四川省南充市嘉陵第一中學(xué)2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期第三次月考（6月）數(shù)學(xué)試題

嘉陵一中高2022級2023年春第三次月考數(shù)學(xué)試卷（試卷總分：150分，考試時(shí)間：150分鐘）一、單選題（每小題5分，共40分）1.已知，是虛數(shù)單位，若與互為共軛復(fù)數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由共軛復(fù)數(shù)的概念求解即可.【詳解】∵與互為共軛復(fù)數(shù)，∴.故選：D.2.已知向量，，若，則（）A. B. C. D.6【答案】A【解析】【分析】直接利用向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算公式列方程得答案.【詳解】，，，，解得.故選：A.3.（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式和正弦的和角公式，對原式進(jìn)行化簡，可得結(jié)果.【詳解】.故選：B4.已知樣本數(shù)據(jù)，，…，的平均數(shù)和方差分別為3和56，若，則，，…，的平均數(shù)和方差分別是（）A.12，115 B.12，224 C.9，115 D.9，224【答案】D【解析】【分析】根據(jù)平均數(shù)和方差的性質(zhì)求解：若數(shù)據(jù)，，…，的平均數(shù)和方差分別為和，則數(shù)據(jù)，，…，的平均數(shù)和方差分別為和.【詳解】若數(shù)據(jù)，，…，的平均數(shù)和方差分別為和，則數(shù)據(jù)，，…，的平均數(shù)和方差分別為和.題中，樣本數(shù)據(jù)，，…，的平均數(shù)和方差分別為3和56，，則，，…，的平均數(shù)為，方差為.故選：D.5.若滿足，則的形狀是（）A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形【答案】A【解析】【分析】由余弦定理化為邊求解即可.【詳解】由余弦定理可得，所以，故，即，所以三角形為等腰三角形.故選：A6.若角是銳角三角形的兩個(gè)內(nèi)角，則“”是“”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】由角是銳角三角形的兩個(gè)內(nèi)角可知，且均為銳角，再利用誘導(dǎo)公式及充分必要條件的定義求解即可.【詳解】因?yàn)榻鞘卿J角三角形的兩個(gè)內(nèi)角，所以，所以，且均為銳角，所以，即，，即，所以“”是“”的充分必要條件，故選：C7.“近水亭臺草木欣，朱樓百尺回波濆”，位于濟(jì)南大明湖畔的超然樓始建于元代，歷代因戰(zhàn)火及災(zāi)澇等原因，屢毀屢建．今天我們所看到的超然樓為2008年重建而成，共有七層，站在樓上觀光，可俯視整個(gè)大明湖的風(fēng)景．如圖，為測量超然樓的高度，小劉取了從西到東相距104（單位：米）的A，B兩個(gè)觀測點(diǎn)，在A點(diǎn)測得超然樓在北偏東的點(diǎn)D處（A，B，D在同一水平面上），在B點(diǎn)測得超然樓在北偏西，樓頂C的仰角為，則超然樓的高度（單位：米）為（）A.26 B. C.52 D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意結(jié)合直角三角形分析運(yùn)算即可.【詳解】由題意可得：（米），在中，可得，則（米），在Rt中，可得為等腰直角三角形，即（米）.故選：C.8.已知點(diǎn)D、G為所在平面內(nèi)點(diǎn)，，，記分別為、的面積，那么（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】化簡得到，，確定為靠近的四等分點(diǎn)，計(jì)算得到答案.【詳解】，故，即，故，即，故三點(diǎn)共線，且為靠近的四等分點(diǎn)，設(shè)為中點(diǎn)，則，，故.故選：A二、多選題（每題5分，共20分，全對得5分，部分選對得2分，多選或錯(cuò)選得0分）9.已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.的值域是R B.在定義域內(nèi)是增函數(shù)C.的最小正周期是 D.的解集是【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)正切函數(shù)的性質(zhì)，即可判斷A項(xiàng)；求出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，即可判斷B項(xiàng)；由周期公式，求出周期，即可判斷C項(xiàng)；由時(shí)，由的解，即可得出，求解不等式即可得出解集，判斷D項(xiàng).【詳解】對于A項(xiàng)，根據(jù)正切函數(shù)的性質(zhì)，可知的值域是R，故A項(xiàng)正確；對于B項(xiàng)，由可得，，所以的定義域?yàn)?由可得，，所以在每一個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞增，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；對于C項(xiàng)，由已知可得，的最小正周期是，故C項(xiàng)正確；對于D項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，由，可得.則由可得，，所以的解集是，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AC.10.在鈍角中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若，，那么c的值可能為（）A.1 B. C.2 D.4【答案】BCD【解析】【分析】考慮為鈍角或?yàn)殁g角兩種情況，根據(jù)余弦定理得到或，得到答案.【詳解】若為鈍角，則，且，即，BC滿足；若為鈍角，則，且，即，D滿足；故選：BCD11.設(shè)，為復(fù)數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是（

）A.若，則 B.若，則的最大值為C. D.【答案】ACD【解析】【分析】設(shè)，,根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算及復(fù)數(shù)的概念判斷A；根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義判斷B；根據(jù)復(fù)數(shù)共軛復(fù)數(shù)的特征，以及復(fù)數(shù)模的公式判斷C；根據(jù)復(fù)數(shù)的向量表示及向量的不等式，即可判斷D.【詳解】對于A：設(shè)，，、不同時(shí)為零，則，因?yàn)?，所以，則，所以，故A正確；對于B，設(shè)，，由，則，即，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)表示以為圓心，為半徑的圓，則表示圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，所以，故B錯(cuò)誤；對于C：設(shè)，,,,所以，故C正確；對于D：由確定向量，確定向量，結(jié)合向量不等式可得，即恒成立，所以D正確．故選：ACD12.主動降噪耳機(jī)工作的原理是：先通過微型麥克風(fēng)采集周圍的噪聲，然后降噪芯片生成與噪聲振幅相同、相位相反的聲波來抵消噪聲，設(shè)噪聲聲波曲線函數(shù)為，降噪聲波曲線函數(shù)為，已知某噪聲的聲波曲線函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列說法正確的是（）A.B.C.曲線的對稱軸為，D.將圖象向左平移個(gè)單位后得到的圖象【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)題意得到A正確，根據(jù)周期得到，根據(jù)得到，根據(jù)得到，B正確，計(jì)算對稱軸得到C正確，根據(jù)平移法則得到D錯(cuò)誤，得到答案.【詳解】對選項(xiàng)A：，正確；對選項(xiàng)B：，故，，且在的單調(diào)遞減區(qū)間上，，則，，故，又，故，，正確；對選項(xiàng)C：，由，解得，，正確；對選項(xiàng)D：圖象向左平移個(gè)單位得到：，錯(cuò)誤.故選：ABC三、填空題（每題5分，共20分）13.已知角α的終邊過點(diǎn)，則__________.【答案】2【解析】【分析】方法1：由角終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)得其正切值，再處理齊次式代入可得結(jié)果.方法2：由角終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)得其正弦值、余弦值代入計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】方法1：由題意知，，∴，方法2：由題意知，，，∴，故答案為：2.14.已知向量，則向量在向量的方向上的投影向量為__________.（結(jié)果用坐標(biāo)表示）【答案】【解析】【分析】先計(jì)算兩個(gè)向量的夾角的余弦值，再根據(jù)投影向量定義計(jì)算向量在向量上的投影向量.【詳解】因?yàn)椋瑒t，所以向量在向量上的投影向量為.故答案為：.15.關(guān)于的方程的一個(gè)根是，則___________.【答案】【解析】【分析】將代入到方程中，可得到相應(yīng)的方程組，解得m,n的值，可得答案.【詳解】因?yàn)殛P(guān)于的方程的一個(gè)根是，故，即，則，，解得，故，故答案為：16.已知正六邊形的邊長為4，P為正六邊形所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則的最小值為____________．【答案】【解析】【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，求得相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，求得的坐標(biāo)，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示求得的表達(dá)式，配方后即可求得答案.【詳解】如圖，以正六邊形的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為x軸，過點(diǎn)O作的垂線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則,設(shè)點(diǎn)，則,故，故當(dāng)，即P點(diǎn)坐標(biāo)為時(shí)，取到最小值為，故答案為：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：建立恰當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算，求得的表達(dá)式即可求解最值.四、解答題（17題10分，其余每題12分，共70分）17.已知復(fù)數(shù)，其中.（1）若為實(shí)數(shù)，求的值；（2）若為純虛數(shù)，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由題意得，求解即可；（2）先由題意求得，再根據(jù)復(fù)數(shù)的除法法則化簡復(fù)數(shù)，由此可求得答案.【小問1詳解】若z為實(shí)數(shù)，則，解得．【小問2詳解】若純虛數(shù)，則，解得，∴，故，18.已知向量，，.（1）求；（2）若，求實(shí)數(shù)的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算可求得向量的坐標(biāo)；（2）求出向量、的坐標(biāo)，利用平面向量共線的坐標(biāo)表示可求得實(shí)數(shù)的值.【小問1詳解】解：因?yàn)?，?所以，.【小問2詳解】解：由已知可得，，因?yàn)?，則，解得.19.我國是世界上嚴(yán)重缺水的國家之一，為提倡節(jié)約用水，我市為了制定合理的節(jié)水方案，對家庭用水情況進(jìn)行了調(diào)查，通過抽樣，獲得了2021年100個(gè)家庭的月均用水量（單位：t），將數(shù)據(jù)按照[0，2），[2，4），[4，6），[6，8），[8，10]分成5組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求全市家庭月均用水量不低于6t的頻率；（2）假設(shè)同組中的每個(gè)數(shù)據(jù)都用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替，求全市家庭月均用水量平均數(shù)的估計(jì)值；（3）求全市家庭月均用水量的75%分位數(shù)的估計(jì)值（精確到）.【答案】（1）（2）（t）（3）656【解析】【分析】（1）直接由頻率分布直方圖計(jì)算；（2）用每組區(qū)間中點(diǎn)值乘以相應(yīng)的頻率再相加可得均值；（3）由頻率分布直方圖分別求出前3組和前4組的頻率，得出75%分位數(shù)在第4組，求出頻率對應(yīng)的值即可得．【小問1詳解】全市家庭月均用水量不低于6t的頻率為.【小問2詳解】全市家庭月均用水量平均數(shù)的估計(jì)值為（t）；【小問3詳解】因?yàn)?，，所以全市家庭月均用水量?5％分位數(shù)為.20.在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，.（1）求角A的大小；（2）若，的面積為，求的周長.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先將條件整理，然后利用正弦定理角化邊，最后利用余弦定理求解；（2）先根據(jù)的面積得到的值，再結(jié)合（1）中得到的關(guān)系可得的值，則周長可求.【小問1詳解】，，，由正弦定理角化邊得，，又，；【小問2詳解】由已知得，，又，，，，的周長為.21.已知向量，，設(shè)函數(shù)（1）求函數(shù)的最小正周期及單調(diào)增區(qū)間；（2）已知a、b、c分別為三角形ABC的內(nèi)角對應(yīng)的三邊長，A為銳角，，，且恰是函數(shù)在上的最大值，求三角形ABC的面積．【答案】（1）（2）答案見解析【解析】【分析】（1）利用數(shù)量積公式，和三角恒等變換求函數(shù)的解析式，再根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求解周期和單調(diào)性；（2）首先根據(jù)函數(shù)的最值求角，再結(jié)合余弦定理求邊，最后根據(jù)三角形的面積公式，即可求解.【小問1詳解】題意可得.∴函數(shù)的最小正周期；由，得，∴的單調(diào)遞增區(qū)間為,【小問2詳解】由（1）知，又恰是函數(shù)在上的最大值，為銳角，可得，由余弦定理可得，解得：或當(dāng)時(shí)，三角形的面積，當(dāng)時(shí)，三角形的面積.22.已知函數(shù)，稱向量為的特征向量，為的特征函數(shù).（1）設(shè)，求的特征向量；（2）設(shè)向量的特征函數(shù)為，求當(dāng)且時(shí)，的值；（3）設(shè)向量的特征函數(shù)為，記，若在區(qū)間上至少有40個(gè)零點(diǎn)，求的最小值.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)誘導(dǎo)公式化簡，再根據(jù)函數(shù)的特征向量的定義即可得解；（2）根據(jù)向量的特征函數(shù)求出函數(shù)解析式，化簡可得，再根據(jù)結(jié)合兩角差的正弦公式即可得解；（3）根據(jù)三角恒等變換求