最優(yōu)控制的MATLAB實現(xiàn)

iirrrr最優(yōu)控制的MATLAB實現(xiàn)摘要線性二次型最優(yōu)控制是一種普遍采用的最優(yōu)控制系統(tǒng)設計方法。使用MATLAB軟件設計的GUI控制界面實現(xiàn)最優(yōu)控制，有較好的人機交互界面，便于使用。線性二次型最優(yōu)控制又叫做LQ最優(yōu)控制或者稱為無限長時間定常系統(tǒng)的狀態(tài)調節(jié)控制器。本文分別從連續(xù)系統(tǒng)線性二次型最優(yōu)控制的MATLAB實現(xiàn)，離散系統(tǒng)相形二次型最優(yōu)控制的MATLAB實現(xiàn)，最優(yōu)觀測器的MATLAB實現(xiàn)，線性二次性Guass最優(yōu)控制的MATLAB實現(xiàn)四個研究方案。本論文就是從這四個方面分別以不同的性能指標設計不同的GUI界面以及不同的程序實現(xiàn)其功能并說明其各自的應用范圍。關鍵詞：線性二次型，最優(yōu)控制，GUI控制界面，最優(yōu)觀測器，Guass最優(yōu)控制IIIIrrrrTheLinearQuadraticOptimalControlofMATLABAbstractLinearquadraticoptimalcontrolisawidelyusedtooptimalcontrolsystemdesignmethod.UseofMATLABsoftwaredesignGUIinterfacecontroltorealizetheoptimalcontrol,Havegoodman-machineinterface,easytouse.ThelinearquadraticoptimalcontrolandcalledLQoptimalcontroloraninfinitelongtimeofthesystemstateregulationandconstantcontroller.ThispaperrespectivelyfromthecontinuoussystemlinearquadraticoptimalcontrolMATLAB,DiscretesysteminquadraticoptimalcontrolMATLAB,TheoptimalobserverMATLAB,sexualGuasslinearquadraticoptimalcontrolMATLABfourresearchplan.ThispaperisfromthefouraspectsoftheperformanceindexrespectivelyindifferentdesigndifferentGUIinterfaceandDifferentprogramsthatrealizeitsfunctionandtheirapplicationscope.Keywords：Linearquadratic,Theoptimalcontrol,GUIcontrolinterface,ThebestGuassobserver,theoptimalcontrol目錄TOC\o"1-5"\h\z1引言1概述1課題研究的背景、意義及研究概況1本文研究的主要內容22最優(yōu)控制的基本概念3最優(yōu)控制基本思想3最優(yōu)控制的性能指標4積分型性能指標4..末值型性能指標6...最優(yōu)控制問題的求解方法63最連續(xù)系統(tǒng)最優(yōu)控制的MATLAB實現(xiàn)83.1連續(xù)系統(tǒng)線性二次型最優(yōu)控制8連續(xù)系統(tǒng)線性二次型最優(yōu)控制的MATLAB實現(xiàn)9連續(xù)系統(tǒng)線性二次型最優(yōu)控制的MATLAB實現(xiàn)示例94離散系統(tǒng)線性二次型最優(yōu)控制的MATLAB實現(xiàn)20離散系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)線性二次型最優(yōu)控制20離散系統(tǒng)線性二次型最優(yōu)控制的MATLAB實現(xiàn)與示例215最優(yōu)觀測器的MATLAB實現(xiàn)275.1連續(xù)時不變系統(tǒng)的KALMAN濾波27Kalman濾波的MATLAB實現(xiàn)28Kalman濾波的MATLAB實現(xiàn)示例296線性二次型GUASS最優(yōu)控制的MATLAB實現(xiàn)35LQG最優(yōu)控制的求解35LQG最優(yōu)控制的MATLAB實現(xiàn)與示例377結論42參考文獻：4345?I?I?I?IIIrrrrrr引言概述隨著計算機技術的飛速發(fā)展，控制系統(tǒng)的計算機輔助設計與分析得到了廣泛的應用，目前已達到了相當高的水平。MATLAB是國際控制界應用最廣泛的計算機輔助設計與分析工具，它集矩陣運算、數(shù)值分析、信號處理和圖形顯示于一體，構成了一個方便的、良好的用戶環(huán)境，其強大的科學計算與可視化功能，簡單易用的開放式可編程環(huán)境，使得MATLAB在控制領域的各個方面都得到了廣泛應用。線性二次型最優(yōu)控制可以使系統(tǒng)的某些性能達到最優(yōu)，在工程上用得較為廣泛，也是現(xiàn)代控制理論課程學習的重點和難點。所謂最優(yōu)控制，就是根據(jù)建立在系統(tǒng)數(shù)學模型，選擇一個容許的控制規(guī)律，在一定的條件下，使得控制系統(tǒng)在完成所要求的控制任務時使給定的某一性能指標達到最優(yōu)值、極小值或極大值。圖形用戶界面GUI(GraphicalUserInterface)作為用戶與軟件交互的一種主要手段,已經成為現(xiàn)代軟件的重要組成部分。目前大部分軟件的功能主要是通過圖形用戶界面調用,在軟件產品的測試過程中,尤其是功能測試過程中,GUI功能測試占有非常大的比例,GUI測試是現(xiàn)代軟件測試的關鍵環(huán)節(jié)。GUI系統(tǒng)質量是整個軟件產品質量提升和成本降低的關鍵。由于GUI軟件的獨特性,使得原有傳統(tǒng)軟件的測試方法不大適用于GUI軟件的測試，現(xiàn)有關于GUI測試的研究相對較少，資源也相對貧乏，并且GUI手工測試已經無法滿足測試要求,因而對GUI測試自動化進行研究具有重要的現(xiàn)實意義。課題研究的背景、意義及研究概況最優(yōu)控制理論是50年代中期在空間技術的推動下開始形成和發(fā)展起來的。美國學者R.貝爾曼1957年提出的動態(tài)規(guī)劃和前蘇聯(lián)學者L.S.龐特里亞金1958年提出的極大值原理，兩者的創(chuàng)立僅相差一年左右。對最優(yōu)控制理論的形成和發(fā)展起了重要的作用。線性系統(tǒng)在二次型性能指標下的最優(yōu)控制問題則是R.E?卡爾曼在60年代初提出和解決的。對于線性系統(tǒng)，若性能指標是二次型函數(shù)，這樣實現(xiàn)的控制叫做線性二次型最優(yōu)控制，線性二次型最優(yōu)控制方法是20世紀60年代發(fā)展起來的一種普遍采用的最優(yōu)控制系統(tǒng)設計方法。這種方法的對象是以狀態(tài)空間表達式給出的線性系統(tǒng)，而性能指標(或目標函數(shù))為對象狀態(tài)與控制輸入的二次型函數(shù)。二次型問題就是在線性系統(tǒng)的約束條件下，選擇控制輸入使得二次型目標函數(shù)達到最小。到目前為止，這種二次型最優(yōu)控制在理論上比較成熟，為解決這類控制問題而開發(fā)的MATLAB函數(shù)也比較多，而且這種控制應用非常廣泛。目前GUI自動化測試工具普遍采用的是捕獲/回放(C/P,Capture/Playback)機制,并沒有對GUI測試的自動化提供很好的支持。只能被動捕獲被測試系統(tǒng)的執(zhí)行信息,而不能和被測試系統(tǒng)進行交互,有選擇地捕獲被測系統(tǒng)的執(zhí)行信息,且相對于國內軟件測試市場,價格較高,國內沒有充分得到應用。因而,研究與設計圖形用戶界面的自動化測試工具，對促進國內GUI應用系統(tǒng)測試自動化具有較深遠的意義。本文研究的主要內容本論文將以線性二次型為性能指標，分別從連續(xù)系統(tǒng)線性二次型最優(yōu)控制的MATLAB實現(xiàn)，離散系統(tǒng)相形二次型最優(yōu)控制的MATLAB實現(xiàn)，最優(yōu)觀測器的MATLAB實現(xiàn)，線性二次性Guass最優(yōu)控制的MATLAB實現(xiàn)這四個研究方案入手加以深入，力求在做到實現(xiàn)最優(yōu)控制的前提下，控制界面的靈敏性能夠有進一步的提高。同時江不同最優(yōu)控制的設計進行比較，探討各種方法的優(yōu)缺點。針對上述研究內容，本論文內容具體安排如下：第1章：引言。介紹了線性二次型最優(yōu)控制以及MATLAB下圖形界面GUI的研究背景、意義和發(fā)展概況，并介紹了本文的主要研究內容。第2章：闡述最優(yōu)控制的基本概念，性能指標以及求解方法。第3章：闡述連續(xù)系統(tǒng)線性二次型最優(yōu)控制的MATLAB實現(xiàn)過程。第4章：闡述離散系統(tǒng)相形二次型最優(yōu)控制的MATLAB實現(xiàn)過程。第5章：闡述最優(yōu)觀測器的MATLAB實現(xiàn)過程。第6章：闡述線性二次型Guass最優(yōu)控制的MATLAB實現(xiàn)過程。最優(yōu)控制的基本概念最優(yōu)控制基本思想設系統(tǒng)狀態(tài)方程為x(t)=f[x(t),u(t),t],x(t)=x(2-1)00式中，x(t)是n維狀態(tài)向量；u(t)是p維控制向量;n維向量函數(shù)f[x(t),u(t),)]是x(t),u(t)與t的連續(xù)函數(shù)，且對x(t)與t連續(xù)可微；u(t)在[t,t]上分段連續(xù)。所謂最優(yōu)控制問0f題，就是要求尋找最優(yōu)控制函數(shù)，使得系統(tǒng)狀態(tài)x(t)從以知初態(tài)x°轉移到要求的終端狀態(tài)x(t)，在滿足如下約束條件下：f(1)控制與狀態(tài)的不等式約束g[x(t),u(t),t]>0(2-2)2)終端狀態(tài)的等式約束IIIIrrrrM[x(t),t]二0(2-3)ff使性能指標J=0[x(t),t]+fF[x(t),u(t),t]dt(2-4)fft0達到極值。式中g[x(t),u(t),t]是m維連續(xù)可微的向量函數(shù)，m<p;M[x(t),t]是§維連續(xù)可微的向量函數(shù)，q<n;0[x(t),u(t),t]都是x(t)與t的連續(xù)可ff微純量函數(shù)。最優(yōu)控制的性能指標自動控制的性能指標是衡量系統(tǒng)性能好壞的尺度，其內容與形式取決于最優(yōu)控制問題所要完成的任務，不同的控制問題應取不同的性能指標，其基本類型如下。積分型性能指標2-5)t0表示整個控制過程中，系統(tǒng)的狀態(tài)x(t)與施加給系統(tǒng)的控制作用u(t)應當達到某些要求。例如：1)最小時間控制當選取F[x(t),u(t),t]=1當選取2-6)J=Jdt=t—t2-6)f0t0這種控制要求設計一個快速控制規(guī)律，使系統(tǒng)在最短時間內從以知的初態(tài)x(t0)轉移到要求的末態(tài)x(t)。例如，導彈攔截器的軌道轉移就是屬于此類問題。

2)最小燃料消耗控制當選取F[x(t),u(t),t]=￡u(t)jj=i則J=丿區(qū)|u(t)dt(2-7)j=1是航天工程中常遇到的重要問題之一。例如，宇宙飛船這種航天器具所攜帶的燃料有限希望在軌道轉移時，所消耗的燃料盡可能的少，就是屬于此類問題。(3)最小能量控制當選取F[x(t),u(t),t]=uT(t)u(t)則2-8)J=Jut(t)u(t)dt2-8)對于一個能量有限的物理系統(tǒng)，例如，通信衛(wèi)星的太陽能電池，為了使系統(tǒng)在有限的能源條件下載盡可能長的時間內保證正常工作，需要對控制過程中的能量消耗進行約束，就是屬于此類問題。(4)無線時間線性調節(jié)器取t，且fF(x,u,t)=[XT(t)Qx(t)+UT(t)Ru(t)]2其中，Q>0,R0,均為加權矩陣，則2-9)182-9)J=2J[XT(t)Qx(t)+uT(t)Ru(t)]dtt05)無限時間線性跟蹤器F(x,u,t)二{[y(t)—z(t)]tQ[y(t)—z(t)+Ut(t)Ru(t)]}18八2M[y(t)-z(t)]tQ[y(t)—z(t滬uT(t)Ru(t)}dtt0(2-10)其中，y(t)為系統(tǒng)輸出向量，z(t)為系統(tǒng)希望輸出向量。在性能指標式(2-8)、式(2-9)、式(2-10)中，被積函數(shù)都是由x(t)、y(t)-z(t)或譏丫)的平方項所組成，這種形式的性能指標叫做二次型性能指標。末值型性能指標j=e[x(t)，t](2-11)ff表示系統(tǒng)在控制過程結束后，要求系統(tǒng)的終端狀態(tài)x(t)應達到某些要求，在實際工程f中，例如要求導彈的脫靶量最小、機床工作臺移動準確停止等。終端時刻t可以固定，f也可以自由，視最優(yōu)控制問題的性質而定。復合型性能指標tfJ=0[x(t),t]+fF[x(t),u(t),t]dt(2-12)fft0表示對整個控制過程及控制過程結束后的終端狀態(tài)均有要求，是最一般的性能指標形式。最優(yōu)控制問題的求解方法1.解析法當性能指標與約束條件為顯示解析表達式時，適合用解析法。通常是用求導方法或變分方法解出最優(yōu)控制的必要條件，從而得到一組方程式或不等式，然后求解這組方程或不等式，最后得到最優(yōu)控制的解析解。2.數(shù)值計算法當性能指標比較復雜或不能用變量的顯函數(shù)表示時，可以采用試探法，即直接搜索逐步逼近，經過若干次迭代，逐步逼近到最優(yōu)點。3．梯度型法這是一種解析與數(shù)值計算相結合的方法。最連續(xù)系統(tǒng)最優(yōu)控制的MATLAB實現(xiàn)3.1連續(xù)系統(tǒng)線性二次型最優(yōu)控制設線性連續(xù)定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為x(t)=Ax(t)+Bu(t),x(0)=x(3-1)0式中，x(t)為n維狀態(tài)向量；u(t)為p維控制向量，且不受約束；A為nxn維常數(shù)矩陣,B為nxp維常數(shù)矩陣。系統(tǒng)的性能指標為：3-2)1甲3-2)J=JxtQx+uTRudt0式中，終端時間無限；Q為維數(shù)適當?shù)某?shù)矩陣(常取nxn維常數(shù)矩陣)；R為維數(shù)適當?shù)某?shù)矩陣，R》0,R=Rt。若下列條件之一滿足：Q》0,Q=Qt,陣對［A,B］完全可控；⑵Q>0,Q=QT,陣對］A,B院全可控，陣對［A,D院全可觀，DDT=Q,D為任意矩陣。則有最優(yōu)反饋矩陣：TOC\o"1-5"\h\zK=R-iBtP(3-3)與唯一的最優(yōu)控制：u*(t)=-Kx(t)=-R-1BTPx(t)(3-4以及最優(yōu)性能指標：J*=丄x(0)Px(0)(3-5)2式中，P為常值正定矩陣，它是以下黎卡提代數(shù)方程的唯一解：

PA+AtP一PBR-iBtP+Q=0(3-6)閉環(huán)系統(tǒng)：(3-6)x(t)=(A―BR-1BtP)x(t),x(0)=x(3-7)0是漸近穩(wěn)定的，其解為最優(yōu)軌線x(t)。3.2連續(xù)系統(tǒng)線性二次型最優(yōu)控制的MATLAB實現(xiàn)在MATLAB系統(tǒng)里，有特別提供的函數(shù)來求解連續(xù)系統(tǒng)線性二次型狀態(tài)調節(jié)器問題。其函數(shù)有l(wèi)qr()、lqr2()與lqry()。函數(shù)的調用格式為：[K,S,E]=lqr(A,B,Q,R,N)[K,S]=lqr2(A,B,Q,R,N)[K,S,E]=lqry(sys,Q,R,N)其中，輸入?yún)⒘縮ys為系統(tǒng)的模型；A為系統(tǒng)的狀態(tài)矩陣；B為系統(tǒng)的輸入矩陣；Q為給定的半正定實對稱矩陣；R為給定的正定實對稱矩陣；N代表更一般化性能指標中交叉乘積項的加權矩陣；輸出參量K為最優(yōu)反饋增益矩陣；S為對應Riccati方程的唯一正定解P(若矩陣A-BK是穩(wěn)定矩陣，則總有P的正定解存在)；E為A-BK的特征值。函數(shù)lq「y()用來求解二次型狀態(tài)調節(jié)器的特例，是用輸出反饋替代狀態(tài)反饋，即有:u(t)=-Ky(t)其性能指標則為：J=-r(yrQy+UtRu)dt0這種二次型輸出反饋控制稱為次優(yōu)(或準最優(yōu))控制。3.3連續(xù)系統(tǒng)線性二次型最優(yōu)控制的MATLAB實現(xiàn)示例【例18-1】已知連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程與初始條件為[xi(t)=u(t)x(t)=x(t)3-8)3-9)囂103-8)3-9)囂10,性能指標:2.I.I.I.IrrrrJ=r[x2（t）+1u2（t）Tdt,設計要求:設計一GUI界面，界面有五個按鈕，分別實現(xiàn)的功能24」0是:最優(yōu)反饋增益矩陣K、最優(yōu)控制u*（t）、最優(yōu)性能指標J*、特征方程的特征值和Riccati方程的正定解P。解:由系統(tǒng)狀態(tài)方程直接寫出狀態(tài)矩陣、輸入矩陣與初始條件:「00-j「-x(0)-A=_10_,B=_0_，x(0)=1=1X(0)2選擇矩陣0002由題目要求，第一步：打開MATLAB,輸入guide回車后將彈出GUIDE快速啟動對話框，如圖3.1所示。圖3.1GUIDE快速啟動對話框從上面的對話框可以看到，MATLAB提供了4種GUIDE模板，其中本次設計需要用到的是第一個，空白GUI模板。單擊OK按鈕，打開GUI編輯界面，如圖3.2所示。圖3.2新建的GUI界面如圖所示，上面的第一行為菜單欄，第二欄為工具欄，左邊的兩列為常用控件，關于各個控件的名稱與功能見附錄1第二步：針對例子的設計要求，為GUI添加必要的控件。（1）添加“靜態(tài)文本”控件。選擇StaticText圖標，用鼠標將其拖到GUI模板的合適位置，并根據(jù)設計，調整其大小。（2）添加“文本框”控件。用鼠標單擊EditText圖標，然后在界面上建立文本框。（3）添加“列表框”控件。用鼠標單擊Listbox圖標，然后在界面上合適的位置建立大小適中的列表框。（4）添加“按鈕組”控件。單擊ButtonGroup圖標，建立合適的按鈕組控件。（5）在按鈕組上添加“按鈕”。單擊PushButton圖標，將按鈕建立在按鈕組里，需要多少即建立多少。IIIIrrrr完成以上操作后得到草圖，如圖3.3所示。FileEditViewLayoutToolsHelp串臂罰圈StaticTerfI?1斗TixButtonGroupPushButtonPushButtonEditTextPushButtonPushButtonStaticTextFileEditViewLayoutToolsHelp串臂罰圈StaticTerfI?1斗TixButtonGroupPushButtonPushButtonEditTextPushButtonPushButtonStaticTextListbu：：■:PushButton<>Tag：uip：3JiellCurrentFoint:[89,401]Fosition：[51』39,20L,269]圖3.3GUI草圖上述界面包含兩個靜態(tài)文本框控件、一個可編輯文本框、一個按鈕組控件、五個按鈕控件、一個列表框控件。第三步：修改屬性。創(chuàng)建控件以后，要對控件的各種屬性進行設置，具體步驟如下：雙擊各控件，則會彈出左邊的屬性對話框，按要求分別修改各按鈕的屬性，如圖3.4所示。

圖3.4圖3.4修改屬性窗口如圖所示，右邊窗口為修改屬性窗口，常用屬性有:string屬性，用于顯示在控件上的字符串，起說明或提示作用；Callback屬性，回調函數(shù)，與菜單的一樣；Tag屬性，控件的標記，用于標識控件。更多屬性功能見附錄11）在圖形左邊上方的靜態(tài)文本的屬性編輯框中，設置如下屬性值：■Fontsize■Fontsize10%字體大小FontUnitsnormalized體比例FontUnitsnormalized體比例String系統(tǒng)輸入%采用相對度量單位，縮放時保持字%顯示在界面上的字符%文字中心對齊■HorizontalAlignmentCenter%文字中心對齊iiii?I?Irrrrrr■Unitsnormalized%采用相對度量單位，縮放時保持該區(qū)比例在圖形左邊中間的靜態(tài)文本的屬性編輯框中，設置如下屬性值：■Fontsize■Fontsize10%字體大小FontUnitsnormalized體比例FontUnitsnormalized體比例String系統(tǒng)輸出%采用相對度量單位，縮放時保持字%顯示在界面上的字符%文字中心對齊■Units■%文字中心對齊■Unitsnormalized%采用相對度量單位，縮放時保持該區(qū)比在可編輯文本的屬性編輯框中，設置如下屬性值：%采用相對度量單位，縮放時保持字體■FontUnitsnormalized%采用相對度量單位，縮放時保持字體比例String%清除在界面上的字符HorizontalAlignmentCenter%文字中心對齊Unitsnormalized%采用相對度量單位，縮放時保持該區(qū)比例在按鈕組的屬性編輯框中，設置如下屬性值：Fontsize12%字體大小FontUnitsnormalized%采用相對度量單位，縮放時保持字體比例■HorizontalAlignmentCenter■HorizontalAlignmentCenter%文字中心對齊■String連續(xù)系統(tǒng)線性二次型最優(yōu)控制■String連續(xù)系統(tǒng)線性二次型最優(yōu)控制%在按鈕組頂頭顯示Unitsnormalized%采用相對度量單位，縮放時保持該鍵比例在按鈕組的按鍵上屬性編輯框中，設置如下屬性值：Fontsize10%字體大小FontUnitsnormalized%采用相對度量單位，縮放時保持字體比例HorizontalAlignmentCenter%文字中心對齊Unitsnormalized%采用相對度量單位，縮放時保持該鍵比例五個按鈕的String屬性從上到下分別設置為：最優(yōu)反饋增益矩陣K、Riccati方程的正定解P、最優(yōu)控制u*(t)、最優(yōu)性能指標J*、特征方程的特征值。對控件的屬性設置結束后，得到如下界面：rrrrfjlffi圖3.5屬性設置完的基本圖ML邨figfjlffi圖3.5屬性設置完的基本圖ML邨figKkEditViewLaftiutTooleHdp□已?|晶■?呷Ls?方程的逅定需P.i_提t(yī)t控制up）To-g.l-qr.'figurtlCurrentP^rrtr(51.417]Poiitcnr(JM.383.560.417]第四步：設計GUI回調函數(shù)。點擊工具欄最右邊的綠色三角按鈕運行點擊工作臺上的”運行界面“的工具圖標，會出現(xiàn)一個詢問對話框，當按提示對以上的設計進行存儲以后，就會引出2個界面：名為Lqr的圖形用戶界面（如圖3.6所示）；展示名為Lqr的（待填寫回調指令的）M函數(shù)文件的文件編輯器界面。在Lqr.m文件中，填寫回調指令（見附錄）第五步：運行。按例題要求設計回調函數(shù)，然后運行。在系統(tǒng)輸入框中輸入狀態(tài)矩陣、輸入矩陣、初始狀態(tài)與給定矩陣，輸入完成后分別點擊各按鈕。（1）按下按鈕“最優(yōu)反饋增益矩陣K”，得到如圖3.7的結果：?I?I?I?Irrrr圖3.6圖形用戶界面圖3.7⑵按下按鈕“Riccati方程的正定解P”，得到如圖3.8結果:IIIIrrrr圖3.8Riccoti方程的正定解P按下按鈕“最優(yōu)控制u*(t)”得到3.9圖結果:圖3.9最優(yōu)控制u*(t)II?I?Irrrr按下按鈕“最優(yōu)性能指標J*”，得到圖3.10結果:系纟充輸入Q0;101;0

0.500;02

QRiccati方程的正定鯛P最優(yōu)控制屮①特征方程的特證值系統(tǒng)輸出圖3.10最優(yōu)性能指標J*按下按鈕“特征方程的特征值”,得到圖3.11結果:L連續(xù)系絨紗性二次型最優(yōu)控制00;101;0L連續(xù)系絨紗性二次型最優(yōu)控制00；02

0Riccati方程的正定鯛P系統(tǒng)輸出-1+1i-1-1i最優(yōu)控制-1+1i-1-1i最優(yōu)性能指標J”特征方程的特證值：圖3.11特征方程的特征值

自此連續(xù)系統(tǒng)線性二次型最優(yōu)控制的matlab設計結束。離散系統(tǒng)線性二次型最優(yōu)控制的MATLAB實現(xiàn)離散系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)線性二次型最優(yōu)控制設完全可控線性離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：x(k+1)=Ax(k)+Bu(k)，x(°)=x，(k=°，1，N一1)(4-1)0式中，x(k)為〃維狀態(tài)向量；u(k)為〃維控制向量，且不受約束；A為nxn維非奇異矩陣，B為nxp維矩陣。系統(tǒng)的性能指標為：J二-xt(N)Sx(N)+-F[xt(k)Qx(k)+ut(k)Ru(k)](4-2)22K=0式中，Q為nxn維正定或半正定實對稱矩陣；R為pxp維正定實對稱矩陣；S為nxn維正定或半正定實對稱矩陣。最優(yōu)控制作用與最優(yōu)反饋矩陣可以有幾種不同的表達式。其中最有反饋矩陣之一為：TOC\o"1-5"\h\zK(k)=R-1Bt(At)-1[P(k)—Q](4-3)與之對應的最優(yōu)控制序列：u*(k)=—K(k)x(k)=—R-1Bt(At)—1[P(k)—Q]x(k)(4-4)以及性能指標：J*=—xT(0)P(0)x(0)(4-5)2以上幾式中，P(k)為正定矩陣，它是以下黎卡提差分方程的正定解：P(k)=Q+at[Pt(k+1)+Br—1bt]—1A(4-6)若控制步數(shù)N為無限值，即令NTa，系統(tǒng)最優(yōu)控制的解成為穩(wěn)態(tài)解。系統(tǒng)的性能指標則改為：1TOC\o"1-5"\h\z八2￡”(k)Qx(k)+UT(k)Ru⑹](4-7)K=0K(k)變成常數(shù)增益矩陣K:K=[R+btPB]-ibtPA(4-8)P(k)也變成常數(shù)矩陣P:P=Q+AT[P-1+BR-1BT]-1A(4-9)對應的最優(yōu)控制序列為：u*(k)=-Kx(k)=-[R+BTPB]-1BTPAx(k)(4-10)閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：x(k+1)=Ax(k)+Bu(k)=[A-B(R+BTPB)-1BTPA]x(k)=(I+BR-1BTP)-1Ax(k)以及最優(yōu)性能指標仍為：J*=丄xT(0)P(0)x(0)(4-11)24.2離散系統(tǒng)線性二次型最優(yōu)控制的MATLAB實現(xiàn)與示例在MATLAB的工具箱里，有特別提供的函數(shù)來求解離散系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)線性二次型狀態(tài)調節(jié)器問題。其函數(shù)有dlqr()與dlqry()。函數(shù)的調用格式為：[K,S,E]=dlqr(A,B,Q,R,N)[K,S,E]=dlqry(A,B,C,D,Q,R,N)其中，輸入?yún)⒘緼為系統(tǒng)的狀態(tài)矩陣；B為系統(tǒng)的輸入矩陣；Q為給定的正定或半正定實對稱矩陣；R為給定的正定實對稱矩陣；N代表更一般化性能指標中交叉乘積項的加權矩陣。輸出參量K為離散最優(yōu)反饋增益矩陣；S為Riccati方程的唯一正定解P；E為A-BK的特征解。函數(shù)dlqry()用來求解二次型狀態(tài)調節(jié)器的特例，這個特例就是用輸出反饋替代狀IIIIrrrr態(tài)反饋，即有：u(k)=-Ky(k)(4-12)其性能指標為：1八2「yT(k)Qy(k)+UT(k)Ru(k)](4-13)k=0【例4-1】以知伺服系統(tǒng)動態(tài)結構狀態(tài)方程為x(k+1)=ax(k)+bu(k)u(k)=kv(k)-kx(k)12v(k)=r(k)-y(k)+v(k-1)y(k)=cx(k)式中a=0.5,b=1,c=1,d=0利用GUI工具箱設計一界面使其滿足在點擊【反饋矩陣Kx】鍵時在輸出框中輸出系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)最優(yōu)反饋增益矩陣，在點擊【Stepresponse】鍵時在軸上畫出相應的系統(tǒng)閉環(huán)后的單位階躍給定響應曲線。解】由v(k)有：(vk+1)=r(k+1)-y(k+1)+v(k)=-cax(k)+v(k)-cbu(k)+r(k+1)由x(k+1)與v(k+1)寫出矩陣，對于系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)，k=g，以上矩陣就成為:x(a)a0x(a)+bu(a)+ov(a)-calv(a)-cb1r(a)令采樣信號x(k)=x(k)-x(a)，v(k)=v(k)-v(a)，u=u(k)-u(a)。將以上兩式相減,eee可得：x(k+1)ea0x(k)e+bv(k+1)-ca1v(k)-cbeeu(k)e

由u(k)=kv(k)一kx(k),有u(k)=kv(k)一kx(k)12e1e2e再令x(k)=x(k),x(k)=v(k),w(k)=u(k)。以上矩陣可寫成:1e2ee式中w(k)=-式中w(k)=-〔k-k]21x(k)1x(k)2x(k+1)a0x(k)b1=1+x(k+1)2-ca1x(k)2-cbw(k)當系統(tǒng)有單位階躍給定輸入時，r(k+1)=r(a)=r。又由u(k)=kv(k)-kx(k)可得:12a0]「x(k)+7_-ca1J|_v(k)-cbx(k+1)a0]「x(k)+7_-ca1J|_v(k)-cbx(k+1)v(k+1)-kk]21x(k)v(k)根據(jù)矩陣乘法運算規(guī)則，整理以上矩陣有:x(k+1)v(k+1)a-bkbk21-ca+cbk1-cbk21x(k)v(k)還有:x(k)v(k)設定性能指標為:y(k)=cx(k)=c0】J=—￡[xt(k)Qx(k)+wt(k)Rw(k)]2K=0式中參量Q、R選擇為:Q=1000001,R=[1]根據(jù)以上分析開始設計GUI界面。第一步：啟動GUI工具箱以后，布置如4.1圖所示的界面:.I.I.I.I?I?Irrrrrr圖4.1離散系統(tǒng)最優(yōu)控制GUI界面上述界面包含一個坐標軸控件、兩個靜態(tài)文本框控件、一個可編輯文本框、一個按鈕組控件、兩個按鈕控件、一個列表框控件。第二步：對各控件進行屬性設置，設置完成后得到如4.2界面。

圖4.2離散系統(tǒng)圖形用戶界面圖4.3離散系統(tǒng)反饋矩陣Kx第三步:界面的激活與回調函數(shù)的設計（見附錄）。第四步:運行。點擊界面按鈕“反饋矩陣Kx”后顯示如4.3界面iiiirrrr點擊界面按鈕“Stepresponse”后顯示如4.4界面圖4.4離散系統(tǒng)單位階躍給定響應設計結束。IIII?I?Irrrrrr5最優(yōu)觀測器的MATLAB實現(xiàn)系統(tǒng)的Kalman濾波器就是最優(yōu)觀測器。對于帶有系統(tǒng)噪聲與量測噪聲的實際系統(tǒng)，抑制或濾掉噪聲對系統(tǒng)的干擾及影響，對系統(tǒng)的狀態(tài)做出充分精確的估計。利用Kalman濾波器對系統(tǒng)進行最優(yōu)控制是非常有效的。5.1連續(xù)時不變系統(tǒng)的Kalman濾波給定系統(tǒng)的狀態(tài)方程與量測方程分別為：x(t)=Ax(t)+Bu(t)+Gw(t)(5-1)y(t)=Cx(t)+Du(t)+Hw(t)+v(t)(5-2)式中，x(k)為n維狀態(tài)向量；u(k)為p維控制向量，y(t)為q維量測向量；A為nxn維非奇異矩陣，B為nxp維矩陣，G為nxp維常數(shù)矩陣，D為qxp維常數(shù)矩陣；H為qxp維常數(shù)矩陣；假定w(t)為隨機噪聲干擾輸入，它是零均值的p維白噪聲過程；假定為隨機量測噪聲，是零均值的q維白噪聲過程。w(t)與v(t)兩噪聲過程均平穩(wěn)且互不相關。即有：E{w(t)}=0,對一切t>t；0E{v(t)}=0,對一切t>t;0E{w(t)wt(t)=Q6(t-t),對一切t,t>t?00此式中的Qo為常數(shù)矩陣(叫做模型噪聲的協(xié)方差矩陣)。E{w(t)wt(t)=Q6(t-t),對一切t,t>t。00此式中的Ro為常數(shù)矩陣(叫做量測噪聲的協(xié)方差矩陣)。E{w(t)wt(t)=0,對一切t,t>t0令x(t盧~(t)分別為狀態(tài)向量估計值與狀態(tài)向量的估計誤差值，x(t)為狀態(tài)向量的理論值，則有：

5-3)~(t)=x(t)-~(t)5-3)除上述假設外，還假定｛C,A｝是完全可觀測的。在這些假定均成立的條件下，使估計誤差平方和的期望值最小(最小方差跡準則濾波估計)既有：TOC\o"1-5"\h\zJ=Ext(t)x(t)]=min(5-4其最優(yōu)估計器為：~~x(t)=Ax(t)+Bu(t)+L[y(t)—Cx(t)]=(A—LC)x(t)+Bu(t)+Ly(t)(5-5)式中L=PCtR-i(5-6)00其中P為以下Riccati方程的解：0AP+PAt+GQGt—PCtR-iCP=0(5-7)000000可以證明：Riccafi方程的解p就是估計誤差的協(xié)方差，而此協(xié)方差的跡(trP)00即為誤差方差。如是有：trP0=trEx(trP0=trEx(t)=Extx't5-8)Kalman濾波的MATLAB實現(xiàn)在MATLAB的工具箱里提供了kalman()函數(shù)來求解系統(tǒng)的kalman濾波器，函數(shù)的調用格式為：【Kest,L,P]=Kalman(sys,Q,R,N)其中，輸入?yún)⒘縮ys為連續(xù)或離散系統(tǒng)帶擾動的狀態(tài)空間模型(A,b,C,D)當模型有兩個時，B=[BG]，D=[DH]；Q為模型噪聲的協(xié)方差矩陣；R為量測『噪聲的協(xié)方差矩陣；N為可選項，它對應模型噪聲與量測噪聲的相關項。輸出參量Kest為Kalman濾波器的狀態(tài)估計器，其狀態(tài)方程如下：x=(A-LC)x(t)+(B-LD)u(t)+Ly(t)(5-9)yy]]JC]x(t)+|"D]u(t)(5-10)x(t)JE0L為Kalman濾波器的增益矩陣：P為對應的Riccati方程的解，即估計誤差的協(xié)方差。在MATLAB老版本的工具箱里，還提供了兩個配合使用的函數(shù)lqe()與estim口來求解系統(tǒng)的Kalman濾波器。函數(shù)lqe()的調用格式為：[l,P,E]=lqe(A,G,C,Q,R,N)其中，輸入?yún)⒘緼,G,C為系統(tǒng)式(18-46)與(18-47)中的對應參量；Q為模型噪聲的協(xié)方差矩陣；R為量測噪聲的協(xié)方差矩陣；N為可選項，它對應模型噪聲與量測噪聲的相關項；輸出參量L為Kalman濾波器的增益矩陣；P為對應的Riccati方程的解，即估計誤差的協(xié)方差；E為估計器的閉環(huán)特征值。函數(shù)estim[]的調用格式為：est=estim(sys,L)這個函數(shù)用來生成連續(xù)系統(tǒng)的Kalman濾波器，即系統(tǒng)的狀態(tài)估計器est。輸入?yún)⒘縮ys為連續(xù)系統(tǒng)帶擾動的狀態(tài)空間模型，輸入?yún)⒘縇為函數(shù)leq()求出的Kalman濾波器的增益矩陣。對于連續(xù)系統(tǒng)，用函數(shù)kalman()計算的Kalman濾波器的狀態(tài)估計器kest與用函數(shù)estim()求出的Kalman濾波器est，兩者應相等。請看以下示例。Kalman濾波的MATLAB實現(xiàn)示例例【5-1】：已知單位負反饋連續(xù)系統(tǒng)的受控對象與校正裝置的傳遞函數(shù)分別為：G(s)=丄，G(s)=S0s2cs+10試設計一個GUI界面，實現(xiàn)如下要求：點擊按鈕“Kalman增益矩陣L”時，在列表框中顯示系統(tǒng)Kalman濾波器的增益IIII.I.Irrrrrr矩陣L；點擊“系統(tǒng)估計誤差的協(xié)方差P”按鈕時，列表框中顯示系統(tǒng)估計誤差的協(xié)方差P；點擊“Kalman最優(yōu)濾波器”按鈕時，列表框中顯示系統(tǒng)Kalman(最優(yōu))濾波器(a,b,c,d)。解：第一步：啟動GUI工具箱以后，布置如圖5.1所示的界面：下述界面包含一個靜態(tài)文本框控件、一個可編輯文本框、一個按鈕組控件、三個按鈕控件、一個列表框控件。圖5.1Kalman最優(yōu)濾波器GUI基本界面第二步：對各控件進行屬性設置，屬性設置與例3.1類同，設置完成后得到圖5.2界面。

F^*Lqe-figRte^ditViewLs^ckjEToolsHelp口函■]鼻呷PI毎當戲站勺硒住FE畫⑥?@???aE畫⑥?@???a1E1CurrentPoint[233^P巧LT]Position;1520.IS璽560,417]Tag;fi^urel圖5.2圖5.2Kalman最優(yōu)濾波器控制界面第三步:界面的激活與回調函數(shù)的設計（見附錄2）。其中激活界面如圖5.3圖5.3Kalman最優(yōu)控制的激活界面.I.I.I.I圖5.5圖5.5系統(tǒng)估計誤差協(xié)方差r圖5.5圖5.5系統(tǒng)估計誤差協(xié)方差r第四步:運行。輸入以知矩陣，點擊界面按鈕“Kalman增益矩陣L”后顯示如5.4界面圖5.4Kalman濾波器的增益矩陣L點擊界面按鈕“系統(tǒng)估計誤差協(xié)方差P”按鈕，則顯示出系統(tǒng)估計誤差協(xié)方差，如圖5.5L最優(yōu)觀測器性能指標-Kalman増益矩陣1系統(tǒng)估計誤差協(xié)方差Kanrrian最優(yōu)濾波器001100U1818011UaV14.85650.668112.6078-A□.668112.60780.11560.49900.499010.75667受控對象與校正裝置參數(shù)IIII圖5.7Kanman圖5.7Kanman最優(yōu)濾波器之矩陣br圖5.7Kanman圖5.7Kanman最優(yōu)濾波器之矩陣br點擊界面按鈕“Kanman最優(yōu)濾波器”按鈕，列表框中顯示出最優(yōu)濾波器的矩陣，由上到下分別是a,b,c,d。分別如圖5.6,5.7,5.8,5.9所示。I-最優(yōu)視測器性能指標-系統(tǒng)估計誤差忻方差0D1■100□18180-1-1UA-V□-84.81-10.1341-11.560□-65.9-1066.8111.5649.3□10100□10□01壹控刑象與檢正猛重卷數(shù)圖5.6Kanman最優(yōu)濾波器之矩陣ar-最優(yōu)現(xiàn)測器性能指標-Kalman増益矩陣L系統(tǒng)估計誤差協(xié)方差kanmani-SSS^I?|001100018160-1-10AV□-84.81-10.13A1-11.560Q-&S.9-1QB8.8111.5649.9010100□10001￥受控對象與校正裝置卷數(shù)IIIIrrrrn最優(yōu)觀測器性能指標-Kalman増益矩陣1系統(tǒng)估計誤差協(xié)方差001100□1818o-iIO11.5649.9□10100010□01□□□受控對象與校正裝置參數(shù)圖5.8Kanman最優(yōu)濾波器之矩陣c圖5.9Kanman最優(yōu)濾波器之矩陣d系統(tǒng)的Kalman(最優(yōu))濾波器(a,b,c,d)。計算表明，用函數(shù)kalman()計算的Kalman濾波器的狀態(tài)估計器Kest與用函數(shù)estim()求出的Kalman濾波器est，兩者是相等的。6線性二次型Guqss最優(yōu)控制的MATLAB實現(xiàn)考慮系統(tǒng)隨機輸入噪聲與隨機量測噪聲的線性二次型最優(yōu)控制稱為線性二次型高斯(Guass。最優(yōu)控制，即LQG控制。線性二次型高斯最優(yōu)控制是輸出反饋控制。這種即及系統(tǒng)受到隨機因素的作用而采取的控制策略,對解決線性二次型最優(yōu)控制問題,顯然更具有實用性。6.1LQG最優(yōu)控制的求解給定系統(tǒng)的狀態(tài)方程與量測方程分別為：x(t)=Ax(t)+Bu(t)+Gw(t)(6-1)y(t)=Cx(t)+Du(t)+v(t)(6-2)式中，參量x(t)、u(t)、y(t)、A、B、G、C、D含義同前，假定w(t)為隨機噪聲干擾輸入，它是零均值的P維白噪聲過程；假定v(t)為隨機量測噪聲，是零均值的q維白噪聲過程。w(t)與v(t)兩個噪聲過程均平穩(wěn)且互不相關。系統(tǒng)的性能指標為：J=E<J0[xtQx+utRu]dt>(6-3)根據(jù)LQG問題的分離原理，LQG最優(yōu)控制是兩個方面問題的綜合：一是二次型調節(jié)器問題。二是最優(yōu)估計器問題。LQ最優(yōu)控制就是二次型調節(jié)器問題。最優(yōu)狀態(tài)反饋控制有最優(yōu)反饋矩陣式(6-4)：K二R-1BtP(6-4)最優(yōu)控制為式(6-5)：u*(t)=-Kx(t)=-R-iBtPx(t)(6-5)以及P滿足的Riccati方程式(6-6):PA+AtP-PBR-iBtP+Q=0(6-6)利用Kalman濾波理論，從狀態(tài)x(t)中得到最優(yōu)估計X(t)，使估計誤差平方和的期望值最小(最小方差跡準則濾波估計)，即有式(6-7)：TOC\o"1-5"\h\zJ=ExT(t)x(t)]=min(6-7)這種最優(yōu)估計器為式(6-8)：~~x=(A-LC)x(t)+Bu(t)+Ly(t)(6-8)上式中，L為Kalman濾波器增益，即式(6-9)：L=PCtR-i(6-9)00

其中P為以下Riccati方程式(6-10)的解：0AP+PAt+GQGt-PCtR-1CP=0(6-10)000000分別計算LQ最優(yōu)控制與最優(yōu)估計，再將這兩問題的解合在一起，就得到LQG控制的最優(yōu)解。6.2LQG最優(yōu)控制的MATLAB實現(xiàn)與示例在MATLAB工具箱里，有特別提供的函數(shù)reg()來求解LQG最優(yōu)控制。函數(shù)的調用格式為：rsys=regrsys=reg(sys,K,L)其中，輸入?yún)⒘縮ys為系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型；K為由函數(shù)lqr()求得的最優(yōu)狀態(tài)反饋增益矩陣；L為函數(shù)lqe()求得的Kalman濾波器狀態(tài)估計增益矩陣。例【6-1】：已知系統(tǒng)的狀態(tài)方程如下：■-0.40■-0.40-0.016.31x=100x+0u+0w1.49.8-0.029.80y=【001!x+v6-11)二次型調節(jié)器性能指標為J=!+uJ=!+utRu)dt6-12)式中1006-13)Q=010，R=16-13)001輸入噪聲與量測噪聲的有關參數(shù)分別為Q=1，R=1。要求：利用GUI工具箱設計00一個界面實現(xiàn)如下功能：?I?I.I.Irrrr試由系統(tǒng)狀態(tài)方程求其傳遞函數(shù)；對原系統(tǒng)階躍給定輸入的仿真；試設計LQG控制器，對LQG最優(yōu)控制的系統(tǒng)進行階躍給定輸入的仿真。解：第一步：啟動GUI工具箱以后，布置如6.1圖所示的界面：圖6.1線性二次型Guass最優(yōu)控制GUI界面上述界面包含一個坐標軸控件、一個靜態(tài)文本框控件、一個可編輯文本框、一個按鈕組控件、三個按鈕控件、一個列表框控件。第二步：對各控件進行屬性設置，設置完成后得到如6.2圖界面。圖6.2Guoss最優(yōu)控制基本界面第三步:界面的激活與回調函數(shù)的設計（見附錄）。其中激活界面如6.3圖圖6.3Guoss最優(yōu)控制激活GUI界面第四步:運行。（1）在輸入框中輸入以知矩陣，點擊界面按鈕“傳遞函數(shù)”后顯示如6.4圖界面：圖6.4Guoss最優(yōu)控制運行界面由于GUI運行結果只能以數(shù)據(jù)形式輸出，在列表框中顯示的兩行數(shù)據(jù)分別是傳遞函數(shù)的分子分母，因此該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為9.8s2-8.428s+61.74G（s）=—s3+0.06s2-0.0132s+0.098（2）利用上一小題求得的傳遞函數(shù)繪制系統(tǒng)的階躍響應，在編輯框中輸入傳遞函數(shù)參數(shù)，點擊“原階躍響應”按鈕，程序運行后在坐標軸上繪出系統(tǒng)的階躍響應曲線。（3）由系統(tǒng)的階躍響應曲線圖6.5可以看到原系統(tǒng)的階躍響應為發(fā)散振蕩，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，因此用以下MATLAB程序設計LQG控制器并對其系統(tǒng)進行階躍給定輸入的仿真：.I.Irrrrrrclear;A二[-0.040-0.01;100;-1.49.8-0.02];B=[6.3;0;9.8];C二[001];D=[0];s1=ss(A,B,C,D);G=[1;0;0];Q=[100;010;001];R=1;Q0=1;R0=1;K=lqr(A,B,Q,R);L=lqe(A,G,C,Q0,R0);[af,bf,cf,df]=reg(A,B,C,D,K,L);sf=ss(af,bf,cf,df);sys=feedback(s1,sf);t=0:0.01:10;step(sys,t)■輸;v系統(tǒng)參數(shù)09.8-S42861.7斗10.06-0.01320.098Guass控制的性能指標■I專遞函數(shù)原階旣響應|0Guass控制的性能指標■I專遞函數(shù)原階旣響應|03.8-8.4286174A■10.06-0.013