章復變函數(shù)和解析函數(shù)市公開課一等獎百校聯(lián)賽特等獎?wù)n件

數(shù)學物理方法數(shù)學是科學的大門和鑰匙，忽視數(shù)學必將傷害所有的知識，因為忽視數(shù)學的人是無法了解任何其他科學乃至世界上任何其他事物的。

——（英）R.培根10/10/1第1頁教材及指導書一、教材：胡嗣柱等編著，《數(shù)學物理方法》，第二版，北京大學出版社，7月二、主要參考書：于濤等編《數(shù)學物理方法知識關(guān)鍵點與習題解析》，哈爾濱工程大學出版社，6月成績測定：作業(yè)20%＋上課出席參加10%＋考試70%聯(lián)絡(luò)方式：zyx@10/10/2第2頁課程講授計劃第一章復變函數(shù)和解析函數(shù)（5）第二章復變函數(shù)積分柯西定理和柯西公式（5）第六章點源和瞬時源函數(shù)（2）第七章傅里葉變換和色散關(guān)系（6）第八章線性常微分方程級數(shù)解法和一些特殊函數(shù)（8）第九章數(shù)學物理方程定解問題（6）第十章行波法和分離變量法本征值問題（6）第十一章積分變換法（4）第十二章球坐標下分離變量法（8）第十三章柱坐標下分離變量法Bessel函數(shù)（8）10/10/3第3頁上篇復變函數(shù)論復變函數(shù)論（theoryofcomplexfunctions）目標：

把微積分延伸到復域。使微分和積分取得新深度和意義。10/10/4第4頁主要內(nèi)容:

1

復變函數(shù)和解析函數(shù)2復變函數(shù)積分柯西定理和柯西公式

3復變函數(shù)級數(shù)泰勒級數(shù)和洛朗級數(shù)等（自學）4解析函數(shù)（自學）

5定積分計算（自學）

6δ函數(shù)

其余拉普拉斯變換內(nèi)容（自學）7傅立葉變換和色散8線性常微分方程級數(shù)解法和一些特殊函數(shù)10/10/5第5頁第一章復變函數(shù)和解析函數(shù)虛數(shù)是奇妙的人類精神寄托，它好像是存在與不存在之間的一種兩棲動物。10/10/6第6頁目標與要求：掌握復變函數(shù)基本概念和復函數(shù)可導必要條件、掌握解析函數(shù)概念、函數(shù)解析充要條件、復勢概念。教學重點：柯西-黎曼條件、復變函數(shù)解析充要條件；教學難點：柯西-黎曼條件與復變函數(shù)可導充要條件、復變函數(shù)解析充要條件學習要求與內(nèi)容提要10/10/7第7頁萊昂哈德·保羅·歐拉（LeonhardPaulEuler，174月15日－1783年9月18日）是一位瑞士數(shù)學家和物理學家，近代數(shù)學先驅(qū)之一，他一生大部分時間在俄羅斯帝國和普魯士度過。歐拉在數(shù)學多個領(lǐng)域，包含微積分和圖論都做出過重大發(fā)覺。他引進許多數(shù)學術(shù)語和書寫格式，比如函數(shù)記法"f(x)"，一直沿用至今。另外，他還在力學、光學和天文學等學科有突出貢獻。歐拉是18世紀出色數(shù)學家，同時也是有史以來最偉大數(shù)學家之一。他也是一位多產(chǎn)作者，其文學著作約有60-80冊。法國數(shù)學家皮埃爾-西蒙·拉普拉斯曾這么評價歐拉對于數(shù)學貢獻：“讀歐拉著作吧，在任何意義上，他都是我們大師”10/10/8第8頁1.0問題提出負數(shù)有對數(shù)嗎？Bernoulli：負數(shù)對數(shù)是實數(shù)Leibniz：不可能有負數(shù)對數(shù)只對正數(shù)成立Euler：在1747年指出差一常數(shù)1740年，Euler給Bernoulli信中說：和是同一個微分方程解，所以應(yīng)該相等1743年，發(fā)表了Euler公式Euler把作為特殊數(shù)10/10/9第9頁(1).復數(shù)代數(shù)形式對虛數(shù)單位要求:1.1復數(shù)基本概念顯然，此方程在實數(shù)集中是無解。1。

2考慮解方程：-=x為了求出方程解,引入一個新數(shù)i,稱為虛數(shù)單位.1復數(shù)及其代數(shù)運算i2=–110/10/10第10頁定義i-虛數(shù)單位滿足：i2=-1虛部記做：Imz=y實部記做：Rez=x{}

稱為為復數(shù)集,,|RyxiyxzzC?+==.

,,

為復數(shù)稱對于iyxzRyx+=?"

;

,

0

,0

稱為純虛數(shù)時當iyzyx=1=

.

,0

,

0

xixzy我們把它看作實數(shù)時當+==10/10/11第11頁

兩復數(shù)相等當且僅當它們實部和虛部分別相等.

復數(shù)

z

等于0當且僅當它實部和虛部同時等于0.說明兩個數(shù)假如都是實數(shù),能夠比較它們大小,假如不全是實數(shù),就不能比較大小,也就是說:設(shè)：z1=x1+i·y1

z2=x2+i·y2復數(shù)不能比較大小!!!10/10/12第12頁（2）復平面表示與復數(shù)三角式復數(shù)矢量表示法

復數(shù)z=x+iy能夠用平面上一個點（x,y）或一個矢量表示，通常把橫軸叫實軸，縱軸叫虛軸，而把這種用來表示復數(shù)平面叫復平面。oxyP(x,y)xy

10/10/13第13頁顯然由復數(shù)復平面表示，有以下各式成立

復矢量長度稱為復數(shù)?；蚪^對值如圖：那么復數(shù)（復矢量）能夠表示為復數(shù)三角表示式oxyP(x,y)xy

10/10/14第14頁說明幅角不確定.

.arg

,

,

,

0

=1zzoPzz記作幅角稱為為終邊角弧度數(shù)向量以表示以正實軸為始邊情況下在,0有沒有窮多個幅角任何一個復數(shù)1z

,是其中一個幅角假如全部幅角為那么

z

).(

π2arg為任意整數(shù)kkz+=

,0

,

0

,==zz時當特殊地oxyP(x,y)xy

10/10/15第15頁幅角主值定義:復數(shù)三角函數(shù)表示式利用歐拉公式復數(shù)能夠表示成復數(shù)指數(shù)表示式(3)復數(shù)指數(shù)函數(shù)表示

).(

π2arg為任意整數(shù)kkz+=在z(≠0)幅角中，把位于０<<2π

稱為argz主值。而復數(shù)輻角與幅角主值間相關(guān)系10/10/16第16頁設(shè)z1=x1+iy1和

z2=x2+iy2是兩個復數(shù)加減z1±

z2=(x1+iy1)

±

(x2+i

y2)

=(x1±

x2)+i(y1±

y2)（4）復數(shù)運算規(guī)則(注:利用到實數(shù)特例時,能夠與實數(shù)運算規(guī)則相符)乘法兩個復數(shù)相乘等于它們模相乘，幅角相加10/10/17第17頁除法兩個復數(shù)相除等于它們模相除，幅角相減n次冪n次根冪迫近10/10/18第18頁共軛共軛復數(shù):實部相同而虛部絕對值相等符號相反兩個復數(shù)稱為共軛復數(shù).例1.1解結(jié)論：兩個共軛復數(shù)積是實數(shù).積與計算共軛復數(shù)yixzyixz-=+=

,

zz共軛復數(shù)記為.

,

iyxziyxz-=+=則若注意:10/10/19第19頁共軛復數(shù)性質(zhì):以上各式證實略.10/10/20第20頁例1.2

某化工廠計劃修建兩個深度相同方池，甲池面積為3平方米，乙池為立方池，其容積比甲池大1立方米。問方池深度應(yīng)為多少？解：設(shè)方池深度為x。按設(shè)計要求有令代入上述方程有：其根為從而10/10/21第21頁(1)初等解析函數(shù)指數(shù)函數(shù)這里ex是實指數(shù)函數(shù)實正、余弦函數(shù).)sin(cos.指數(shù)函數(shù)為稱設(shè)zyiyeeiyxzxz+=+=定義1復變函數(shù)及其導數(shù)1.2復變函數(shù)及其導數(shù)柯西—黎曼條件.,2cos.,2sin余弦函數(shù)正弦函數(shù)定義稱為稱為izizizizeezieez--+=-=三角函數(shù)10/10/22第22頁.cossintan正切函數(shù)稱為zzz=

例1.3

解方程解10/10/23第23頁雙曲函數(shù).,2ch.,2sh雙曲余弦函數(shù)雙曲正弦函數(shù)定義稱為稱為zzzzeezeez--+=-=有理整函數(shù)(多項式)有理分式函數(shù)在復平面內(nèi)分母不為零點是連續(xù).

,

)(

)(

都是多項式和其中zQzP

;

都是連續(xù)對復平面內(nèi)全部點z10/10/24第24頁對數(shù)函數(shù)稱為對數(shù)函數(shù)lnz主值。而.

,

,

一個分支稱為可確定一個單值函數(shù)對于每一個固定zkln對數(shù)函數(shù)定義為：;ln

是一個無窮多值復變函數(shù)z10/10/25第25頁冪函數(shù)定義

設(shè)α是任意復數(shù)，z冪函數(shù)定義為.0,0,==aazz時補充要求是正實數(shù)時當;,lnln.,

ln主值稱為冪函數(shù)時取主值當是一個無窮多值函數(shù)普通說來aaaazezzzzz=注意10/10/26第26頁例1.4解10/10/27第27頁例1.5解10/10/28第28頁

定義：當z=x+iy在復平面上改變時，假如對應(yīng)于z每一個值，都有一個或幾個復數(shù)值w與之對應(yīng)。則稱w為z復變函數(shù),記作

w=f(z)=u(x,y)+iυ(x,y)（2）復變量函數(shù)一個復變函數(shù)能夠用兩個二元實函數(shù)表示.10/10/29第29頁(3)復數(shù)導數(shù)定義記為：10/10/30第30頁{})(

).()()]([)6(zgwzgwfzgf=￠￠=￠其中求導公式與法則:

.

,0)()1(為復常數(shù)其中cc=￠

.,)()2(1為正整數(shù)其中nnzznn-=￠

因為復變函數(shù)中導數(shù)定義與一元實變函數(shù)中導數(shù)定義在形式上完全一致,而且復變函數(shù)中極限運算法則也和實變函數(shù)中一樣,因而實變函數(shù)中求導法則都能夠不加更改地推廣到復變函數(shù)中來,且證實方法也是相同.10/10/31第31頁可導：對任何方向，極限都存在并唯一。復變函數(shù)f(z)：

z沿任一曲線迫近零。2.柯西—黎曼條件（復變函數(shù)可導必要條件）0實數(shù)實變數(shù)f(x)：

x沿實軸迫近零。所以，復函數(shù)可導性是比實函數(shù)可導性條件強得多。是否存在復函數(shù)可導必須滿足基本條件？復數(shù)10/10/32第32頁

z沿實軸→0,

y0設(shè)f(z)在z點可導.下面分析

z分別沿平行于實軸（

y0）和平行于虛軸（

x0）趨于零特殊情況：柯西—黎曼條件10/10/33第33頁柯西—黎曼條件或C-R條件因為f(z)在z點可導，要求沿不一樣方向極限相等可導必要條件

z沿虛軸→,

x010/10/34第34頁定理若存在且連續(xù)，則f(z)可導充要條件是f(z)滿足柯西—黎曼條件。證：因為偏導數(shù)連續(xù)，依據(jù)偏導數(shù)定義,二元函數(shù)u

和υ增量可分別寫為伴隨則復變函數(shù)可導充要條件10/10/35第35頁柯西—黎曼條件這一極限是與方式無關(guān)有限值，所以f(z)可導。導數(shù)定義式注意:單值初等函數(shù)在復平面上幾乎處處可導.10/10/36第36頁可導函數(shù)復共軛函數(shù)不一定可導。例1.6討論復函數(shù)w=x+iy和其復共軛w'=x-iy可導性解:不滿足柯西—黎曼條件10/10/37第37頁1.復變函數(shù)可導必要條件：柯西—黎曼條件；2.復變函數(shù)可導充要條件：若存在且連續(xù)，則f(z)可導充要條件是f(z)滿足柯西—黎曼條件。本講小結(jié)與思考

3.單值初等函數(shù)在復平面上幾乎處處可導,可導函數(shù)復共軛函數(shù)不一定可導.10/10/38第38頁1.21.4(1)(5)(6)1.6§1.1和§1.2作業(yè)10/10/39第39頁1區(qū)域

鄰域定義：如圖，由不等式(δ為任意正數(shù))所確定平面點集(簡稱點集)，稱為以z0為中心δ鄰域或鄰域。

所確定點集為z0去心δ鄰域或去心鄰域。類似于實變函數(shù)，下面介紹對應(yīng)于復變函數(shù)：鄰域、內(nèi)點，外點，邊界點和開集等概念。

由實變函數(shù)理論我們知道，函數(shù)定義域是一個滿足一定條件平面點集，我們稱之為區(qū)域D。鄰域而稱如圖所表示不等式1.3解析函數(shù)10/10/40第40頁z0設(shè)E為點集（如圖），z0為E中一點。則：內(nèi)點：假如存在z0一個鄰域，該鄰域內(nèi)全部點都屬于點集E，則稱z0為E內(nèi)點；外點：若點z0某一個鄰域內(nèi)點都不屬于點集E，則稱點z0為E外點。邊界點：若在點z0任意一個鄰域內(nèi)，現(xiàn)有屬于點集E

點，也有不屬于E點，則稱點z0為E邊界點，點集E全部邊界點稱為E邊界。注意

區(qū)域邊界可能是由幾條曲線和一些孤立點所組成。開集：

若點集E點皆為內(nèi)點，則稱E為開集。內(nèi)點外點PE10/10/41第41頁區(qū)域定義：點集E稱為一個區(qū)域D，假如它滿足：(1)E是一個開集；(2)E是連通，就是說E中任何兩點z1和z2都能夠用完全屬于E一條折線連接起來。

通常稱含有性質(zhì)(2)集為連通，所以一個區(qū)域就是一個連通開集。區(qū)域D加上它邊界C(p)稱為閉區(qū)域或閉域，記為.D-區(qū)域內(nèi)點10/10/42第42頁單連通域與多連通域設(shè)D為復平面上一個區(qū)域，假如在其中作一條簡單閉曲線（本身不相交閉合曲線），而曲線內(nèi)部總屬于D，則稱D為單連通區(qū)域，不然稱為多連通區(qū)域。單連通域多連通域10/10/43第43頁2解析函數(shù)概念

若函數(shù)f(z)在點z0某鄰域內(nèi)處處可導，則稱函數(shù)f(z)在點z0處解析；又若f(z)在區(qū)域D內(nèi)每一點解析，則稱f(z)在區(qū)域D內(nèi)是解析函數(shù)說明：1.解析與可導不等價

函數(shù)在某點解析，則必在該點可導；反之不然不過在區(qū)域D內(nèi)解析函數(shù)則其解析性與可導等價.

例：函數(shù)只在z=0點可導，在z=0鄰域內(nèi)不可導，因而不解析10/10/44第44頁2.稱函數(shù)不解析點為奇點f(z)在點z0無定義或無確定值；f(z)在點z0不連續(xù)；f(z)在點z0不可導；f(z)在點z0可導,但找不到在其內(nèi)處處可導鄰域。3.解析函數(shù)充分必要條件設(shè)函數(shù)f(z)=u(x,y)+iυ(x,y)

在區(qū)域D內(nèi)解析當且僅當：(1)實部和虛部在D內(nèi)每一點可導；(2)實部和虛部在D內(nèi)每一點滿足柯西—黎曼條件10/10/45第45頁例1.7判斷以下函數(shù)在何處可導,在何處解析:解（1）

因為u=excosy,υ=exsiny,柯西-黎曼條件成立,因為上面四個偏導數(shù)都是連續(xù),所以f(z)在復平面內(nèi)處處可導,處處解析,且有

f'(z)=exp(x)(cosy+isiny)=f(z)這個函數(shù)就是指數(shù)函數(shù)ez.10/10/46第46頁(2)由w=zRe(z)=x2+ixy,得u=x2,υ=xy,所以輕易看出,這四個偏導數(shù)處處連續(xù),但僅當x=y=0時,它們才滿足柯西-黎曼方程,因而函數(shù)僅在z=0可導,所以在復平面內(nèi)任何地方都不解析.10/10/47第47頁由上述討論可知，既然f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析，則存在且連續(xù)，其實部和虛部皆可導。由此我們能夠利用柯西－黎曼條件由解析函數(shù)u或υ部分構(gòu)建出一個解析函數(shù)。3解析函數(shù)應(yīng)用從區(qū)域內(nèi)固定一點（x0,y0）到(x,y)積分上式有同理，C為任意常數(shù)

10/10/48第48頁10/10/49第49頁

依據(jù)C-R條件

積分路徑選為，則得到

依據(jù)條件，故得..10/10/50第50頁1.4多值函數(shù)問題提出前面引入關(guān)于函數(shù)可導和解析概念皆是建立在單值復變函數(shù)基礎(chǔ)上。對于多值函數(shù)，復平面上任一自變量對應(yīng)多個函數(shù)值，函數(shù)本身不含有函數(shù)可導所含有“當z在z0鄰域內(nèi)沿一切方向、按任意方式趨于z0時，含有同一極限值”性質(zhì)。

為了討論多值函數(shù)可導和解析性，我們要使多值復變函數(shù)與自變量間一一對應(yīng)。實現(xiàn)此目標方法是擴大自變量定義域。

這是本節(jié)討論重點！

10/10/51第51頁1.4多值函數(shù)1多值函數(shù)及分支點以以下多值函數(shù)為例

為了清楚地看出多值函數(shù)性質(zhì)，現(xiàn)在先仔細分析n=2情況幅角主值：分析此例子，我們發(fā)覺z=a是一個特殊點，當z-a圍繞z=a旋轉(zhuǎn)一周時，w=f(z)函數(shù)值要改變。這么點稱為多值函數(shù)支點。本例圍繞支點一周不復原定義為一階支點.幅角主值區(qū)10/10/52第52頁現(xiàn)在（n=3）,z-a

圍繞z=a點二周不復原故稱z=a為函數(shù)w二階支點.以這類推：應(yīng)注意是無窮遠點∞一樣可能是多值函數(shù)支點。仍以n=2為例，令z-a=1/t,則z=∞是w支點。10/10/53第53頁2黎曼面下面我們?nèi)砸宰訛槔?0/10/54第54頁10/10/55第55頁10/10/56第56頁10/10/57第57頁3超越支點10/10/58第58頁我們知道在區(qū)域D內(nèi)，解析函數(shù)f(z)實部u(x,y)和虛部υ(x,y)滿足柯西－黎曼條件，即§1.6解析函數(shù)物了解釋復勢得出1調(diào)和函數(shù)上式左邊分別對x和y求偏導數(shù)10/10/59第59頁定義稱方程為拉普拉斯方程.滿足此拉普拉斯方程函數(shù)稱為調(diào)和函數(shù).同理得無源、無旋標量場，比如，靜電場、溫度場和流場等，它們勢滿足拉普拉斯方程。上面分析表示，解析函數(shù)實部和虛部都是二維調(diào)和函數(shù)。我們稱解析函數(shù)實部和虛部為共軛調(diào)和函數(shù)10/10/60第60頁2解析函數(shù)實部和虛部梯度正交即由柯西—黎曼方程解析函數(shù)實部和虛部之梯度是相互正交。我們要問：解析函數(shù)上述性質(zhì)在物理學研究中有何應(yīng)用價值？10/10/61第61頁

由電磁學我們知道：（1）靜電場電勢滿足拉普拉斯方程

3平面靜電場復勢（3）由圖可知：靜電場等勢線族（方向沿等勢面切線方向）和電力線族（方向沿電場方向）是