人工智能及應(yīng)用

不確定性推理證據(jù)理論人工智能及應(yīng)用第1頁D-S理論證據(jù)理論是由德普斯特(A.P.Dempster)提出，并由沙佛(G.Shfer)深入發(fā)展起來一個(gè)處理不確定性理論。也稱為D-S理論。其將概率單點(diǎn)賦值擴(kuò)展為集合賦值，弱化了公理系統(tǒng)。處理由不知道引發(fā)不確定性。人工智能及應(yīng)用第2頁概率分配函數(shù)定義4-1：設(shè)Ω是樣本集，則由Ω全部子集組成集合稱為Ω冪集，記為2Ω。例：設(shè)Ω={紅，黃，白}，求Ω冪集2Ω解：Ω冪集元素為Φ，{紅}，{黃}，{白}，{紅，黃}，{紅，白}，{黃，白}，{紅，黃，白}。人工智能及應(yīng)用第3頁概率分配函數(shù)定義4-2：設(shè)函數(shù)m:2Ω→[0,1]，且滿足

m(Φ)=0∑A?Ωm(A)=1稱m是2Ω上概率分配函數(shù)，m(A)稱為A基本概率數(shù)。人工智能及應(yīng)用第4頁概率分配函數(shù)例：為上一個(gè)例子定義一個(gè)概率分配函數(shù)。解：m(Φ，{紅}，{黃}，{白}，{紅，黃}，{紅，白}，{黃，白}，{紅，黃，白})={0,0.3,0,0.1,0.2,0.2,0,0.2}人工智能及應(yīng)用第5頁概率分配函數(shù)兩點(diǎn)說明概率分配函數(shù)將樣本空間中任意子集映射到［０，１］一個(gè)數(shù)。當(dāng)子集是一個(gè)元素時(shí)，表示對(duì)此元素準(zhǔn)確信任度，也是對(duì)子集準(zhǔn)確信任度。當(dāng)子集是多個(gè)元素時(shí)，表示對(duì)子集準(zhǔn)確信任度，但不清楚子集中每個(gè)元素信任度。當(dāng)子集是樣本空間時(shí)，不知道怎樣將信任度分配給每個(gè)元素。人工智能及應(yīng)用第6頁概率分配函數(shù)兩點(diǎn)說明如例中A={紅}，m({紅})=0.3表示對(duì)紅準(zhǔn)確信任度是0.3；A={紅，黃，白}，m({紅，黃，白})=0.2表示這些信任度不知道怎樣分配給集合中元素。概率分配函數(shù)不是概率。不滿足概率歸一性。人工智能及應(yīng)用第7頁信任函數(shù)定義4-3：信任函數(shù)(Belieffunction)

Bel:2Ω→[0,1]為對(duì)任給A?ΩBel(A)=∑B?Am(B)

Bel函數(shù)又稱為下限函數(shù)，表示對(duì)A總信任度。

人工智能及應(yīng)用第8頁信任函數(shù)接前例：Bel(Φ)=0Bel({紅})=0.3Bel({紅,白})=Bel({紅})+Bel({白})+Bel({紅,白})=0.3+0.1+0.2=0.6Bel({紅,白,黃})=Bel({紅})+Bel({白})+Bel({黃})+Bel({紅,白})+Bel({紅,黃})+Bel({黃,白})+Bel({紅,黃,白})=1人工智能及應(yīng)用第9頁信任函數(shù)Bel(Φ)=m(Φ)=0Bel(Ω)=∑B?Ωm(B)=1人工智能及應(yīng)用第10頁似然函數(shù)定義4-4：似然函數(shù)(Plausibilityfunction)

Pl(A):2Ω→[0,1]對(duì)任給A?ΩPl(A)=1-Bel(?A)似然函數(shù)又稱為不可駁斥函數(shù)或上限函數(shù)。表示對(duì)A非假信任度。

人工智能及應(yīng)用第11頁似然函數(shù)接前例：Pl({紅})=1-Bel(?{紅})=1-Bel({黃,白})=1-Bel({黃})-Bel({白})-Bel({黃,白})=0.9Pl({黃,白})=1-Bel(?{黃,白})=1-Bel({紅})=0.7人工智能及應(yīng)用第12頁似然函數(shù)能夠證實(shí)

Pl(A)=∑A∩B≠Φm(B)∑{紅}∩B≠Φm(B)=m({紅})+m({紅,白})+m({紅,黃})+m({紅,白,黃})=0.3+0.2+0.2+0.2=0.9∑{黃,白}∩B≠Φm(B)=m({黃})+m({白})+m({紅,黃})+m({白,黃})+m({紅,白})+m({紅,白,黃})=0+0.1+0+0.2+0.2+0.2=0.7人工智能及應(yīng)用第13頁似然函數(shù)Pl(A)-∑A∩B≠Φm(B)=1-Bel(?A)-∑A∩B≠Φm(B)=1-(Bel(?A)+∑A∩B≠Φm(B))=1-(∑B??Am(B)+∑A∩B≠Φm(B))=1-∑B?Ω

m(B)=0∴Pl(A)=∑A∩B≠Φm(B)人工智能及應(yīng)用第14頁信任函數(shù)與似然函數(shù)關(guān)系定理4-1：信任函數(shù)與似然函數(shù)有以下關(guān)系：對(duì)任給A?Ω有

Pl(A)≥Bel(A)證實(shí)：

∵Bel(A)+Bel(?A)=∑B?Am(B)+∑C??Am(C)≤∑B?Ωm(B)=1人工智能及應(yīng)用第15頁信任函數(shù)與似然函數(shù)關(guān)系又∵Pl(A)-Bel(A)=1-Bel(?A)-Bel(A)=1-(Bel(?A)+Bel(A))≥0∴Pl(A)≥Bel(A)人工智能及應(yīng)用第16頁使用信任函數(shù)與似然函數(shù)Bel(A)：表示A為真信任度，為信任度下限。Pl(A)：表示A為非假信任度，為信任度上限。人工智能及應(yīng)用第17頁使用信任函數(shù)與似然函數(shù)表示事物不確定性能夠由事物這兩個(gè)函數(shù)值來描述，比如{紅}{紅}：[0.3,0.9]表示{紅}準(zhǔn)確信任度為0.3，不可駁斥部分為0.9，而必定不是{紅}為0.1人工智能及應(yīng)用第18頁經(jīng)典值含義A[0,1]：說明對(duì)A一無所知。Bel(A)=0,Pl(A)=1,說明對(duì)A沒有信任，對(duì)?A也沒有信任。A[0,0]：說明A為假。Bel(A)=0,Pl(A)=0，Bel(?A)=1。A[1,1]：說明A為真。人工智能及應(yīng)用第19頁概率分配函數(shù)正交和定義4-5：設(shè)m和n是兩個(gè)不一樣概率分配函數(shù)，其正交和m⊕n滿足

m⊕n(Φ)=0m⊕n(A)=K-1X∑x∩y=Am(x)Xn(y)

其中K=1-∑x∩y=Φm(x)Xn(y)人工智能及應(yīng)用第20頁概率分配函數(shù)正交和設(shè)m1,m2,…,mn是n個(gè)不一樣概率分配函數(shù)，其正交和m1⊕

m2⊕,…,⊕mn滿足

m1⊕

m2⊕,…,⊕mn(Φ)=0m1⊕

m2⊕,…,⊕mn(A)=K-1X∑∩Ai=A∏1≤i≤nmi(Ai)

其中K=∑∩Ai≠Φ∏1≤i≤nmi(Ai)人工智能及應(yīng)用第21頁概率分配函數(shù)正交和例：設(shè)樣本空間Ω={a,b},從不一樣知識(shí)起源得到概率分配函數(shù)分別為：m1(Φ,{a},,{a,b})=(0,0.4,0.5,0.1)m2(Φ,{a},,{a,b})=(0,0.6,0.2,0.2)求正交和m=m1⊕

m2？人工智能及應(yīng)用第22頁概率分配函數(shù)正交和解：先求K-1K-1=1-∑x∩y=Φm1(x)Xm2(y)=1-m1({a})xm2()-m1()xm2({a})=1-0.3x0.3-0.5x0.6=0.61

人工智能及應(yīng)用第23頁概率分配函數(shù)正交和m(Φ)=0m({a})=K-1∑x∩y={a}m1(x)Xm2(y)=K-1(m1({a})Xm2((a,b})+m1({a})Xm2({a})+m1({a,b})Xm2({a}))=0.54

m()=0.43m({a,b})=0.03人工智能及應(yīng)用第24頁D-S理論推理模型如前面介紹，能夠使用信任函數(shù)和似然函數(shù)表示命題A信任度下限和上限。我們使用一樣方式表示知識(shí)信任度。似然函數(shù)和信任函數(shù)計(jì)算是建立在概率分配函數(shù)基礎(chǔ)之上，概率分配函數(shù)不一樣，結(jié)論會(huì)不一樣。人工智能及應(yīng)用第25頁一類特殊概率分配函數(shù)設(shè)Ω={s1,s2,,…,sn},m為定義在2Ω上概率分配函數(shù)，且m滿足：m({si})≥0,對(duì)任給si?Ω∑m({si})≤1m(Ω)=1-∑m({si})當(dāng)A?Ω，且A元素多于1個(gè)或沒有元素，則m(A)=0。人工智能及應(yīng)用第26頁一類特殊概率分配函數(shù)對(duì)上面概率分配函數(shù)，能夠得到信任函數(shù)和似然函數(shù)性質(zhì)：Bel(A)=∑si?Am(si)Bel(Ω)=∑si?Ωm(si)+m(Ω)=1Pl(A)=1-Bel(?A)=1-∑si??Am(si)=1-∑si?Ωm(si)+∑si?Am(si)=m(Ω)+Bel(A)Pl(Ω)=1-Bel(?Ω)=1人工智能及應(yīng)用第27頁類概率函數(shù)定義4-6：設(shè)Ω為有限域，對(duì)任何命題A?Ω其類概率函數(shù)為f(A)=Bel(A)+|A|/|Ω|[Pl(A)-Bel(A)]其中|A|和|Ω|表示A和Ω中元素個(gè)數(shù)。人工智能及應(yīng)用第28頁類概率函數(shù)性質(zhì)∑si?Ωf(si)=1證實(shí)：∵f({si})=Bel({si})+|{si}|/|Ω|[Pl({si})-Bel({si})]=m({si})+(1/n)m(Ω)∴∑si?Ωf(si)=∑si?Ωm(si)+m(Ω)=1人工智能及應(yīng)用第29頁類概率函數(shù)性質(zhì)對(duì)任何A?Ω有Bel(A)≤f(A)≤Pl(A)證實(shí)：∵Pl(A)-Bel(A)≥0,|A|/|Ω|>0∴Bel(A)≤f(A)∴f(A)≤Bel(A)+[Pl(A)-Bel(A)]=Pl(A)人工智能及應(yīng)用第30頁類概率函數(shù)性質(zhì)對(duì)任何A?Ω有f(?A)=1-f(A)證實(shí)：∵f(?A)=Bel(?A)+|?A|/|Ω|[Pl(?A)-Bel(?A)]|?A|=|Ω|-|A|Pl(?A)-Bel(?A)=m(Ω)Bel(?A)=1-Bel(A)-m(Ω)人工智能及應(yīng)用第31頁類概率函數(shù)性質(zhì)∴f(?A)=1-Bel(A)-m(Ω)+(|Ω|-|A|)/|Ω|m(Ω)=1-Bel(A)-m(Ω)+m(Ω)-|A|/|Ω|m(Ω)=1-(Bel(A)+|A|/|Ω|(Pl(A)-Bel(A)))=1-f(A)人工智能及應(yīng)用第32頁類概率函數(shù)性質(zhì)依據(jù)前面性質(zhì)能夠很輕易得到

f(Φ)=0

f(Ω)=1對(duì)任何A?Ω,0≤f(A)≤1人工智能及應(yīng)用第33頁知識(shí)不確定性表示D-S理論中，不確定性知識(shí)表示形式為

ifEthenH={h1,h2,,…,hn}CF={c1,c2,,…,cn}其中：E為前提條件，它能夠是簡(jiǎn)單條件，也可以是復(fù)合條件；H是結(jié)論，它用樣本空間子集表示，h1,h2,,…,hn是該子集元素；CF是可信度因子，用集合方式表示。c1,c2,,…,cn用來表示h1,h2,,…,hn可信度。人工智能及應(yīng)用第34頁證據(jù)不確定性表示證據(jù)不確定性由證據(jù)類概率函數(shù)給出。

CER(E)=f(E)人工智能及應(yīng)用第35頁不確定性更新設(shè)有知識(shí)ifEthenH={h1,h2,,…,hn}CF={c1,c2,,…,cn}

證據(jù)E不確定性為CER(E)，確定結(jié)論H不確定性描述CER(H)，方法以下：求H概率分配函數(shù)m({h1},{h2},,…,{hn})=(c1XCER(E),c2XCER(E),,…,cnXCER(E))m(Ω)=1-∑m({hi})人工智能及應(yīng)用第36頁不確定性更新求Bel(H),Pl(H)及f(H)

Bel(H)=∑m({hi})Pl(H)=1-Bel(?H)f(H)=Bel(H)+|H|/|Ω|m(Ω)CER(H)=f(H)人工智能及應(yīng)用第37頁結(jié)論不確定性合成假如有兩條知識(shí)支持同一結(jié)論ifE1thenH={h1,h2,,…,hn}CF={c1,c2,,…,cn}ifE2thenH={h1,h2,,…,hn}CF={e1,e2,,…,en}先求出每條知識(shí)概率分配函數(shù)m1,m2,然后求出兩個(gè)概率分配函數(shù)正交和m1⊕

m2以正交和作為H概率分配函數(shù)。人工智能及應(yīng)用第38頁示例設(shè)有以下規(guī)則r1:ifE1and

E2thenA={a1,a2}CF={0.3,0.5}r2:ifE3and(E4or

E5)thenB={b1}CF={0.7}r3:ifA

thenH={h1,h2,h3}CF={0.1,0.5,0.3}r4:ifB

thenH={h1,h2,h3}CF={0.4,0.2,0.1}用戶給出CER(E1)=0.8,CER(E2)=0.6CER(E3)=0.9,CER(E4)=0.5,CER(E5)=0.7并假定Ω中有10個(gè)元素，求CER(H)=？人工智能及應(yīng)用第39頁示例求CER(A)CER(E1and

E2)=min{CER(E1),CER(E2)}=0.6m({a1},{a2})=(0.6*0.3,0.6*0.5)=(0.18,0.3)Bel(A)=0.18+0.3=0.48Pl(A)=1-Bel(?A)=1-0=1f(A)=Bel(A)+|A|/|Ω|*(Pl(A)-Bel(A))=0.48+2/10*(1-0.48)=0.584CER(A)=f(A)=0.584人工智能及應(yīng)用第40頁示例求CER(B)CER(E3and(E4orE5))=0.7m({b1})=(0.7*0.7)=(0.49)Bel(B)=0.49Pl(B)=1-Bel(?B)=1-0=1f(A)=Bel(A)+|A|/|Ω|*(Pl(A)-Bel(A))=0.49+1/10*(1-0.49)=0.541CER(A)=f(A)=0.541人工智能及應(yīng)用第41頁示例求CER(H)由規(guī)則r3可得m1({h1},{h2},{h3})=(C