2-質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)例題

設(shè)一高速運(yùn)動(dòng)的帶電粒子沿豎直方向以

v0

向上運(yùn)動(dòng)，從時(shí)刻

t=0

開始粒子受到

F=F0t

水平力的作用，F(xiàn)0

為常量，粒子質(zhì)量為

m

。水平方向有例1解粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡。求運(yùn)動(dòng)軌跡為豎直方向有設(shè)一物體在離地面上空高度等于地球半徑處由靜止落下。在地面附近有以地心為坐標(biāo)原點(diǎn)，物體受萬有引力解可得：例2它到達(dá)地面時(shí)的速度（不計(jì)空氣阻力和地球的自轉(zhuǎn)）。求例3在豎直向上方向建坐標(biāo)，地面為原點(diǎn)（如圖）.設(shè)壓力為

N解Oyly取整個(gè)繩為研究對(duì)象一柔軟繩長(zhǎng)

l，線密度

r，一端著地開始自由下落.求下落到任意長(zhǎng)度

y

時(shí)刻，給地面的壓力為多少？以初速度v0

豎直向上拋出一質(zhì)量為m

的小球，小球除受重力外，還受一個(gè)大小為αmv

2

的粘滯阻力。解例4求小球上升的最大高度。裝沙子后總質(zhì)量為M

的車由靜止開始運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)過程中合外力始終為

f

，每秒漏沙量為

。解取車和沙子為研究對(duì)象，地面參考系如圖，t=0

時(shí)

v

=0例5fx求車運(yùn)動(dòng)的速度。TT質(zhì)量分別為

m1和

m2的兩物體用輕細(xì)繩相連接后，懸掛在一個(gè)固定在電梯內(nèi)的定滑輪的兩邊?；喓屠K的質(zhì)量以及所有摩擦均不計(jì)。當(dāng)電梯以

a0=g/2

的加速度下降時(shí)。解取電梯為參考系例6m1和m2的加速度和繩中的張力。求m1gm2gO'對(duì)m1有對(duì)m2有m方法（一）取地面為參考系例7一光滑斜面固定在升降機(jī)的底板上，如圖所示，當(dāng)升降機(jī)以勻加速度a0

上升時(shí)，質(zhì)量為m的物體從斜面頂端開始下滑。yxx

方向y方向物體對(duì)斜面的壓力和物體相對(duì)斜面的加速度。求解設(shè)物體的加速度為yxx方向y方向方法（二）取升降機(jī)為參考系慣性力例題8

物體在黏滯流體中的運(yùn)動(dòng)。質(zhì)量為m的小球在重力G（mg）、浮力F0、阻力f=－kv（其中k是一個(gè)比例常數(shù)，它與小球的尺寸、材料與流體的黏度有關(guān)，而v是小球的運(yùn)動(dòng)速度）的作用下豎直下降。試求小球的速度、位置隨時(shí)間變化的函數(shù)關(guān)系。OoF0xvF解：

該題為已知力求運(yùn)動(dòng)。以小球m為研究對(duì)象，畫出受力圖，并以小球運(yùn)動(dòng)直線為x軸，取其一點(diǎn)為原點(diǎn)O。由牛頓定律可寫出

解出小球的速度例題9

由地面沿鉛直方向發(fā)射質(zhì)量為m的宇宙飛船。試求宇宙飛船能脫離地球引力所需的最小初速度(不計(jì)空氣阻力及其它作用力）解：選宇宙飛船為研究對(duì)象。設(shè)地球?yàn)榫|(zhì)球，地心為原點(diǎn)，取x坐標(biāo)軸向上為正。飛船只受地球引力作用，根據(jù)萬有引定力定律，地球?qū)︼w船引力的大小為由牛頓第二定律得

飛船要脫離地球引力的作用，即意味著飛船的末位置x趨于無限大而v≥0。把x→∞時(shí)v=0代入上式，即可求得飛船脫離地球引力所需的最小初速度(取地球的平均半徑為6370km)為=11.2km·s-1這個(gè)速度稱為第二宇宙速度。需要指出，在上面的分析中忽略了空氣阻力，同時(shí)也未考慮地球自轉(zhuǎn)等影響。設(shè)飛船在地面附近(x≈R)發(fā)射時(shí)的初速度為v0，在x處的速度為v例10

質(zhì)量為m的勻質(zhì)鏈條，全長(zhǎng)為

L，開始時(shí)，下端與地面的距離為

h,

當(dāng)鏈條自由下落在地面上時(shí)所受鏈條的作用力？Lh解

設(shè)鏈條在此時(shí)的速度根據(jù)動(dòng)量定理地面受力m求鏈條下落在地面上的長(zhǎng)度為l(l<L)時(shí)，地面

dm一粒子彈水平地穿過并排靜止放置在光滑水平面上的木塊,已知兩木塊的質(zhì)量分別為m1,m2

，子彈穿過兩木塊的時(shí)間各為

t1,

t2

，設(shè)子彈在木塊中所受的阻力為恒力F子彈穿過第一木塊時(shí)，兩木塊速度相同，均為v1

子彈穿過第二木塊后，第二木塊速度變?yōu)関2例11解求子彈穿過后，兩木塊各以多大速度運(yùn)動(dòng)解得如圖所示，兩部運(yùn)水的卡車A、B在水平面上沿同一方向運(yùn)動(dòng)，B的速度為u

，從B上以6kg/s的速率將水抽至A上，水從管子尾部出口垂直落下，車與地面間的摩擦不計(jì)，時(shí)刻t時(shí)，A車的質(zhì)量為M，速度為v

。選A車M和

t時(shí)間內(nèi)抽至A車的水

m為研究系統(tǒng)，水平方向上動(dòng)量守恒解例12求時(shí)刻t

，A

的瞬時(shí)加速度ABuvA在恒星系中，兩個(gè)質(zhì)量分別為m1和m2

的星球，原來為靜止，且相距為無窮遠(yuǎn)，后在引力的作用下，互相接近，到相距為r時(shí)。解由動(dòng)量守恒，機(jī)械能守恒例13解得相對(duì)速率求它們之間的相對(duì)速率為多少？oxyv2v1mv2mv1例題2-6圖（a）（b）例題14

一個(gè)質(zhì)量的壘球，以的速率沿水平方向飛向擊球手，被擊中后，又以相同的速率沿的仰角方向飛出。設(shè)球和棒的作用時(shí)間ms，求壘球受到棒的平均打擊力。解：直接用動(dòng)量定理的矢量形式求解。壘球被擊中前后的動(dòng)量和的矢量關(guān)系。組成矢量三角形。由題意可知壘球受到棒的平均打擊力約為壘球自身重力的5900倍，說明打擊力是多么強(qiáng)大！

aDcos2mvtF=例題15粒子是氦原子核。在一次粒子散射實(shí)驗(yàn)中，粒子和靜止的氧原子核發(fā)生“碰撞”。實(shí)驗(yàn)測(cè)出，碰撞后粒子沿與入射方向成角的方向運(yùn)動(dòng)，而氧原子核沿與粒子入射方向成角的方向運(yùn)動(dòng)。求碰撞前后粒子的速率比。Mxyo圖2-12粒子散射解：

令粒子入射方向與x軸平行，由動(dòng)量守恒定律得由以上兩式解得即碰撞后粒子的速率約為初速率為71%。質(zhì)量為10kg的質(zhì)點(diǎn)，在外力作用下做平面曲線運(yùn)動(dòng)，該質(zhì)點(diǎn)的速度為解在質(zhì)點(diǎn)從y=16m

到y(tǒng)=32m

的過程中，外力做的功。求例16,開始時(shí)質(zhì)點(diǎn)位于坐標(biāo)原點(diǎn)。L緩慢拉質(zhì)量為m的小球，解xy例17

=

0

時(shí)，求已知用力保持方向不變作的功。已知

m=2kg,

在

F=12t

作用下由靜止做直線運(yùn)動(dòng).解例18求t=0

2s內(nèi)F作的功及t=2s時(shí)的功率。

一輕彈簧的勁度系數(shù)為k=100N/m，用手推一質(zhì)量m=0.1

kg

的物體把彈簧壓縮到離平衡位置為x1=0.02m處,如圖所示。放手后，物體沿水平面移動(dòng)到x2=0.1m而停止。

放手后，物體運(yùn)動(dòng)到x1

處和彈簧分離。在整個(gè)過程中，解例19物體與水平面間的滑動(dòng)摩擦系數(shù)。求摩擦力作功彈簧彈性力作功根據(jù)動(dòng)能定理有長(zhǎng)為l的均質(zhì)鏈條，部分置于水平面上，另一部分自然下垂,已知鏈條與水平面間靜摩擦系數(shù)為

0,滑動(dòng)摩擦系數(shù)為

(1)以鏈條的水平部分為研究對(duì)象，設(shè)鏈條每單位長(zhǎng)度的質(zhì)量為

，沿鉛垂向下取Oy

軸。解Oy例20求滿足什么條件時(shí)，鏈條將開始滑動(dòng)

(2)若下垂部分長(zhǎng)度為b時(shí)，鏈條自靜止開始滑動(dòng)，當(dāng)鏈條末端剛剛滑離桌面時(shí)，其速度等于多少？當(dāng)y>b0

，拉力大于最大靜摩擦力時(shí)，鏈條將開始滑動(dòng)。

設(shè)鏈條下落長(zhǎng)度y=b0

時(shí)，處于臨界狀態(tài)(2)以整個(gè)鏈條為研究對(duì)象，鏈條在運(yùn)動(dòng)過程中各部分之間相互作用的內(nèi)力的功之和為零，摩擦力的功重力的功根據(jù)動(dòng)能定理有例21是不是保守力?解不是保守力如果是保守力，則把一個(gè)物體從地球表面上沿鉛垂方向以第二宇宙速度解根據(jù)機(jī)械能守恒定律有:

例22物體從地面飛行到與地心相距

nRe

處經(jīng)歷的時(shí)間。求發(fā)射出去，阻力忽略不計(jì)，用彈簧連接兩個(gè)木板m1

、m2

，彈簧壓縮x0

。解整個(gè)過程只有保守力作功，機(jī)械能守恒例23給m2

上加多大的壓力能使m1

離開桌面？求例題24

馬拉爬犁在水平雪地上沿一彎曲道路行走。爬犁總質(zhì)量為3t，它和地面的滑動(dòng)摩擦系數(shù)求馬拉爬犁行走2km的過程中，路面摩擦力對(duì)爬犁做的功。解:

爬犁在雪地上移動(dòng)任一元位移dr的過程中，它受的滑動(dòng)摩擦力的大小為

＝－0.12×3000×9.81×2000=－7.06×106(J)

例題25

質(zhì)量為m的擺錘系于繩的下端，繩長(zhǎng)為l，上端固定，一個(gè)水平力F從零逐漸增大，緩慢地作用在擺錘上，使擺錘雖得以移動(dòng)，但在所有時(shí)間內(nèi)均無限地接近于力平衡，一直到繩子與豎直線成角的位置。試計(jì)算變力F所做的功。

dsFlT解:

選擺錘為研究對(duì)象。將力沿水平、豎直方向分解，其分量式為

力F對(duì)擺錘所作的總功為

例題26

把質(zhì)量為m的物體，從地球表面沿鉛直方向發(fā)射出去，試求能使物體脫離地球引力場(chǎng)而作宇宙飛行所需的最小初速度—第二宇宙速度。解：取地球中心為坐標(biāo)原點(diǎn)并假設(shè)地球是半徑為R、質(zhì)量為M的均質(zhì)球。在物體從初始位置(r1=R)運(yùn)動(dòng)到末了位置(r2=∞)的過程中，不考慮空氣阻力，只有萬有引力做功，由動(dòng)能定理考慮到

這個(gè)結(jié)果與例題2-4的結(jié)果相同。例題27

一個(gè)勁度系數(shù)為k的彈簧，一端固定，另一端與質(zhì)量為m