2023屆北京市西城區(qū)高三一模數(shù)學(xué)試卷

西城區(qū)高三統(tǒng)一測試試卷

數(shù)學(xué)2023.3

本試卷共6頁，150分.考試時長120分鐘.考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試

卷上作答無效.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

第一部分（選擇題共40分）

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選

出符合題目要求的一項.

i

j已知集合&={T，°/，2,3},B={x\x-3x<0}(則AB-(

A.{-1}B.{1,2}

C.{1,2,3)D.{-1,0,1,2}

2.下列函數(shù)中，在區(qū)間（（）,+<?）上為增函數(shù)的是()

A.y=T乂B.y=x2-2x

1

C.y=sinxD.y=x一—

X

3.設(shè)。=lg2,Z?=cos2,C=2°2,則()

A.h<c<aB.c<b<a

C.b<a<cD.a<b<c

2

4.在（x——）5的展開式中，X的系數(shù)為（）

X

A.40B.10

C.-40D.-10

UUUUL1

5.已知P為-ABC所在平面內(nèi)一點，BC=2CP>則()

umiinm3皿皿

A.AP=——A3+二ACB.AP=-AB+-AC

2233

uunQLnjD1HIBI21I8411

CAP=-AB——ACD.AP=-AB+-AC

2233

6.函數(shù)/（%）=sin2工?tan%是（）

A.奇函數(shù)，且最小值為0B.奇函數(shù)，且最大值為2

C.偶函數(shù)，且最小值為。D.偶函數(shù)，且最大值為2

7.已知雙曲線。的中心在原點，以坐標軸為對稱軸.貝廣。的離心率為2”是“。的一條漸

近線為y=的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

8.在不考慮空氣阻力的條件下，火箭的最大速度“km/s)和燃料的質(zhì)量M(kg)以及火箭

(除燃料外)的質(zhì)量N(kg)間的關(guān)系為v=21n(l+=).若火箭的最大速度為12km/s,則

N

下列各數(shù)中與竺最接近的是()(參考數(shù)據(jù)：e=2.71828)

N

A.200B.400

C.600D.800

x—c,x>0,

9.設(shè)ceR,函數(shù)…°c若〃x)恰有一個零點，則。的取值范圍是

2'-2c,x<0.

()

A.(0,1)B.{0}U[l,+8)

c.(0,1)D.{0}嗎,+8)

io.〃名學(xué)生參加某次測試，測試由加道題組成.若一道題至少有2〃名學(xué)生未解出來，

3

2

則稱此題為難題；若一名學(xué)生至少解出了§機道題，則該生本次測試成績合格.如果這次

2?

測試至少有一〃名學(xué)生成績合格，且測試中至少有一用道題為難題，那么加〃的最小值為

33

()

A.6B.9

C18D.27

第二部分(非選擇題共110分)

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.

G*

11復(fù)數(shù)Z=——,則曰=.

12.已知拋物線>2=2px(p>0)的頂點為0,且過點A,8.若是邊長為46的

等邊三角形，則P=.

13.已知數(shù)列{。,,}的通項公式為%=2"L{2}的通項公式為記數(shù)列{4+〃}

的前〃項和為s“，則S《=—；s”的最小值為一.

14.設(shè)A(cosa,sina),8(2cos夕,2sin/7),其中a,萬eR.當a=7t,尸時，|AB|=；

當|A8|=g時，a的一個取值為一.

15.如圖，在樓長為2的正方體ABC?！狝4GA中，點M，N分別在線段A2和BC

上.

給出下列四個結(jié)論：

①MN的最小值為2；

4

②四面體的體積為一；

③有且僅有一條直線MN與A。垂直；

④存在點M,N,使△M&V為等邊三角形.

其中所有正確結(jié)論的序號是一.

三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.

2兀

16.如圖，在A3C中，Z/l=—,AC=BCD平分NACB交AB于點。，

CD=6

(1)求/ADC的值；

(2)求△BCD的面積.

17.根據(jù)《國家學(xué)生體質(zhì)健康標準》，高三男生和女生立定跳遠單項等級如下(單位:

cm）：

立定跳遠單項等級高三男生高三女生

優(yōu)秀26()及以上194及以上

良好245-259180-193

及格205-244150-179

不及格204及以下149及以下

從某校高三男生和女生中各隨機抽取12名同學(xué)，將其立定跳遠測試成績整理如下(精確到

1cm)：

男生180205213220235245250258261270275280

女生148160162169172184195196196197208220

假設(shè)用頻率估計概率，且每個同學(xué)的測試成績相互獨立.

(1)分別估計該校高三男生和女生立定跳遠單項優(yōu)秀率；

(2)從該校全體高三男生中隨機抽取2人，全體高三女生中隨機抽取1人，設(shè)X為這3人

中立定跳遠單項等級為優(yōu)秀的人數(shù)，估計X的數(shù)學(xué)期望E(X)；

(3)從該校全體高三女生中隨機抽取3人，設(shè)“這3人的立定跳遠單項既有優(yōu)秀，又有其

它等級”為事件A,“這3人的立定跳遠單項至多有1個是優(yōu)秀”為事件B.判斷A與B是否

相互獨立.(結(jié)論不要求證明)

18.如圖，在四棱錐P—ABC。中，24,平面A8CD,AB//CD,ABLAD,

43=1，PA^AD=CD=2.E為棱PC上一點，平面與棱PZ)交于點尸.再從

條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為己知，完成下列兩個問題

(2)求二面角8-9C-P的余弦值.

條件①：BE//AF；

條件②：BEVPC.

注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分.

19.已知函數(shù)/(X)=e*-cosx.

(1)求曲線y=.f(x)在點(0,/(0))處的切線方程；

(2)設(shè)g(x)=x_T(x)-/(x),證明:g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增；

(3)判斷3/弓)與的大小關(guān)系，并加以證明.

20.已知橢圓C:/+2y2=2,點在橢圓。上，且。(O為原點).設(shè)

中點為