(完整版)大學(xué)物理力矩與角動量

普通物理第四章角動量及其守恒定律（2課時）課前討論設(shè)地球繞地軸做勻角速轉(zhuǎn)動，地球表面的物體相對地面都靜止不動，則：對于地球表面的物體(視為質(zhì)點)，有哪些物理量是守恒的？將地球與地球表面的物體視為質(zhì)點系，哪些物理量是守恒的？地球沿橢圓軌道繞太陽做周期性轉(zhuǎn)動，在這個過程中有哪些物理量是守恒的？角動量是描述轉(zhuǎn)動問題的最重要的物理量之一，是解決天體問題的最重要的物理規(guī)律。角動量的概念在物理學(xué)的發(fā)展中經(jīng)歷了有趣的演變過程。18世紀(jì)在力學(xué)中才定義和開始利用它，直到19世紀(jì)人們才把它看成力學(xué)中的最基本的概念之一，到20世紀(jì)它加入了動量和能量的行列，成為力學(xué)中最重要的概念之一。角動量之所以能有這樣的地位，是由于它也服從守恒定律，在近代物理學(xué)中應(yīng)用極為廣泛。本講教學(xué)基本要求掌握力矩的基本概念，能夠熟練計算力矩及力矩的功。掌握角動量的基本概念及計算方法。掌握角動量定理及其守恒定律，能夠應(yīng)用它們解決典型的相關(guān)物理問題。了解有心力場的基本特征。本講主要問題力矩的功質(zhì)點對參考點的角動量定理及其守恒律質(zhì)點對轉(zhuǎn)軸的角動量定理及其守恒律質(zhì)點系對參考點的角動量定理及其守恒律質(zhì)點系對轉(zhuǎn)軸的角動量定理及其守恒律質(zhì)心系中的角動量一、力矩（momentofforce）力對參考點的力矩定義：作用于質(zhì)點P

的力對參考點O

的力矩等于力的作用點位矢與力的叉積，即：大小方向 成右手螺旋關(guān)系。說明力矩是對參考點而言的，討論力矩問題必須指明參考點的位置。力矩使物體繞參考點的

轉(zhuǎn)動狀態(tài)發(fā)生變化，即

力矩是物體轉(zhuǎn)動狀態(tài)發(fā)

生變化的原因。若力的作用線通過參考

點，則其對參考點的力

矩為零。力對軸的力矩

將力對參考點的力矩在直角坐標(biāo)

系中投影，注意直角坐標(biāo)系的三

個坐標(biāo)軸需滿足右手螺旋關(guān)系。

上述結(jié)果可以使用行列式的形式表示 力對軸的力矩等于力對參考點O

的力矩在坐標(biāo)軸上的分量。

實際生活中，有很多器具都應(yīng)

用到杠桿原理，例如桿秤、天

平、轆轆、螺絲刀、扳手……

右圖中，z軸向里，則

說明力對軸的力矩同樣是矢量，可以根據(jù)力矩的定義進(jìn)行計算，但使用標(biāo)量形式更簡潔。投影時，注意每個分量的方向，以坐標(biāo)軸方向為參照，對于未知方向的量，一律設(shè)為正。如未建立坐標(biāo)系，依據(jù)

力矩使質(zhì)點轉(zhuǎn)動的方向

確定正負(fù)，通常取逆時

針為正，反之為負(fù)。合力矩

多個外力同時作用在物體上，若作用的總效果與某個力矩相當(dāng)，則這個力矩叫做這多個力的合力矩。

質(zhì)元受多個力作用時，下面的計算合力矩的方法哪一種正確？先求合力，再求合力的力矩；計算各力的力矩，再求這些

力矩的矢量和；

合力矩與合力的力矩不同，

不要混淆。力矩的功 用力使桿繞過O

點且垂直于桿的軸轉(zhuǎn)動，則其所做的功為 對于任一宏觀過程，所做的總

功可表示為 特別地，如果桿在恒定力矩作用下轉(zhuǎn)動，則二、質(zhì)點對參考點的角動量定理及守恒律質(zhì)點對參考點的角動量定理

設(shè)質(zhì)點P

質(zhì)量為m

，受力為

，運(yùn)動速度為

根據(jù)動量定理有 兩側(cè)以位矢左叉乘得定義質(zhì)點對參考點O

的角動量（動量矩） 描述物體轉(zhuǎn)動狀態(tài)的物理量（轉(zhuǎn)動的量的量度）質(zhì)點對參考點的角動量定理

積分形式：

質(zhì)點對參考點的角動量的增量等于作用于質(zhì)點的力對同一參考點的角沖量(angularimpulse)。物理意義：作用于質(zhì)點的所有力對參考點的合力矩等于該質(zhì)點對同一參考點的角動量對時間的變化率。質(zhì)點對參考點的角動量守恒定律

物理意義：在某過程中，若質(zhì)點所受的對某一固定參考點的合力矩恒為零，則質(zhì)點對該參考點的角動量守恒。在中心力場中(如太陽系)，質(zhì)點所受到的力與其位置矢量共線，這時，力對力心的力矩總為零。因此，質(zhì)點在此力場中運(yùn)動時，它對力心的角動量守恒。這也是為什么行星受到太陽的吸引，但行星不會落到太陽中去的原因。例1：證明開普勒第二定律，即行星與太陽的連線在相同時間內(nèi)掃過相等的面積（掠面速度或面積速度相等）。

證：行星受有心力作用繞太陽轉(zhuǎn)動，對力心角動量守恒即位矢在相等的時間內(nèi)掃過相等的面積。例2：一質(zhì)點沿直線運(yùn)動，在直線外任取一點O

做參考點，對該參考點而言：若質(zhì)點做變速運(yùn)動，其位矢的掠面速度是否相同？若質(zhì)點做勻速運(yùn)動，其位矢的掠面速度是否相同？

解：質(zhì)點運(yùn)動過程中對參考點O

的

角動量的大小為對于變速直線運(yùn)動：角動量不守恒，面積速度不相同。對于勻速直線運(yùn)動，角動量守恒，面積速度相同。質(zhì)點的運(yùn)動外部作用三、質(zhì)點對軸的角動量定理和守恒律質(zhì)點對軸的角動量定理

通常，將轉(zhuǎn)軸方向做為坐標(biāo)

系的z

軸質(zhì)點對軸的角動量守恒定律

若質(zhì)點所受力對軸的合力矩為0，則質(zhì)點對該軸的角動量守恒

對于作圓周運(yùn)動的質(zhì)點

顯然：對于勻速圓周運(yùn)動四、質(zhì)點系的角動量定理和守恒定律質(zhì)點系對參考點的角動量定理 對于由n

個質(zhì)點組成的質(zhì)點系，考察第i個質(zhì)點與第j個質(zhì)點的相互作用力產(chǎn)生的對參考點O

點的力矩

因此，質(zhì)點組內(nèi)所有內(nèi)力產(chǎn)生的力

矩的矢量和為 即：質(zhì)點組內(nèi)力矩的矢量和恒為零，只需考慮外力矩。對質(zhì)點系的所有質(zhì)點應(yīng)用角動量定理并取和

物理意義：質(zhì)點系對參考點的角動量隨時間的變化率等于作用于質(zhì)點系的所有外力對該參考點的合力矩。對上式積分，可得質(zhì)點系角動量定理的積分形式

質(zhì)點系的角動量定理指出：只有外力矩對質(zhì)點系的角動量變化有貢獻(xiàn)。內(nèi)力矩對質(zhì)點系的角動量變化無貢獻(xiàn)，但對質(zhì)點系內(nèi)角動量的分配有影響。質(zhì)點系對參考點的角動量守恒定律

當(dāng)質(zhì)點系所受外力對參考點的合力矩為零時，質(zhì)點系對參考點的角動量守恒，即質(zhì)點系對轉(zhuǎn)軸的角動量定理和守恒定律

將質(zhì)點系的角動量定理正交分解可以得到相應(yīng)的軸向分量，質(zhì)點系對軸的角動量定理形式為說明：由于角動量定理的推導(dǎo)過程中應(yīng)用了牛頓運(yùn)動定律，所以角動量定理及其守恒律只在慣性系中才成立。問題討論合外力矩等于零時，合外力亦為

零，對嗎？錯！如圖：對質(zhì)心的合外力矩為

零，但系統(tǒng)合外力不為零。合外力為零時，合外力矩必為零，

對嗎？錯！如圖：對于質(zhì)心的合外力矩

不為零，但系統(tǒng)合外力為零。問題討論當(dāng)合外力為零時合外力矩與參考點無關(guān)，對嗎？

如圖，對于兩個力合力為零的情況，設(shè)桿長為L

，則，合對質(zhì)心（也可以選其它參考點）的合外力矩為

顯然，合外力矩與參考點無關(guān)，只與

兩個力的垂直距離有關(guān)。對于多個外

力合力為零的情況，總可以簡化成兩

個力合力為零的形式，故命題正確。例3：不可伸長的輕繩繞過一輕定滑輪，右側(cè)吊著質(zhì)量為

的托盤，盤內(nèi)放置被綁緊的質(zhì)量為

的彈簧，滑輪另一側(cè)系一重物使兩側(cè)平衡，系統(tǒng)保持靜止，設(shè)被綁緊的彈簧在細(xì)線斷開時在桌面上彈起的豎直高度為h

，那么在托盤上細(xì)線斷開時彈簧彈起的豎直高度是多少？

解：以地球為參照系，滑輪中心為參考

點建立直角坐標(biāo)系。將托盤、滑輪、重

物、繩、彈簧視為物體系，系統(tǒng)對z

軸

的合力矩為零，即對z

軸的角動量守恒。

設(shè)v

為彈簧上細(xì)線斷開彈起時彈簧離開

托盤的速度，V

為同一時刻托盤向下運(yùn)

動的速度，滑輪半徑為R

。

依角動量守恒定律得 在桌面上，細(xì)線斷開時彈簧豎直彈起，此過程僅保守力做功，系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，故綁住的彈簧的彈性勢能為 在托盤上，細(xì)線斷開時彈簧豎直彈起，

此過程只有保守力做功，系統(tǒng)的機(jī)械

能守恒，綁住的彈簧的彈性勢能全部

轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)動能

由以上三式可解出彈簧離開托盤的速度為 將彈簧視為質(zhì)點，其在豎直方向做勻

加速運(yùn)動，設(shè)上升高度為H

，則 本題亦可用動量守恒來求解。*五、質(zhì)心系的角動量定理當(dāng)在質(zhì)心系中考慮質(zhì)點系相對質(zhì)心的角動量隨時間的變化時，如果質(zhì)心系是慣性系，角動量定理當(dāng)然適用。如果質(zhì)心系是非慣性系，只要加上慣性力，牛頓定律仍然成立。因此只要加上慣性力的力矩，角動量守恒定理也仍然成立。對于質(zhì)心參考點 ：質(zhì)心系中質(zhì)點系對質(zhì)心的角動量 ：質(zhì)點系所受外力對質(zhì)心的合力矩 ：質(zhì)點系所有質(zhì)點所受慣性力對質(zhì)心的合力矩由于質(zhì)心系是平動系，作用在各質(zhì)點上的慣性力與質(zhì)量成正比，方向與質(zhì)心加速度相反，所以質(zhì)點系所有質(zhì)點所受慣性力對質(zhì)心的合力矩為可見：不論質(zhì)心系是慣性系還是非慣性系，在質(zhì)心系中，角動量定理都適用。這是質(zhì)心系的獨特優(yōu)越性。說明在研究行星問題時，當(dāng)行星的質(zhì)量與太陽質(zhì)量相比不能忽略，或者求解問題要求高精度時，都應(yīng)考慮太陽的運(yùn)動，在這種情況下用質(zhì)心系就能顯示其優(yōu)點了。雖然在質(zhì)心系中角動量定理仍然適用，但質(zhì)點系在質(zhì)心系中相對質(zhì)心的角動量與質(zhì)點系在慣性系中相對參考點（通常是原點）的角動量并不相同。因為即使在慣性系中相對不同參考點的角動量都不相同，何況質(zhì)心往往還是一個運(yùn)動的參考點。在O-xyz參照系中，根據(jù)定義，質(zhì)點系對參考點O

的角動量為：

質(zhì)點系的角動量等于質(zhì)心相對參考點的角動量與質(zhì)點系相對于質(zhì)心的角動量之和。課后討論若系統(tǒng)相對某參考點的合外力矩為零，則系統(tǒng)對該點的角動量守恒，如果更換參考點，則系統(tǒng)對參考點的角動量還守恒嗎？為什么？若系統(tǒng)相對某參考點的合外力矩為零，則該系統(tǒng)所受合外力可以用過參考點的一個力來等效，若更換參考點，則此等效力的作用線不一定通過參考點，因此力矩不一定為零，所以系統(tǒng)對參考點的角動量不一定守恒。觀察表明，許多星系呈圓盤形(包括銀河系)，試應(yīng)用角動量的概念做出解釋。銀核核球，厚1.3萬光年銀盤，厚約3000光年銀道面太陽銀河系側(cè)視圖銀暈10萬光年按宇宙起源的大爆炸理論，因大爆炸之后的膨脹，銀河系最初可能為球形，由于與其它星系的相互作用而具有一定的角動量。該角動量使球形的銀河系不會在引力作用下凝聚（坍縮）成一團(tuán)，而只能形成具有一定半徑的圓盤形結(jié)構(gòu)。因為在凝聚過程中，角動量守恒要求轉(zhuǎn)速隨半徑r

的減小而增大

因而使離心力增大

它比引力增大(引力∝r-2)得更快，最終引力會和離心力相互平衡，即角動量守恒限制星系在垂直于轉(zhuǎn)軸方向的坍縮。

角動量守恒并不妨礙星系沿轉(zhuǎn)軸方向的坍縮，因在這種坍縮中角動量守恒不要求增加轉(zhuǎn)速。故星系最終坍縮成圓盤狀，在沿軸向坍縮過程中減少的引力勢能將以輻射的形式釋放掉。課后作業(yè)：P90頁習(xí)題4-3：如果忽略空氣影響，火箭自地面發(fā)射后在空間做拋物線運(yùn)動，設(shè)其質(zhì)量為m，以與水平方向夾角發(fā)射，速度為v1，到達(dá)最高點h

時速度為v2，假設(shè)地球是半徑為R

的圓球，求火箭在離開發(fā)射點的瞬時相對地心的角動量；火箭在最高點時相對地心的角動量；4-7：一質(zhì)量為m

的小球在o-xy

平面上運(yùn)動，其位置矢量隨時間變化的規(guī)律為