高中數(shù)學(xué)（人教版選修1-1）配套課件：第3章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用3.3.2

函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)第三章§3.3導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用1.了解函數(shù)極值的概念，會從幾何方面直觀理解函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，并會靈活應(yīng)用.2.掌握函數(shù)極值的判定及求法.3.掌握函數(shù)在某一點(diǎn)取得極值的條件.學(xué)習(xí)目標(biāo)欄目索引知識梳理自主學(xué)習(xí)題型探究重點(diǎn)突破當(dāng)堂檢測自查自糾知識梳理自主學(xué)習(xí)知識點(diǎn)一極值點(diǎn)與極值的概念(1)極小值點(diǎn)與極小值如圖，函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x＝a的函數(shù)值f(a)比它在點(diǎn)x＝a附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都小，f′(a)＝0；而且在點(diǎn)x＝a附近的左側(cè)

，右側(cè)

，則把點(diǎn)a叫做函數(shù)y＝f(x)的極小值點(diǎn)，f(a)叫做函數(shù)y＝f(x)的極小值.(2)極大值點(diǎn)與極大值如(1)中圖，函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x＝b的函數(shù)值f(b)比它在點(diǎn)x＝b附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都大，f′(b)＝0；而且在點(diǎn)x＝b的左側(cè)

，右側(cè)

，則把點(diǎn)b叫做函數(shù)y＝f(x)的極大值點(diǎn)，f(b)叫做函數(shù)y＝f(x)的極大值.

、

統(tǒng)稱為極值點(diǎn)，

和

統(tǒng)稱為極值.答案f′(x)＜0f′(x)＞0f′(x)＞0f′(x)＜0極大值點(diǎn)極小值點(diǎn)極大值極小值思考極大值一定大于極小值嗎？答案不一定.答案知識點(diǎn)二求函數(shù)y＝f(x)的極值的方法解方程f′(x)＝0，當(dāng)f′(x0)＝0時：(1)如果在x0附近的左側(cè)f′(x)＞0，右側(cè)f′(x)＜0，那么f(x0)是

.(2)如果在x0附近的左側(cè)f′(x)＜0，右側(cè)f′(x)＞0，那么f(x0)是

.極大值極小值答案返回

題型探究重點(diǎn)突破解析答案題型一求函數(shù)的極值反思與感悟解函數(shù)的定義域?yàn)镽.當(dāng)x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：x(－∞，－1)－1(－1,1)1(1，＋∞)f′(x)－0＋0－f(x)↘－3↗－1↘由上表可以看出：當(dāng)x＝－1時，函數(shù)有極小值，且極小值為f(－1)＝－3；當(dāng)x＝1時，函數(shù)有極大值，且極大值為f(1)＝－1.令f′(x)＝0，得x＝－1，或x＝1.反思與感悟反思與感悟求可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值的步驟：(1)確定函數(shù)的定義域，求導(dǎo)數(shù)f′(x)；(2)求方程f′(x)＝0的根；(3)用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)，順次將函數(shù)的定義域分成若干個小開區(qū)間，并列成表格.檢測f′(x)在方程根左右兩側(cè)的值的符號，如果左正右負(fù)，那么f(x)在這個根處取得極大值；如果左負(fù)右正，那么f(x)在這個根處取得極小值；如果左右不改變符號，那么f(x)在這個根處無極值.解析答案令f′(x)＝0，得x＝1.當(dāng)x變化時，f′(x)與f(x)的變化情況如下表：x(0,1)1(1，＋∞)f′(x)－0＋f(x)↘3

↗因此當(dāng)x＝1時，f(x)有極小值f(1)＝3.解析答案題型二利用函數(shù)極值確定參數(shù)的值例2

已知函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1處取得極值，且f(1)＝－1.(1)求常數(shù)a，b，c的值；解f′(x)＝3ax2＋2bx＋c.∵x＝±1是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)，∴x＝±1是方程f′(x)＝3ax2＋2bx＋c＝0的兩根，又f(1)＝－1，∴a＋b＋c＝－1.

③解析答案(2)判斷x＝±1是函數(shù)的極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn)，試說明理由，并求出極值.當(dāng)x<－1或x>1時，f′(x)>0，當(dāng)－1<x<1時，f′(x)<0，∴函數(shù)f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函數(shù)，在(－1,1)上是減函數(shù)，∴當(dāng)x＝－1時，函數(shù)取得極大值f(－1)＝1，當(dāng)x＝1時，函數(shù)取得極小值f(1)＝－1.反思與感悟反思與感悟(1)利用函數(shù)的極值確定參數(shù)的值，常根據(jù)極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為0和極值兩個條件列方程組，利用待定系數(shù)法求解.(2)因?yàn)椤皩?dǎo)數(shù)值等于零”不是“此點(diǎn)為極值點(diǎn)”的充要條件，所以利用待定系數(shù)法求解后，必須驗(yàn)證根的合理性.解析答案跟蹤訓(xùn)練2

已知函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋cx在x＝x0處取得極大值5，其導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(1,0)，(2,0)，如圖所示，求：(1)x0的值；解由圖象可知，在(－∞，1)上f′(x)＞0，在(1,2)上f′(x)＜0，在(2，＋∞)上f′(x)＞0.故f(x)在(－∞，1)，(2，＋∞)上單調(diào)遞增，在(1,2)上單調(diào)遞減，因此f(x)在x＝1處取得極大值，所以x0＝1.解析答案(2)a，b，c的值.解f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，由f′(1)＝0，f′(2)＝0，f(1)＝5，解得a＝2，b＝－9，c＝12.解析答案題型三函數(shù)極值的綜合應(yīng)用例3

設(shè)函數(shù)f(x)＝x3－6x＋5，x∈R.(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；解f′(x)＝3x2－6，令f′(x)＝0，解析答案(2)若關(guān)于x的方程f(x)＝a有三個不同的實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解由(1)的分析知y＝f(x)的圖象的大致形狀及走向如圖所示.直線y＝a與y＝f(x)的圖象有三個不同的交點(diǎn)，即方程f(x)＝a有三個不同的實(shí)根.反思與感悟反思與感悟用求導(dǎo)的方法確定方程根的個數(shù)，是一種很有效的方法.它通過函數(shù)的變化情況，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想來確定函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)個數(shù)，從而判斷方程根的個數(shù).解析答案跟蹤訓(xùn)練3

設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)＝－x3＋3x＋a.(1)求f(x)的極值；解f′(x)＝－3x2＋3，令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝1.因?yàn)楫?dāng)x∈(－∞，－1)時，f′(x)＜0，當(dāng)x∈(－1,1)時，f′(x)＞0，當(dāng)x∈(1，＋∞)時，f′(x)＜0，所以f(x)的極小值為f(－1)＝a－2，極大值為f(1)＝a＋2.解析答案(2)是否存在實(shí)數(shù)a，使得方程f(x)＝0恰好有兩個實(shí)數(shù)根？若存在，求出實(shí)數(shù)a的值；若不存在，請說明理由.解

因?yàn)閒(x)在(－∞，－1)內(nèi)單調(diào)遞減，且當(dāng)x→－∞時，f(x)→＋∞，f(x)在(1，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞減，且當(dāng)x→＋∞時，f(x)→－∞，而a＋2＞a－2，即函數(shù)的極大值大于極小值，所以當(dāng)極大值等于0時，極小值小于0，此時曲線f(x)與x軸恰有兩個交點(diǎn)，即方程f(x)＝0恰好有兩個實(shí)數(shù)根，所以a＋2＝0，a＝－2，如圖1所示.解析答案當(dāng)極小值等于0時，極大值大于0，此時曲線f(x)與x軸恰有兩個交點(diǎn)，即方程f(x)＝0恰好有兩個實(shí)數(shù)根，所以a－2＝0，a＝2，如圖2所示.綜上所述，當(dāng)a＝2或a＝－2時，方程f(x)＝0恰有兩個實(shí)數(shù)根.思想方法等價轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用解析答案返回解析答案分析

(1)對原函數(shù)求導(dǎo)，將導(dǎo)函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為由二次函數(shù)的根的分布探求開口方向的問題，從而證得a＞0；(2)利用x1，x2為導(dǎo)函數(shù)的兩個根，將0＜x1＜1＜x2＜2等價轉(zhuǎn)化為不等式組，利用線性規(guī)劃求a＋2b的最大值與最小值.(1)證明由函數(shù)f(x)在x＝x1處取得極大值，在x＝x2處取得極小值，知x1，x2是f′(x)＝0的兩個根.由題意，得f′(x)＝ax2－2bx＋2－b，所以f′(x)＝a(x－x1)(x－x2).由題意，知在x＝x1的左側(cè)有f′(x)＞0.由x－x1＜0，x－x2＜0，得a＞0.此不等式組表示的區(qū)域?yàn)槠矫鎍Ob上三條直線2－b＝0，a－3b＋2＝0,4a－5b＋2＝0所圍成的△ABC的內(nèi)部，如圖所示.返回當(dāng)堂檢測12345解析答案1.函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)(

)A.無極大值點(diǎn)，有四個極小值點(diǎn)B.有三個極大值點(diǎn)，兩個極小值點(diǎn)C.有兩個極大值點(diǎn)，兩個極小值點(diǎn)D.有四個極大值點(diǎn)，無極小值點(diǎn)解析f′(x)的符號由正變負(fù)，則f(x0)是極大值，f′(x)的符號由負(fù)變正，則f(x0)是極小值，由圖象易知有兩個極大值點(diǎn)，兩個極小值點(diǎn).C解析答案123452.已知函數(shù)f(x)＝x3－px2－qx的圖象與x軸切于點(diǎn)(1,0)，則f(x)的極值情況為(

)12345解析f′(x)＝3x2－2px－q，根據(jù)題意，知x＝1是函數(shù)的一個極值點(diǎn)，所以f′(x)＝3x2－4x＋1.當(dāng)x＝1時，f(x)有極小值為0，故選A.答案A123453.已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有極大值和極小值，則a的取值范圍為(

)A.－1<a<2 B.－3<a<6C.a<－1或a>2 D.a<－3或a>6解析f′(x)＝3x2＋2ax＋(a＋6)，因?yàn)閒(x)既有極大值又有極小值，那么Δ＝(2a)2－4×3×(a＋6)>0，解得a>6或a<－3.D解析答案解析答案123454.設(shè)