§9.3三重積分及其計算省名師優(yōu)質課賽課獲獎課件市賽課一等獎課件

將二重積分定義中積分區(qū)域推廣到空間區(qū)域,被積函數(shù)推廣到三元函數(shù),就得到三重積分定義.§9.3三重積分及其計算

一、三重積分概念三重積分物理背景以

(x,y,z)為體密度函數(shù)空間物體

質量.首先,將閉區(qū)域

任意分成n個小閉區(qū)域v1,v2,

,vn,其中vi表示第i個小閉區(qū)域,也表示它體積,在每個vi上任取一點(

i,

i,

i),作乘積

(

i,

i,

i)vi(i=1,2,

,n),并作和第1頁假如當各小閉區(qū)域直徑中最大值

趨近于零時,該和式極限存在,則稱此極限為空間物體

質量M,即當然,在三維空間定義函數(shù)u=f(x,y,z)“幾何”意義是四維空間“曲面”,我們能夠想象,但不論怎樣也無法畫出其“圖形”,所以我們不再討論其幾何意義.下面我們給出三重積分定義:第2頁

定義:設f(x,y,z)是空間有界閉區(qū)域

上有界函數(shù),將閉區(qū)域

任意分成n個小閉區(qū)域v1,v2,

,vn,其中vi表示第i個小閉區(qū)域,也表示它體積,在每個vi上任取一點(

i,

i,

i),作乘積f(

i,

i,

i)vi(i=1,2,

,n),并作和假如當各小閉區(qū)域直徑中最大值

趨近于零時,該和式極限存在,則稱此極限為函數(shù)f(x,y,z)在閉區(qū)域

上三重積分,并記為即其中dv稱為體積元素,其它術語與二重積分相同.一樣有:閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)一定可積.第3頁在直角坐標系中,假如我們用三族(平行于坐標)平面x=常數(shù),y=常數(shù),z=常數(shù),對空間區(qū)域進行分割那末每個規(guī)則小區(qū)域都是長方體.其體積元素為:dv=dxdydz.三重積分可寫成:由定義可知三重積分與二重積分有著完全相同性質,不再敘述.二、三重積分在直角坐標系中計算法與二重積分類似,三重積分可化成三次積行計算.詳細可分為先單后重和先重后單兩種類型.第4頁(x,y)z=z1(x,y)z=z2(x,y)①先單后重:設閉區(qū)域

在xoy面投影為閉區(qū)域Dxy.在閉區(qū)域Dxy內任取一點(x,y),作垂直于xoy面直線穿過閉區(qū)域

.穿入

時下邊界曲面方程:z=z1(x,y)穿出

時上邊界曲面方程:z=z2(x,y)先將x,y看作定值,f(x,y,z)看作z函數(shù),則積分為閉區(qū)域Dxy上函數(shù),能夠了解為壓縮在平面薄片Dxy上密度函數(shù).第5頁——也稱為先一后二，（先z次y后x

）注意用完全類似方法可把三重積分化成其它次序下三次積分。第6頁化三次積分步驟⑴投影，得平面區(qū)域⑵穿越法定限，穿入點—下限，穿出點—上限對于二重積分，我們已經(jīng)介紹過化為累次積分方法第7頁oxyzDxy例1:將三重積分化成三次積分,其中

為長方體,各邊界面平行于坐標面.

解:將

投影到xoy面得Dxy,它是一個矩形:c

y

d,a

x

b,在Dxy內任取一點(x,y)作平行于z軸直線,交邊界曲面于兩點,其豎坐標為l和m(l<m).abcd(x,y)ml第8頁例2:計算平面x+y+z=1所圍成區(qū)域.Dxyxyzo其中

是三個坐標面與

解:畫出

在xoy面上投影區(qū)域Dxy:0

y1–x,0

x1,平行于z軸直線穿過下曲面為z=0,上曲面為z=1–x–y,有0

z1–x–y.x+y+z=1x+y=1第9頁zxy第10頁除了上面介紹先單后重法(切條法)外,利用先重后單法或稱截面法也可將三重積分化成三次積分.先重后單,就是先求關于某兩個變量二重積分再求關于另一個變量定積分.②先重后單:D(z)xyzoc1c2設積分區(qū)域

介于兩平行平面z=c1,z=c2(c1<c2)之間,用任一平行且介于此兩平面平面去截

,

得區(qū)域D(z),c1zc2.則第11頁易見,若二重積分輕易計算時,尤其是被積函數(shù)f(x,y,z)與x,y無關時,則二重積分結果就是D(z)面積,所以,用截面法較為方便.

即得三重積分值.(4)最終計算單積分(3)計算二重積分函數(shù)F(z);其結果為z截面法普通步驟:(1)把積分區(qū)域

向某軸(比如z軸)投影,得投影區(qū)間[c1,c2];(2)對z

[c1,c2]用過z軸且平行xoy面平面去截

,得截面D(z);第12頁例5:計算解:易見

介于z=–c和z=c之間,而zyxo或故第13頁例6:計算解一:先重后單.

介于z=0

和z=1之間,D(z):x2+y2

z.解二:先單后重.將

投影到xoy面得投影區(qū)域:Dxy:x2+y2

1.平行于z軸直線穿過

下曲面為z=x2+y2,上曲面為z=1,所以有x2+y2

z1.(用極坐標,用對稱性)所以,所以,第14頁此例介紹是一個計算三重積分方法,這種方法也含有一定普遍性,這就是我們將要介紹柱坐標系下計算法.第15頁三、在柱坐標系下計算法設M(x,y,z)為空間內一點,并設點M在xoy面上投影P極坐標為r,

,則這么三個數(shù)r,

,z就叫點M柱面坐標.要求:0

r<+,0

2

,–<z<+.直角坐標與柱面坐標變換公式:三重積分在柱坐標系和球坐標系下計算第16頁zx0yzMrS

zr=常數(shù)

圓柱面z=常數(shù)

垂直z軸平面動點M(r,

,

z)柱面坐標系坐標面第17頁zx0yzMrS

P

r=常數(shù)

圓柱面z=常數(shù)

垂直z軸平面動點M(r,

,

z)柱面坐標系坐標面

=常數(shù)

過z軸半平面第18頁xz

y0

drrrd

d

z平面z柱面坐標下體積元素元素區(qū)域由六個坐標面圍成:半平面

及+d;

半徑為r及r+dr圓柱面;

平面z及z+dz;第19頁xz

y0

drrrd

d

z底面積:rdrd

dz平面z+dz.柱面坐標下體積元素元素區(qū)域由六個坐標面圍成:半平面

及+d;

半徑為r及r+dr圓柱面;

平面z及z+dz;第20頁xz

y0

drrrd

d

z底面積:rdrd

dz.dv柱面坐標下體積元素元素區(qū)域由六個坐標面圍成:半平面

及+d;

半徑為r及r+dr圓柱面;

平面z及z+dz;所以:dv=rdrd

dz.第21頁所以然后再把它化為三次積分來計算.積分次序普通是先z次r后

.積分限是依據(jù)z,r,

在積分區(qū)域中改變范圍來確定.第22頁解:積分區(qū)域

為一圓錐面與平面z=1圍成.

將積分區(qū)域

投影到xoy面得Dxy:x2+y2

1.例1:計算三重積分:圓錐面柱面坐標方程為z=r.則積分限為:0

2

,0

r1,r

z1.注:若空間區(qū)域為以坐標軸為軸圓柱體,圓錐體或旋轉體時,通?？偸强紤]使用柱坐標來計算.所以第23頁例2:計算三重積分面z=1,z=2和圓錐面圍成區(qū)域.其中

是由平解:確定變量z,r,

改變范圍.r,

范圍輕易定出:0

2

,0

r2.z呢?當0

r1時,1

z2;當1

r2時,r

z2.作圖!由圖能夠看出:所以,第24頁四、在球坐標系下計算法設M(x,y,z)為空間內一點,則點M可用三個有次序數(shù)r,

,

來確定,其中

r

為原點O與點M間距離,

為有向線段OM與

z

軸正向夾角,

為從

z

軸正向來看自

x

軸按逆時針方向轉到有向線段OP

夾角,這里P

為點M在

xoy

面上投影,這么三個數(shù)

r,

,

就叫做點M球面坐標.x=OAy=OBz=OCOM=r.=OMsin

cos

=OMsin

sin

=OMcos

=OPcos

=OPsin

所以要求:0

r<+,0

,0

2

.第25頁SrM

yz

x0

r為常數(shù)

為常數(shù)

球面

圓錐面球面坐標系坐標面:動點M(r,,

)C第26頁

CSM

yz

x0

P

r為常數(shù)

為常數(shù)

為常數(shù)

球面

圓錐面

半平面球面坐標系坐標面:動點M(r,,

)第27頁r

drd

rsin

xz

y0圓錐面

rd

球面r圓錐面+d球面r+dr元素區(qū)域由六個坐標面圍成:rsind半平面

及+d;

半徑為r及r+dr球面;圓錐面

及+d.球面坐標下體積元素d

第28頁r

drd

xz

y0

d

rd

.dv=

r2sindrdddv元素區(qū)域由六個坐標面圍成:半平面

及+d;

半徑為r及r+dr球面;圓錐面

及+d.球面坐標下體積元素rsind第29頁然后把它化成對r,

,

三次積分,詳細計算時需要將

用球坐標系下不等式組表示,積分次序通常是先r次

后

.例3:計算其中

是錐面x2+y2=z2與平面z=a(a>0)所圍立體.解一:用球坐標.平面z=a

x2+y2=z2

第30頁解二:用柱坐標.x2+y2=z2

z=r,所以,

:r

z

a,0r

a,0

2

.第31頁例4:求曲面x2+y2+z2

2a2與立體體積.所圍成解:

由錐面和球面圍成.采取球面坐標.由x2+y2+z2=2a2

r=由三重積分性質知:所求立體體積V為:第32頁注:若積分區(qū)域為球體,球殼或其一部分被積函數(shù)呈x2+y2+z2形式,而用球坐標后積分區(qū)域球坐標方程比較簡單,通常采取球坐標補充:利用對稱性簡化三重積分計算使用對稱性時應注意:1.積分區(qū)域關于坐標面對稱性;2.被積函數(shù)在積分區(qū)域上關于三個坐標軸奇偶性.普通地,當積分區(qū)域

關于xoy平面對稱,且被積函數(shù)f(x,y,z)是關于z奇函數(shù),即f(x,y,–z)=–f(x,y,z),則三重積分為零;若被積函數(shù)f(x,y,z)是關于z偶函數(shù),即f(x,y,–z)=f(x,