對坐標的曲線積分31670省名師優(yōu)質課賽課獲獎課件市賽課一等獎課件

第二講對坐標曲線積分第1頁對坐標曲線積分一、對坐標曲線積分概念、對坐標曲線積分性質、對坐標曲線積分計算、對坐標曲線積分應用、兩類曲線積分之間聯絡第2頁對坐標曲線積分一、對坐標曲線積分概念、對坐標曲線積分性質、對坐標曲線積分計算、對坐標曲線積分應用、兩類曲線積分之間聯絡第3頁一、對坐標曲線積分概念（一）引例（二）對坐標曲線積分定義第4頁一、對坐標曲線積分概念（一）引例（二）對坐標曲線積分定義第5頁變力沿曲線作功分割:求和:取極限:取近似:力

設一質點在xoy面內從點A沿曲線L移動到點B變力所作功?第6頁一、對坐標曲線積分概念（一）引例（二）對坐標曲線積分定義第7頁一、對坐標曲線積分概念（一）引例（二）對坐標曲線積分定義第8頁定義類似地,假如總存在,則稱此極限為函數在有向曲線弧L上對坐標y曲線積分,記作設L為xOy面內從點A到點B一條有向曲線弧,函數在L上有界.在L上沿L方向任意一點列把L分成n個有向小弧段設點為上任意取定小弧段長度最大值時,則稱此極限為函數在有向曲線弧L上積分,記作點,假如當各極限總存在,對坐標x曲線第9頁注應用中經常出現組合形式第二類曲線積分(1)(2)函數P(x,y)在有向光滑曲線弧L上連續(xù)時,存在.通常記為或其中即其中叫做被積函數,叫做積分弧段.以上兩個積分也稱為第二類曲線積分.第10頁函數在空間有向曲線弧Γ上對坐標曲線積分通常將記作第11頁對坐標曲線積分一、對坐標曲線積分概念、對坐標曲線積分性質、對坐標曲線積分計算、對坐標曲線積分應用、兩類曲線積分之間聯絡第12頁對坐標曲線積分一、對坐標曲線積分概念、對坐標曲線積分性質、對坐標曲線積分計算、對坐標曲線積分應用、兩類曲線積分之間聯絡第13頁線性性質可加性與方向相關第14頁對坐標曲線積分一、對坐標曲線積分概念、對坐標曲線積分性質、對坐標曲線積分計算、對坐標曲線積分應用、兩類曲線積分之間聯絡第15頁對坐標曲線積分一、對坐標曲線積分概念、對坐標曲線積分性質、對坐標曲線積分計算、對坐標曲線積分應用、兩類曲線積分之間聯絡第16頁設P(x,y)、Q(x,y)在有向曲線弧L上有定義且連續(xù),定理則曲線積分且存在,L參數方程為（t=α對應L起點，t=β對應L終點）其中在以α及β為端點閉區(qū)間上含有連續(xù)導數,且第17頁注(1)對坐標曲線積分計算歸結為計算一個定積分!(2)化為定積分中三個改變在上述公式中,起點對應下限α,終點對應上限β.L[α,β]或[β,α]P(x,y)Q(x,y)(3)口訣:變量參數化、一小二起下.(4)dxdy第18頁特例(1)L：(2)L：推廣空間曲線弧Γ：（x=a對應L起點，x=b

對應L終點）（y=c對應L起點，y=d

對應L終點）（t=α對應Γ起點，t=β對應Γ終點）第19頁對坐標曲線積分計算思緒明確L方程化為定積分三變、一注意積分弧段L被積函數積分元素一點注意起點對應下限計算定積分[α,β]或[β,α]明確選擇參數方程確定起點和終點對應參數值第20頁對坐標曲線積分解題思緒對坐標曲線積分解題模板L:…明確選擇確定…t由α變到β起點終點對應參數值必寫!明確L方程化為定積分計算定積分由得…L方程為:…∴L方程為:…第21頁計算其中L是拋物線上點到點一段弧.例1例2其中L

為計算(1)按逆時針方向繞行上半圓周.(2)從點沿x軸到點直線段.注正確選擇L方程對計算繁簡非常主要!注被積函數相同、起點和終點也相同，但積分路徑不一樣，積分值可能不相等!第22頁例3計算其中L為(1)拋物線上從到一段弧.(2)拋物線上從到一段弧.(3)有向折線坐標依次為(0,0),(1,0),(1,1).注積分路徑不一樣，積分值可能相等!例4到點直線段AB.計算其中Γ為從點第23頁對坐標曲線積分一、對坐標曲線積分概念、對坐標曲線積分性質、對坐標曲線積分計算、對坐標曲線積分應用、兩類曲線積分之間聯絡第24頁對坐標曲線積分一、對坐標曲線積分概念、對坐標曲線積分性質、對坐標曲線積分計算、對坐標曲線積分應用、兩類曲線積分之間聯絡第25頁變力沿曲線作功例5xoy設一個質點在M(x,y)處受到力作用,沿橢圓大小與M到原點距離成正比,方向恒指向原點.此質點由點A(a,0)按逆時針方向移動到點B(0,b),求力所作功W.第26頁對坐標曲線積分一、對坐標曲線積分概念、對坐標曲線積分性質、對坐標曲線積分計算、對坐標曲線積分應用、兩類曲線積分之間聯絡第27頁對坐標曲線積分一、對坐標曲線積分概念、對坐標曲線積分性質、對坐標曲線積分計算、對坐標曲線積分應用、兩類曲線積分之間聯絡第28頁L參數方程t=α對應起點Aα<βL上任一點M(x,y)處切向量為(指向與L方向一致)t=β對應終點B第29頁L參數方程t=α對應起點Aα<βL上任一點M(x,y)處切向量為(指向與L方向一致)t=β對應終點B第30頁L參數方程t=α對應起點Aα<βL上任一點M(x,y)處切向量為(指向與L方向一致)t=β對應終點B方向余弦第31頁L參數方程t=α對應起點Aα<βL上任一點M(x,y)處切向量為(指向與L方向一致)t=β對應終點B第32頁L參數方程t=α對應起點Aα<βL上任一點M(x,y)處切向量為(指向與L方向一致)t=β對應終點B方向余弦第33頁L參數方程t=α對應起點Aα<βL上任一點M(x,y)處切向量為(指向與L方向一致)t=β對應終點B第34頁L參數方程t=α對應起點Aα<βL上任一點M(x,y)處切向量為(指向與L方向一致)t=β對應終點B第35頁L參數方程t=α對應起點Aα<βL上任一點M(x,y)處切向量為(指向