最小二乘法在攝影測量與遙感中的應用

最小二乘法在攝影測量與遙感中的應用最小二乘法在攝影測量與遙感中具有非常重要的應用，在此主要對最小二乘法在遙感圖像的多項式糾正與遙感圖像復原中的應用做簡要的介紹。一、遙感圖像的多項式糾正遙感圖像的精糾正是指消除圖像中的幾何變形，產(chǎn)生一幅符合某種地圖投影或圖形表達要求的新圖像的過程。它包括兩個環(huán)節(jié)：一是像素坐標的變換，即將圖像坐標轉(zhuǎn)變?yōu)榈貓D或地面坐標；二是對坐標變換后的像素亮度值進行重采樣。遙感圖像糾正主要處理過程如下：根據(jù)圖像的成像方式確定影像坐標和地面坐標之間的數(shù)學模型。根據(jù)所采用的數(shù)學模型確定糾正公式。根據(jù)地面控制點和對應像點坐標進行平差計算變換參數(shù)，評定精度。對原始影像進行幾何變換計算，像素亮度值重采樣。目前的糾正方法有多項式法、共線方程法和隨機場內(nèi)插值法等。多項式糾正法是實踐中經(jīng)常使用的一種方法，因為它的原理比較直觀，并且計算較為簡單，特別是對地面相對平坦的情況，具有足夠好的糾正精度。該方法的基本思想是回避成像的空間幾何過程，而直接對影像變形的本身進行數(shù)學模擬。它認為遙感圖像的總體變形可以看作是平移、縮放、旋轉(zhuǎn)、仿射、偏扭、彎曲以及更高次的基本變形的綜合作用結(jié)果，因而糾正前后影像相應點之間的坐標關系可以用一個適當?shù)亩囗検絹肀磉_。該方法對各種類型傳感器的糾正都是普遍適用的，也有不同程度的近似性。同時該方法不僅用于影像對地面(或地圖)系統(tǒng)的糾正，還常用于不同類型影像之間的相互幾何配準，以滿足計算機分類、地物變化監(jiān)測等處理的需要。當遙感影像的幾何變形是由多種因素引起的，并且其變形規(guī)律難以用嚴格的數(shù)學表達式來描述時，通常選擇一個適當?shù)亩囗検絹斫频孛枋黾m正前后相應點的坐標關系，并利用控制點的圖像坐標和參考坐標系中的理論坐標按最小二乘原理求解出多項式中的系數(shù)，然后以此多項式對圖像進行幾何校正。常用的多項式有一般多項式、勒讓德多項式以及雙變量分區(qū)插值多項式等。一般多項式糾正變換公式為：x=a+(aX+aY)+(aX2+aXY+aY2)+(aX3+aX2Y+aXY2+aY3)+…*0123456789卜y=b+(bX+bY)+(bX2+bXY+bY2)+(bX3+bX2Y+bXY2+bY3)+…一0123456789式中：X,y——某像素原始圖像坐標；X,Y——同名像素的地面(或地圖)坐標。多項式的項數(shù)(即系數(shù)個數(shù))N與其階數(shù)n有著固定的關系：1N二(n+1)(n+2)2多項式的系數(shù)a,b(i,j二0,1,2,???,("-1))一般可由兩種辦法求得：ii可用預測的圖像變形參數(shù)構(gòu)成。利用已知控制點的坐標值按最小二乘法原理求解。根據(jù)糾正圖像要求的不同選用不同的階數(shù),當選用一次項糾正時,可以糾正圖像因平移、旋轉(zhuǎn)、比例尺變化和仿射變形等引起的線性變形；當選用二次項糾正時,則在改正一次項各種變形的基礎上,改正二次非線性變形。如選用三次向

糾正則改正更高次的非線性變形。對參加計算的同名點的要求（1）在影像上為明顯的地物點，易于判讀。（2）在影像上均勻分布。下面利用已知地面控制點求解多項式系數(shù)：（1）列誤差方程式：二aa-lxax二aa-lXX1X-X?1±一一A其中，改正數(shù)向量為：ybyV=VV…}xx1x1V=VV…丄yy1y1系數(shù)矩陣為：所求的變換系數(shù)為：1a1ab1ooL_LLb====:abAA像點坐標為：2）構(gòu)成法方程：(AtA)A=AtLax(AtA)A=AtLby3）計算多項式系數(shù)：a=(AtA)-1AtLaxA=(AtA)-1AtLby=±xx4）精度評定：=±xx8x8y式中：n——控制點個數(shù)；N系數(shù)個數(shù)；n-N多余觀測。設定一個限差￡作為評定精度的標準。若8>￡，則說明存在粗差，精度不

可取，應對每個控制點上的平差殘余誤差V,V進行比較檢查，視最大者為粗差，xiyi將其剔除或重新選點后再進行平差，直至滿足5<￡為止。二、遙感圖像的復原在遙感圖像的獲取、傳輸以及記錄保存過程中，由于各種因素，如成像設備與目標物體的相對運動，大氣的湍流效應，光學系統(tǒng)的相差，成像系統(tǒng)的非線性畸變，環(huán)境的隨機噪聲等原因都會使圖像產(chǎn)生一定程度的退化，遙感圖像退化的典型表現(xiàn)是圖像出現(xiàn)模糊、失真，出現(xiàn)附加噪聲等。由于遙感圖像的退化，使得最終獲取的遙感圖像不再是原始圖像，圖像效果明顯變差。為此，要較好地顯示原始遙感圖像，必須對退化后的遙感圖像進行處理，恢復出真實的原始遙感圖像，這一過程就稱為遙感圖像復原。遙感圖像復原的過程是首先利用退化現(xiàn)象的某種先驗知識，建立退化現(xiàn)象的數(shù)學模型，然后再根據(jù)退化模型進行反向的推演運算，以恢復原始的遙感景物圖像。遙感圖像復原處理的關鍵問題就是在于建立退化模型。在用數(shù)學方法描述靜止的、單色的、平面的圖像時，其數(shù)學表達式就簡化為I=f(x,y)，原圖像f(x,y)由于通過了一個系統(tǒng)H及受外來噪聲n(x,y)影響而使其退化為圖像g(x,y)。圖像復原可以看成是一個估計過程，如果已經(jīng)給出了退化圖像g(x,y)，并估計出系統(tǒng)參數(shù)H，且假設已知n(x,y)的統(tǒng)計特性，則可近似地恢復真實圖像f(x,y)。假設圖像函數(shù)f(x,y)和點擴散函數(shù)h(x,y)的大小分別為AxB、CxD，首f(x,y)=eff(x,y)=ef(x,y)00<x<A—1,0<y<B—1A<x<M—1,B<y<N—1h(x,eh(x,eh(x,00<x<C—1,0<y<D—1C<x<M—1,D<y<N—1經(jīng)過這樣的延拓后，f(x,y)和h(x,y)分別成為二維周期函數(shù)。它們在x和y方ee向上的周期分別為M和N。可見，二維退化模型是一個二維卷積形式，即1)(x,y)=￡￡nif(m,n)h(x-m,y-n)1)eem=0n=0式中，x=0,1,2,…,M—1;y=0,1,2,…,N—1;卷積函數(shù)g(x,y)也是周期函數(shù)，其周期與f(x,y)和h(x,y)一樣。為避免重疊，同樣要按以下規(guī)則延拓ee所以式(1)的模型也可以用以下矩陣來表示[g]=[H]f]其中，[H]、[f]都是MxN維的列向量。這些列向量是由MxN維的函數(shù)矩陣「f(x,y)]和「h(x,y)1的各行堆積而成的。ee在加性噪聲n(x,y)的影響下，離散退化模型可寫為2)g(x,y)=燈N-1f(m,n)h(x-m,y-n)+n(x,y)eeeem=0n=02)1.圖像的非約束復原由式(2)可知，其噪聲項為n二g-Hf在對n不了解的情況下，希望找到一個f的估計值f，使得Hf在最小二乘意義上最接近g，使n的范數(shù)最小，即制|2二nrn二g-明2二g-Hf/制|2二nrn二這樣，圖像復原問題就轉(zhuǎn)變?yōu)榍驤(f)=||g-Hf的極小值問題，而不受任何其他條件的約束，這種復原稱為非約束復原。為此，只需要求其對f的微分就可以得到復原公式，即簡化為f=(HtHLHTg令M=N，則H為一方陣，并且假設H-1存在，于是可求得:f二H-1(Ht)-iHTg二H-ig即為所求得的非約束復原公式。2.圖像的約束復原在最小二乘復原處理中，為了在數(shù)學上更容易處理，并且適用于遙感領域，

常常對/附加不同的約束條件。此時，求解方程J(f)=||g-Hf就需要使用拉格

函數(shù)服從約束條件”-=iini2的最小化問題。尋找一個最優(yōu)估計f，使下述準則函數(shù)為最小，即朗日乘數(shù)法，令Q為函數(shù)服從約束條件”-=iini2的最小化問題。尋找一個最優(yōu)估計f，使下述準則函數(shù)為最小，即L+/g-nf\-mi2空=2Q?-次空=2Q?-次H(g-然后求解f為:HtH+-HtH+-QtQ[九)-1丿HTg即是所要求的約束復原公式。最小二乘法原理在求解圖像復原公式