2009天津大學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題

2009年天津市大學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題(理工類)TOC\o"1-5"\h\z一、 填空：(本題15分，每空3分。請(qǐng)將最終結(jié)果填在相應(yīng)的橫線上面。 )1lim\^+- ??…‘1+叮:= 。Tl門八門丿＜n丿」——設(shè)f(x)=x4x，則使f(n\0存在的最大n= ?！鉩osx一1cos2xdx= 。設(shè)7=乜5,-2},b={2,1,4},若奈+b與OZ軸垂直，則入= 。22設(shè)L為正向圓周x+y=2在第一象限中的部分，則 (xdy—2ydx= 。二、 選擇題：(本題15分，每小題3分。每個(gè)小題的四個(gè)選項(xiàng)中僅有一個(gè)是正確的，把你認(rèn)為“正確選項(xiàng)”前的字母填在括號(hào)內(nèi)。選對(duì)得分；選錯(cuò)、不選或選出的答案多于一個(gè)，不得分。 )函數(shù)f(x)= 的第一類間斷點(diǎn)的個(gè)數(shù)為( )。In1—x(A)0； (B)1； (C)2； (D)3。設(shè)fx與gx具有任意階導(dǎo)數(shù)，且f”X?「XgX?xfXi=ex-1,f0]=1,「0[=0,則()。(A)f0為函數(shù)fx的極小值； (B)f0為函數(shù)fx的極大值；(6點(diǎn)(0,1)為曲線y二fx的拐點(diǎn)； (D)極值與拐點(diǎn)由gx確定。3.設(shè)函數(shù)fx=uxvx,gx=ux-vx，又limux與limvx都不存在，則下列結(jié)論正^x0TOC\o"1-5"\h\z確的是( )。(A)若lim f x 不、存在，貝Ulimg(x)必不存在；(B)若lim f(x)不存在，貝Ulimg(x)必存在；XTX0 XTX0 1勺 x—^(C)若lim f x存在，則limgx必存在； (D)若lim fx存在，則limgx必不存在。X—5X0 X—^0 1X04.設(shè)Fx,y具有2階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，F(xiàn) X0,y。=0,Fx x?！?。=0, Fy x。』。 0。若y二yx是由方程Fx,y=0所確定的在點(diǎn) x0,y0附近的隱函數(shù)，貝U x0是y二yx的極小值點(diǎn)的一個(gè)充分條件為()(A)(A)FxxX0,y° 0；(B)FxxX0,y0<0；(C)FyyX0,y° .0;(D)FyyX(C)FyyX0,y° .0;(D)FyyXo，yo:：:0。225.設(shè)L為折線x+|x+y|=1的正向一周，貝Ur[xydx—coSx+ydy=( )。（A）—2sin2;三、設(shè)函數(shù)(B)—1;(C)0;(D)1。⑴a為何值時(shí),⑵a為何值時(shí),3In(1+ax)x—arcsinxf(x)=*6,ax2ex-ax-1x=0點(diǎn)處連續(xù);x：：：0.x

xsin4fx的可去間斷點(diǎn)。（本題7分）解:四、設(shè)f（x）=nx（1-xf（n為正整數(shù)），⑴求fx在閉區(qū)間［0,1］上的最大值M（n）；⑵求limMn。（本題7分）n 2五、計(jì)算I=4n——dx。(本題6分)二1e解：六、設(shè)對(duì)任意x，都有f(x|)蘭F(x卜且F(x)在x=0點(diǎn)處連續(xù)，F(xiàn)(0)=0，證明：f(x)在x=0點(diǎn)處也連續(xù)。(本題6分)證明：七、設(shè)f(x,y)=max{x,y},D=《x,y卩蘭x蘭1,0蘭y<1，計(jì)算I=JJf(x,y)y—x2dxdy。(本題D7分)解：222八、在橢球面J兀三=1上求一切平面，它在坐標(biāo)軸的正半軸截取相等的線段。 (本題7分)abcA九、設(shè)ft為連續(xù)函數(shù)，求證11fx-ydxdyftA|tdt，其中DD=f(x,y|xD=f(x,y|x誇，yEA,A為正常數(shù)（本題7分）證明：b十、設(shè)函數(shù)fx在閉區(qū)間［a,b］上具有二階導(dǎo)數(shù)，且 fa::：0,fb::：0,.afXdx=0。證明：存在一點(diǎn)E€（a,b）使得f」：：：0。（本題7分）證明：卜一、設(shè)二元函數(shù) ux,y卜一、設(shè)二元函數(shù) ux,y具有二階偏導(dǎo)數(shù)，且ux,y=0，證明ux,y=fxgy的充要條件為:-2uu.xy:u ：