復變函數(shù)總復習資料名師優(yōu)質課獲獎市賽課一等獎課件

復數(shù)基本概念和運算1、復數(shù)z=x+iy或z=x+yi注意：(1)2個復數(shù)不能比較大小;(2)當且僅當實部、虛部分別相等時復數(shù)才相等。第1頁12、復數(shù)表示直角坐標：z=x+iy復平面與直角坐標平面上點一一對應向量表示模幅角三角表示：指數(shù)表示：0xyOxyqPz=x+iy|z|=rz=0時輻角不確定第2頁2輻角主值公式：2341xy第3頁33、復數(shù)運算加法、減法：乘法:除法:運算法則:z1+z2=z2+z1

z1z2=z2z1z1+(z2+z3)=(z1+z2)+z3z1(z2z3)=(z1z2)z3z1(z2+z3)=z1z2+z1z3第4頁4乘積：

z1=r1(cosq1+isinq1),z2=r2(cosq2+isinq2),

z1z2=r1r2[cos(q1+q2)+isin(q1+q2)]于是 :|z1z2|=|z1||z2| Arg(z1z2)=Argz1+Argz2模相乘；輻角相加。商：

模相除；輻角相減冪：根：注意根多值性！第5頁5區(qū)域：平面點集D稱為區(qū)域,必須滿足以下兩個條件：1）D是一個開集。2）D是連通。不連通單連通域：區(qū)域B中任做一條簡單閉曲線，曲線內部總屬于B，稱B為單連通區(qū)域。多連通域：不滿足單連通域條件區(qū)域。單連通域多連通域區(qū)域概念第6頁6復變函數(shù)w=f(z),

z=x+iy,w=u(x,y)+iv(x,y)單值函數(shù)：z一個值對應一個w值。多值函數(shù)：z一個值對應兩個或以上w值。反函數(shù)：z=g(w)復變函數(shù)極限、連續(xù)性、可導、解析性判定第7頁71、極限定理一：設f(z)=u(x,y)+iv(x,y),A=u0+iv0,z0=x0+iy0條定理二：第8頁82、連續(xù)性復平面內，以下各式連續(xù)：項第9頁93、導數(shù)定義在區(qū)域D內，稱可導第10頁10z0點：區(qū)域D：4、解析使分母為零點是它奇點。第11頁11主要定理：函數(shù)解析條件柯西-黎曼(Cauchy-Riemann)方程第12頁12高層中層低層第13頁13初等函數(shù)第14頁14多值！性質:第15頁15乘冪第16頁16冪函數(shù)冪函數(shù)解析性各分支在除去原點和負實軸復平面內是解析:各分支在除去原點和負實軸復平面內是解析:第17頁174.三角函數(shù)第18頁18第三章復變函數(shù)積分習題3-8(1)第19頁19CC1習題3-7(8)、3-9(1)第20頁20三、積分性質復積分與實變函數(shù)定積分有類似性質.估值不等式第21頁211、調和函數(shù)定義四、解析函數(shù)與調和函數(shù)關系2、解析函數(shù)和調和函數(shù)關系定理：任何在區(qū)域D內解析函數(shù),它實部和虛部都是D

內調和函數(shù)，即有：第22頁223、共軛調和函數(shù)區(qū)域D內解析函數(shù)虛部為實部共軛調和函數(shù).4、偏積分法和不定積分法求解析函數(shù)（簡單了解即可）假如已知一個調和函數(shù)u,利用柯西－黎曼方程求得它共軛調和函數(shù)v,從而組成一個解析函數(shù)u+vi方法稱為偏積分法.第23頁23一、復數(shù)項級數(shù)一些基本概念1、復數(shù)列收斂充要條件:同時收斂.2、復級數(shù):收斂充要條件:同時收斂.3、復級數(shù)絕對收斂:絕對收斂充要條件:同時絕對收斂.第四章級數(shù)第24頁24

收斂范圍為圓域,圓內絕對收斂,圓外發(fā)散,圓上不定.1、收斂定理：(阿貝爾Abel定理)假如級數(shù)在收斂,那么對滿足z,級數(shù)必絕對收斂,假如在級數(shù)發(fā)散,那么對滿足z,級數(shù)必發(fā)散。二、冪級數(shù)：冪級數(shù)收斂半徑情況有三種:(1)對全部正實數(shù)都收斂.級數(shù)在復平面內處處絕對收斂:(2)對全部正實數(shù)除z=0外都發(fā)散.級數(shù)在復平面內除原點外處處發(fā)散:比如,級數(shù)(3)既存在使級數(shù)發(fā)散正實數(shù),也存在使級數(shù)收斂正實數(shù).級數(shù)在收斂圓內處處絕對收斂第25頁252、收斂半徑求法:假如:3、性質:和函數(shù)在收斂圓內:

解析,可逐項求導,可逐項積分.

習題4-6第26頁264、冪級數(shù)運算和性質(1)冪級數(shù)有理運算(2)冪級數(shù)代換(復合)運算假如當時,又設在內解析且滿足那么當時,說明:此代換運算常應用于將函數(shù)展開成冪級數(shù).習題4-11第27頁27答案:冪級數(shù)收斂范圍是何區(qū)域?問題1:在收斂圓周上是收斂還是發(fā)散,不能作出普通結論,要對詳細級數(shù)進行詳細分析.答案：問題2:冪級數(shù)在收斂圓周上斂散性怎樣?相關冪級數(shù)兩個關鍵問題：第28頁28三、泰勒級數(shù):定理:在以為中心圓域內解析函數(shù)f(z)，能夠在該圓域內展開成冪級數(shù)。

泰勒級數(shù)展開式求法:直接法,間接法.第29頁29常見函數(shù)泰勒展開式第30頁30四、洛朗級數(shù)：洛朗級數(shù)展開式求法:1.直接法2.間接法在計算閉路積分中應用：令n=-1,得或習題4-16(2)第31頁31第五章留數(shù)第32頁32零點與極