只有單個(gè)系統(tǒng)因素影響證券的收益。資產(chǎn)收益的不確定性來自兩個(gè)方面：共同或宏觀經(jīng)濟(jì)因素和廠商的特別風(fēng)險(xiǎn)。二、套利定價(jià)模型（APT）2、套利定價(jià)理論二、套利定價(jià)模型（APT）如果用F表示共同因素期望值的偏差，表示廠商i對(duì)該因素的敏感性，表示廠商特定的擾動(dòng)，則該單因子模型表明廠商的實(shí)際收益等于其初始期望收益加上一項(xiàng)由未預(yù)料的整個(gè)經(jīng)濟(jì)事件引起（零期望值）的隨機(jī)量，再加上另一項(xiàng)由廠商特定事件引起（零期望值）的隨機(jī)量。其公式為：條件是：二、套利定價(jià)模型（APT）如果用F表示共同因二、套利定價(jià)模型（APT）

例子：假設(shè)宏觀因素F代表GNP的意外的百分比變化，而輿論認(rèn)為今年GNP將變化4％。我們還假定一種股票的值為1.2。如果GNP只增長(zhǎng)了3％，則F值為－1％，表明在與期望增長(zhǎng)相比較時(shí)，實(shí)際增長(zhǎng)有1％的失望。給定該股票的值，可將失望轉(zhuǎn)化為一項(xiàng)表示比先前的預(yù)測(cè)低1.2％的股票的收益。這項(xiàng)宏觀的意外加上廠商特定的擾動(dòng)，就決定了該股票的收益對(duì)其原始期望值的全部偏離程度。二、套利定價(jià)模型（APT）例子：二、套利定價(jià)模型（APT）（2）充分分散風(fēng)險(xiǎn)的投資組合假如一個(gè)投資組合是充分分散風(fēng)險(xiǎn)的，那它的廠商特定風(fēng)險(xiǎn)(非系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn))可以被分散掉，保留下來的只有因素（系統(tǒng)）風(fēng)險(xiǎn)，即收益與風(fēng)險(xiǎn)為：

其中，

二、套利定價(jià)模型（APT）（2）充分分散風(fēng)險(xiǎn)的投二、套利定價(jià)模型（APT）定義“充分分散的投資組合”為：滿足按比例分散持有足夠大數(shù)量的證券組合，而每一種證券i的數(shù)量又小到可以使非系統(tǒng)方差被忽略掉。既然非系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)因素可以被分散掉，那么只有系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)在市場(chǎng)均衡中控制證券的風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)。在充分分散的投資組合中，各個(gè)廠商之間的非系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)相互抵償，因此，在一個(gè)證券組合中，與其期望收益相關(guān)的就只有系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)了。

Return二、套利定價(jià)模型（APT）定義“充分分散的二、套利定價(jià)模型（APT）（二）套利及套利的發(fā)生1、具有相同值的套利如果兩個(gè)充分分散化的投資組合有相同的值，那它們?cè)谑袌?chǎng)均衡時(shí)必定有相同的預(yù)期收益。否則有套利機(jī)會(huì)出現(xiàn)，通過套利使二者的預(yù)期收益率相等。二、套利定價(jià)模型（APT）（二）套利及套利的發(fā)二、套利定價(jià)模型（APT）例子：

二、套利定價(jià)模型（APT）例子：二、套利定價(jià)模型（APT）已知分散化的投資組合的收益是：（單因素）套利組合的構(gòu)成及套利過程：（0.10＋1.0×F）×100萬(wàn)美元（在資產(chǎn)組合A上作多頭）－（0.08＋1.0×F）×100萬(wàn)美元（在資產(chǎn)組合B上作空頭）0.02×100萬(wàn)美元＝20000美元（凈收益）這樣，就獲得了一項(xiàng)無風(fēng)險(xiǎn)利潤(rùn)。這項(xiàng)策略要求凈投資為零。我們應(yīng)繼續(xù)需求一個(gè)盡可能大的投資規(guī)模，直至兩個(gè)組合間的收益差消失為止。具有相同值的投資組合在市場(chǎng)均衡時(shí)一定具有相同的期望收益，否則將存在無風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)，通過套利使二者預(yù)期收益相等。二、套利定價(jià)模型（APT）已知分散化的投二、套利定價(jià)模型（APT）2、具有不相同值的套利對(duì)于有不同值的充分分散化的投資組合，其預(yù)期收益率中風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償必須正比于值，不然也將發(fā)生無風(fēng)險(xiǎn)套利：二、套利定價(jià)模型（APT）2、具有不相同二、套利定價(jià)模型（APT）

例子二、套利定價(jià)模型（APT）例子二、套利定價(jià)模型（APT）假定無風(fēng)險(xiǎn)收益率rf＝4％，有一充分分散化的投資組合C的，具有預(yù)期收益率6％。在圖中，代表投資組合C的點(diǎn)位于連接無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和資產(chǎn)組合A的直線下方?，F(xiàn)在我們來看另一個(gè)投資組合D，這個(gè)組合一半由組合A、另一半由無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組成。這樣，組合D的，預(yù)期收益率是0.5×4％＋0.5×10％＝7％。組合D和組合C的值相等而預(yù)期收益率不等，會(huì)發(fā)生套利。二、套利定價(jià)模型（APT）假定無風(fēng)險(xiǎn)收益率二、套利定價(jià)模型（APT）套利組合及套利過程做D多頭：（0.5×0.04＋0.5×0.1＋0.5F）100萬(wàn)做C空頭：－（0.06＋0.5F）100萬(wàn)1萬(wàn)結(jié)果：套利組合的收益為正；收益無風(fēng)險(xiǎn)，即套利組合對(duì)因素的敏感度為零；凈投資為零。二、套利定價(jià)模型（APT）套利組合及套利過程二、套利定價(jià)模型（APT）3、多因素的套利兩個(gè)宏觀因素的模型：假設(shè)因素F1代表對(duì)GDP預(yù)期值的偏離，因素F2則代表未預(yù)期到的通貨膨脹率的變化，它們的預(yù)期值都等于零，因?yàn)樗鼈兇淼亩际菍?duì)預(yù)期值的偏離。同樣代表企業(yè)特有的風(fēng)險(xiǎn)，也是對(duì)預(yù)期值的偏離，其預(yù)期值也為零。二、套利定價(jià)模型（APT）3、多因素的套利二、套利定價(jià)模型（APT）引入因素組合概念：因素組合是非系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)已經(jīng)充分分散化或消除掉的組合，并且它對(duì)其中一個(gè)因素的值為1而對(duì)其他因素的值都為0，。因素組合的作用：用因素組合作為基準(zhǔn)組合來定價(jià)。將因素組合的期望收益記為，則因素組合的風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償：

二、套利定價(jià)模型（APT）引入因素組合概念二、套利定價(jià)模型（APT）例子：如果有兩個(gè)因素組合的期望收益分別為10％和12％，無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)收益為4％?，F(xiàn)在來看任意一個(gè)充分分散化的投資組合A，它對(duì)兩個(gè)宏觀因素的值分別是和，則A的預(yù)期收益一定為13％，否則有套利風(fēng)險(xiǎn)。如果投資組合A的預(yù)期收益率不等于13％，例如是12％，則可以構(gòu)筑如下的組合頭寸：取權(quán)重為50％的因素組合1，權(quán)重為75％的因素組合2，再加上權(quán)重為－25％的無風(fēng)險(xiǎn)證券（權(quán)重是負(fù)數(shù)意味著以無風(fēng)險(xiǎn)利率借入），構(gòu)成一個(gè)新的組合。二、套利定價(jià)模型（APT）例子：如果有兩個(gè)二、套利定價(jià)模型（APT）這個(gè)組合的預(yù)期收益率為0.5×10％＋0.75×12％－0.25×4％＝13％。同時(shí)構(gòu)筑這個(gè)組合的多頭和組合A的空頭，就能套取無風(fēng)險(xiǎn)利潤(rùn)。計(jì)算如下：到期套利組合多頭的收益：13％＋0.5×F1＋0.75×F2到期組合A空頭的支付：－（12％＋0.5×F1＋0.75×F2）凈利潤(rùn)：1％

結(jié)果：套利組合的收益為正；收益無風(fēng)險(xiǎn)，即套利組合對(duì)因素的敏感度為零；凈投資為零。二、套利定價(jià)模型（APT）這個(gè)組合的預(yù)期收二、套利定價(jià)模型（APT）從這個(gè)簡(jiǎn)單的例子我們可以發(fā)現(xiàn)，套利組合是這樣構(gòu)筑的，對(duì)于任意一個(gè)暴露在F1和F2，這兩個(gè)宏觀因素的系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)下的任意投資組合P，分別以其值、為權(quán)重選取因素組合1和2，再加上權(quán)重為1－－，無風(fēng)險(xiǎn)證券（若1－－<0，表示無風(fēng)險(xiǎn)證券的賣空或以無風(fēng)險(xiǎn)利率借入資金）。這一套利組合實(shí)際上復(fù)制了組合P，所以組合P可由此套利組合給出定價(jià)：二、套利定價(jià)模型（APT）從這個(gè)簡(jiǎn)單的例子二、套利定價(jià)模型（APT）從投資組合A的例子看，A的風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償：

于是，A投資組合總的預(yù)期收益率就是無風(fēng)險(xiǎn)收益率加上總的風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償，為13％。A投資組合的總風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償應(yīng)當(dāng)是投資者承受這兩種宏觀因素的系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)所應(yīng)得到的風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償?shù)暮?。而每種宏觀因素的系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)的補(bǔ)償?shù)扔谙鄬?duì)于該因素的β值乘以因素組合的風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償。二、套利定價(jià)模型（APT）從投資組合A的例二、套利定價(jià)模型（APT）

（三）套利定價(jià)模型

1、套利機(jī)會(huì)存在的條件設(shè)市場(chǎng)有N種證券，wi表示投資者對(duì)證券持有權(quán)數(shù)的變化。不需要投資者增加任何投資。

二、套利定價(jià)模型（APT）（三）套利定價(jià)模型二、套利定價(jià)模型（APT）

套利證券組合的因子F的敏感程度為零，就是它不受因子風(fēng)險(xiǎn)影響，它是證券敏感度的加權(quán)平均數(shù)，公式為：，N需大于j。即：同時(shí)滿足這兩個(gè)條件的任何一組解將成為潛在的套利組合，即滿足自融資和無風(fēng)險(xiǎn)套利條件。二、套利定價(jià)模型（APT）二、套利定價(jià)模型（APT）套利組合的預(yù)期收益率必須是正數(shù)：因此，當(dāng)一個(gè)組合滿足上述三個(gè)方程時(shí)，便存在一個(gè)能獲得不承擔(dān)風(fēng)險(xiǎn)的正的收益的套利組合。二、套利定價(jià)模型（APT）套利組合的預(yù)期收益率必須是正數(shù)：二、套利定價(jià)模型（APT）2、套利定價(jià)方程當(dāng)套利機(jī)會(huì)不存在時(shí)，市場(chǎng)均衡。那么，當(dāng)各種證券的期望收益處于什么狀態(tài)時(shí)，沒有套利機(jī)會(huì)呢？當(dāng)且僅當(dāng)期望收益率是敏感性的線性函數(shù)時(shí)，上述三個(gè)方程的連立解不存在，即不存在套利機(jī)會(huì)，這時(shí)市場(chǎng)達(dá)到均衡。即有：其中：是零系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)（）資產(chǎn)或零貝塔組合的期望收益率；（j=1,2,…,k）可以被解釋為k個(gè)相互獨(dú)立的因子風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)；是第k個(gè)風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)和資產(chǎn)i之間的定價(jià)關(guān)系。二、套利定價(jià)模型（APT）2、套利定價(jià)方程二、套利定價(jià)模型（APT）如果市場(chǎng)有無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，上式即為套利定價(jià)方程：或：其中，是因素組合的風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償：?！促Y產(chǎn)的期望收益率是建立在資產(chǎn)的因子敏感系數(shù)和因子的風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)之上的。每項(xiàng)資產(chǎn)i的期望收益率E（Ri）都可以表示成無風(fēng)險(xiǎn)利率和該資產(chǎn)對(duì)k個(gè)共同因子風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)的線形組合。

二、套利定價(jià)模型（APT）如果市場(chǎng)有無風(fēng)險(xiǎn)二、套利定價(jià)模型（APT）

構(gòu)造一個(gè)組合：

用Farkas引理可以證明

。期望收益的加權(quán)非系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)的加權(quán)二、套利定價(jià)模型（APT） 構(gòu)造一個(gè)組合：期望收益非系二、套利定價(jià)模型（APT）

推導(dǎo)：假定投資者目前持有一個(gè)由N種證券構(gòu)成的零投入、零風(fēng)險(xiǎn)的投資組合P，其中每種證券的權(quán)重為，有：二、套利定價(jià)模型（APT）推導(dǎo)：假定二、套利定價(jià)模型（APT）

根據(jù)套利定價(jià)理論的假設(shè)有（假設(shè)我們選擇的樣本足夠大，那么項(xiàng)可以被近似地忽略

）：二、套利定價(jià)模型（APT）根據(jù)套利定價(jià)二、套利定價(jià)模型（APT）根據(jù)無套利理論，零投入，零風(fēng)險(xiǎn)，只能獲得零收益，所以有：根據(jù)線性代數(shù)知識(shí)，向量滿足條件：

則由Farkas引理，期望收益率向量一定可以表示成單位常向量和因子敏感度向量的線性組合，即存在k+1個(gè)常數(shù)

，使得：二、套利定價(jià)模型（APT）根據(jù)無套利理論二、套利定價(jià)模型（APT）

如何確定中的

?

（1）先確定如果存在一種無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，即所有的，其期望收益率為rf，則有：所以：

即二、套利定價(jià)模型（APT）如何確定二、套利定價(jià)模型（APT）

（2）再確定

可以通過構(gòu)建k個(gè)只對(duì)某一因子具有敏感度、對(duì)其它因子無敏感度的純投資組合（即因子組合），來分別確定k個(gè)系數(shù)。假定構(gòu)建的某組合只對(duì)第j個(gè)因子具有敏感度，其它因子敏感度為零，則這個(gè)第j個(gè)因子的純投資組合的期望收益率為：二、套利定價(jià)模型（APT）（2）再確定二、套利定價(jià)模型（APT）

表示對(duì)因子j的敏感系數(shù)為1、對(duì)其他因子敏感系數(shù)為0的證券組合的期望收益率。表示對(duì)因子j的敏感系數(shù)為1、對(duì)其他因子敏感系數(shù)為0的證券組合的超額收益率。確定了K+1個(gè)，可以得到：——套利定價(jià)模型因子二、套利定價(jià)模型（APT）因子二、套利定價(jià)模型（APT）根據(jù)套利定價(jià)模型，可以在E（ri)-βi坐標(biāo)空間畫出套利定價(jià)線

Return二、套利定價(jià)模型（APT）根據(jù)套利定價(jià)模型，可以在E（ri)二、套利定價(jià)模型（APT）

例子：?jiǎn)我蛩靥桌M合假定投資者擁有3種證券，他所持有的每種證券當(dāng)前的市值為4,000,000美元。這三種證券具有如下的期望回報(bào)率和敏感性。這樣的預(yù)期回報(bào)率與因素敏感性是否代表一個(gè)均衡狀態(tài)？預(yù)期收益率ri(%)敏感因子bi證券1150.9證券2213.0證券3121.8二、套利定價(jià)模型（APT）例子：?jiǎn)我蛩靥锥⑻桌▋r(jià)模型（APT）

套利組合（0.1，0.075，－0.175）買賣行為導(dǎo)致套利機(jī)會(huì)減少最終消失，如果找不到滿足預(yù)期收益率大于0的資產(chǎn)組合，此時(shí)存在非負(fù)的常數(shù)，使得預(yù)期回報(bào)率和敏感性之間滿足如下線性關(guān)系：二、套利定價(jià)模型（APT）二、套利定價(jià)模型（APT）二、套利定價(jià)模型（APT）二、套利定價(jià)模型（APT）

例子：多因素套利組合假定證券的回報(bào)率可由兩個(gè)因素的因子模型產(chǎn)生：4種證券具有如下的預(yù)期回報(bào)率和敏感性：E（ri）bi1Bi2證券1150.92.0證券2213.01.5證券3121.80.7證券482.03.2二、套利定價(jià)模型（APT）例子：多因素套二、套利定價(jià)模型（APT）組合套利（0.1，0.088，－