江蘇省南京市十三中2024屆數學九上期末達標測試試題含解析

江蘇省南京市十三中2024屆數學九上期末達標測試試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題(每小題3分,共30分)1．若點A（﹣1，0）為拋物線y＝﹣3（x﹣1）2+c圖象上一點，則當y≥0時，x的取值范圍是（）A．﹣1＜x＜3 B．x＜﹣1或x＞3 C．﹣1≤x≤3 D．x≤﹣1或x≥32．如圖，在平行四邊形ABCD中，點E在邊DC上，DE：EC=3：1，連接AE交BD于點F，則△DEF的面積與△BAF的面積之比為（）A．3：4 B．9：16 C．9：1 D．3：13．如圖，△ABC的三個頂點分別為A(1，2)、B(4，2)、C(4，4)．若反比例函數y＝在第一象限內的圖象與△ABC有交點，則k的取值范圍是()A．1≤k≤4 B．2≤k≤8 C．2≤k≤16 D．8≤k≤164．如圖，l1∥l2∥l3，直線a，b與l1，l2，l3分別相交于點A、B、C和點D、E、F，若，DE=4，則DF的長是（）A． B． C．10 D．65．如圖，的頂點均在上，若，則的度數為（）A． B． C． D．6．已知拋物線具有如下性質:拋物線上任意一點到定點的距離與到軸的距離相等.如圖點的坐標為,是拋物線上一動點，則周長的最小值是（）A． B． C． D．7．方程﹣1＝的解是（）A．﹣1 B．2或﹣1 C．﹣2或3 D．38．在△ABC與△DEF中，，，如果∠B=50°，那么∠E的度數是（）．A．50°； B．60°；C．70°； D．80°．9．拋物線y＝3x2﹣6x+4的頂點坐標是（）A．（1，1） B．（﹣1，1） C．（﹣1，﹣2） D．（1，2）10．劉徽是我國古代一位偉大的數學家，他的杰作《九章算術注》和《海寶算經》是中國寶貴的文化遺產.他所提出的割圓術可以估算圓周率.割圓術是依次用圓內接正六邊形、正十二邊形…去逼近圓.如圖，的半徑為1，則的內接正十二邊形面積為()A．1 B．3 C．3.1 D．3.14二、填空題(每小題3分,共24分)11．一個扇形的弧長是，它的面積是，這個扇形的圓心角度數是_____．12．如果∠A是銳角，且sinA=，那么∠A=________゜．13．設x1，x2是方程x2+3x﹣1＝0的兩個根，則x1+x2＝_____．14．如圖，⊙O的半徑OC=10cm，直線l⊥OC，垂足為H，交⊙O于A，B兩點，AB=16cm，直線l平移____________cm時能與⊙O相切．15．如圖，在由邊長為1的小正方形組成的網格中．點A，B，C，D都在這些小正方形的格點上，AB、CD相交于點E，則sin∠AEC的值為_____．16．小芳的房間有一面積為3

m2的玻璃窗,她站在室內離窗子4

m的地方向外看,她能看到窗前面一幢樓房的面積有____m2(樓之間的距離為20

m).17．將拋物線y=x2先沿x軸方向向左平移2個單位，再沿y軸方向向下平移3個單位，所得拋物線的解析式是__．18．一個盒子里有完全相同的三個小球，球上分別標有數字，，，隨機摸出一個小球（不放回），其數字為，再隨機摸出另一個小球其數字記為，則滿足關于的方程有實數根的概率是___________．三、解答題(共66分)19．（10分）閱讀下面內容，并按要求解決問題：問題：“在平面內，已知分別有2個點，3個點，4個點，5個點，…，個點，其中任意三個點都不在同一條直線上經過每兩點畫一條直線，它們可以分別畫多少條直線？”探究：為了解決這個問題，希望小組的同學們，設計了如下表格進行探究：（為了方便研究問題，圖中每條線段表示過線段兩端點的一條直線）點數2345…示意圖…直線條數1…請解答下列問題：（1）請幫助希望小組歸納，并直接寫出結論：當平面內有個點時，直線條數為______；（2）若某同學按照本題中的方法，共畫了28條直線，求該平面內有多少個已知點？20．（6分）如圖，四邊形ABCD內接于圓，AD、BC的延長線交于點E，F是BD延長線上一點，DE平分∠CDF．求證：AB=AC．21．（6分）操作：在△ABC中,AC=BC=4,∠C=90°，將一塊直角三角板的直角頂點放在斜邊AB的中點P處，將三角板繞點P旋轉，三角板的兩直角邊分別交射線AC、CB于D、E兩點。如圖①、②、③是旋轉三角板得到的圖形中的3種情況。探究：（1）如圖①，PD⊥AC于D，PE⊥BC于E，則重疊部分四邊形DCEP的面積為___，周長___.（2）三角板繞點P旋轉，觀察線段PD與PE之間有什么數量關系?并結合圖②加以證明；（3）三角板繞點P旋轉,△PBE是否能成為等腰三角形?若能,指出所有情況(即寫出△PBE為等腰三角形時CE的長)；若不能，請說明理由。22．（8分）如圖，△OAP是等腰直角三角形，∠OAP＝90°，點A在第四象限，點P坐標為（8，0），拋物線y＝ax2+bx+c經過原點O和A、P兩點．（1）求拋物線的函數關系式．（2）點B是y軸正半軸上一點，連接AB，過點B作AB的垂線交拋物線于C、D兩點，且BC＝AB，求點B坐標；（3）在（2）的條件下，點M是線段BC上一點，過點M作x軸的垂線交拋物線于點N，求△CBN面積的最大值．23．（8分）平面直角坐標系中，函數（x>0），y=x-1，y=x-4的圖象如圖所示，p（a,b）是直線上一動點，且在第一象限.過P作PM∥x軸交直線于M，過P作PN∥y軸交曲線于N.（1）當PM=PN時，求P點坐標（2）當PM>PN時，直接寫出a的取值范圍.24．（8分）如圖，為⊙的直徑，為⊙上一點，為的中點．過點作直線的垂線，垂足為，連接．（1）求證：；（2）與⊙有怎樣的位置關系？請說明理由．25．（10分）如圖所示，在中，于點E，于點F，延長AE至點G，使EG＝AE，連接CG．（1）求證：；（2）求證：四邊形EGCF是矩形．26．（10分）（1）某學?！皩W習落實”數學興趣小組遇到這樣一個題目：如圖1，在中，點在線段上，，，，，求的長．經過數學小組成員討論發(fā)現，過點作，交的延長線于點，通過構造就可以解決問題（如圖2）請回答：，．（2）請參考以上解決思路，解決問題：如圖在四邊形中對角線與相交于點，，，，．求的長．

參考答案一、選擇題(每小題3分,共30分)1、C【分析】根據點A（﹣1，0）為拋物線y＝﹣3（x﹣1）2+c圖象上一點，可以求得c的值，從而可以得到該拋物線的解析式，然后令y＝0，求得拋物線與x軸的交點，然后根據二次函數的性質即可得到當y≥0時，x的取值范圍．【題目詳解】解：∵點A（﹣1，0）為拋物線y＝﹣3（x﹣1）2+c圖象上一點，∴0＝﹣3（﹣1﹣1）2+c，得c＝12，∴y＝﹣3（x﹣1）2+12，當y＝0時，﹣3（x﹣1）2+12=0，解得：x1＝﹣1，x2＝3，又∵-3＜0，拋物線開口向下，∴當y≥0時，x的取值范圍是﹣1≤x≤3，故選：C．【題目點撥】本題考查拋物線與x軸的交點、二次函數的性質、二次函數圖象上點的坐標特征，解答本題的關鍵是明確題意，利用二次函數的性質解答．2、B【分析】可證明△DFE∽△BFA，根據相似三角形的面積之比等于相似比的平方即可得出答案．【題目詳解】∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴DC∥AB，∴△DFE∽△BFA，∵DE：EC=3：1，∴DE：DC=3：4，∴DE：AB=3：4，∴S△DFE：S△BFA=9：1．故選B．3、C【解題分析】試題解析：由于△ABC是直角三角形，所以當反比例函數經過點A時k最小，進過點C時k最大，據此可得出結論．∵△ABC是直角三角形，∴當反比例函數經過點A時k最小，經過點C時k最大，∴k最小=1×2=2，k最大=4×4=1，∴2≤k≤1．故選C．4、C【解題分析】試題解析：又DE=4，∴EF=6，∴DF=DE+EF=10，故選C.5、D【分析】根據同弧所對圓心角等于圓周角的兩倍，可得到∠BOC=2∠BAC，再結合已知即可得到此題的答案.【題目詳解】∵∠BAC和∠BOC分別是所對的圓周角和圓心角，∴∠BOC=2∠BAC.∵∠BAC=35°，∴∠BOC=70°.故選D.【題目點撥】本題考查了圓周角定理，熟練掌握定理是解題的關鍵.6、C【分析】作過作軸于點，過點作軸于點，交拋物線于點，由結合，結合點到直線之間垂線段最短及MF為定值，即可得出當點P運動到點P′時，△PMF周長取最小值，再由點、的坐標即可得出、的長度，進而得出周長的最小值．【題目詳解】解：作過作軸于點，由題意可知：，∴周長=，又∵點到直線之間垂線段最短，∴當、、三點共線時最小，此時周長取最小值，過點作軸于點，交拋物線于點，此時周長最小值，、，，，周長的最小值．故選：．【題目點撥】本題考查了二次函數的性質、二次函數圖象上點的坐標特征以及點到直線的距離，根據點到直線之間垂線段最短找出△PMF周長的取最小值時點P的位置是解題的關鍵．7、D【分析】找到最簡公分母，去分母后得到關于x的一元二次方程，求解后，再檢驗是否有增根問題可解.【題目詳解】解：去分母得2x﹣（x2﹣4）＝x﹣2，整理得x2﹣x﹣6＝0，解得x1＝1，x2＝-2，檢驗：當x＝1時，x2﹣4≠0，所以x＝1是原方程的解；當x＝-2時，x2﹣4＝0，所以x＝2是原方程的增根，所以原方程的解為x＝1．故選：D．【題目點撥】本題考查了可化為一元二次方程的分式方程的解法，解答完成后要對方程的根進行檢驗，判定是否有增根產生.8、C【分析】根據已知可以確定；根據對應角相等的性質即可求得的大小，即可解題．【題目詳解】解：∵，，∴與是對應角，與是對應角，故．故選：C．【題目點撥】本題考查了相似三角形的判定及性質，本題中得出和是對應角是解題的關鍵．9、A【解題分析】利用二次函數的性質可求出拋物線的頂點坐標，此題得解（利用配方法找出頂點坐標亦可）．【題目詳解】∵a=3，b=﹣6，c=4，∴拋物線的頂點坐標為（），即（1，1）．故選A．【題目點撥】本題考查了二次函數的性質，牢記“二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的頂點坐標是（）”是解題的關鍵．10、B【分析】根據直角三角形的30度角的性質以及三角形的面積公式計算即可解決問題．【題目詳解】解：如圖，作AC⊥OB于點C.∵⊙O的半徑為1，∴圓的內接正十二邊形的中心角為360°÷12=30°，∴過A作AC⊥OB，∴AC=OA=，∴圓的內接正十二邊形的面積S=12××1×=3.故選B.【題目點撥】此題主要考查了正多邊形和圓，三角形的面積公式等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考?？碱}型．二、填空題(每小題3分,共24分)11、120°【分析】設扇形的半徑為r，圓心角為n°．利用扇形面積公式求出r，再利用弧長公式求出圓心角即可．【題目詳解】設扇形的半徑為r，圓心角為n°．由題意：,∴r＝4，∴∴n＝120，故答案為120°【題目點撥】本題考查扇形的面積的計算，弧長公式等知識，解題的關鍵是掌握基本知識.12、1【分析】直接利用特殊角的三角函數值得出答案．【題目詳解】解：∵∠A是銳角，且sinA=，∴∠A=1°．故答案為1．考點：特殊角的三角函數值．13、﹣1．【分析】直接根據一元二次方程根與系數的關系求解即可．【題目詳解】解：∵x1，x2是方程x2+1x﹣1＝0的兩個根，∴x1+x2＝﹣1．故答案為﹣1．【題目點撥】本題考查了根與系數的關系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根時，x1+x2＝-，x1x2＝．14、4或1【分析】要使直線l與⊙O相切，就要求CH與DH，要求這兩條線段的長只需求OH弦心距，為此連結OA，由直線l⊥OC，由垂徑定理得AH=BH，在Rt△AOH中，求OH即可．【題目詳解】連結OA∵直線l⊥OC，垂足為H，OC為半徑，∴由垂徑定理得AH=BH=AB=8∵OA=OC=10，在Rt△AOH中，由勾股定理得OH=，CH=OC-OH=10-6=4，DH=2OC-CH=20-4=1，，直線l向左平移4cm時能與⊙O相切或向右平移1cm與⊙O相切．故答案為：4或1．【題目點撥】本題考查平移直線與與⊙O相切問題，關鍵是求弦心距OH，會利用垂徑定理解決AH，會用勾股定理求OH，掌握引輔助線，增加已知條件，把問題轉化為三角形形中解決．15、【分析】通過作垂線構造直角三角形，由網格的特點可得Rt△ABD是等腰直角三角形，進而可得Rt△ACF是等腰直角三角形，求出CF，再根據△ACE∽△BDE的相似比為1：3，根據勾股定理求出CD的長，從而求出CE，最后根據銳角三角函數的意義求出結果即可．【題目詳解】過點C作CF⊥AE，垂足為F，在Rt△ACD中，CD＝，由網格可知，Rt△ABD是等腰直角三角形，因此Rt△ACF是等腰直角三角形，∴CF＝AC?sin45°＝，由AC∥BD可得△ACE∽△BDE，∴，∴CE＝CD＝，在Rt△ECF中，sin∠AEC＝，故答案為：．【題目點撥】考查銳角三角函數的意義、直角三角形的邊角關系，作垂線構造直角三角形是解決問題常用的方法，借助網格，利用網格中隱含的邊角關系是解決問題的關鍵．16、108【解題分析】考點：平行投影；相似三角形的應用．分析：在不同時刻，同一物體的影子的方向和大小可能不同，不同時刻物體在太陽光下的影子的大小在變，方向也在改變，依此進行分析．解答：解：根據題意：她能看到窗前面一幢樓房的圖形與玻璃窗的外形應該相似，且相似比為=6，故面積的比為36；故她能看到窗前面一幢樓房的面積有36×3=108m1．點評：本題考查了平行投影、視點、視線、位似變換、相似三角形對應高的比等于相似比等知識點．注意平行投影特點：在同一時刻，不同物體的物高和影長成比例17、y=（x+2）2-1【分析】根據左加右減，上加下減的變化規(guī)律運算即可．【題目詳解】解：按照“左加右減，上加下減”的規(guī)律，向左平移2個單位，將拋物線y＝x2先變?yōu)閥＝（x＋2）2，再沿y軸方向向下平移1個單位拋物線y＝（x＋2）2即變?yōu)椋簓＝（x＋2）2?1，故答案為：y＝（x＋2）2?1．【題目點撥】本題考查了拋物線的平移，掌握平移規(guī)律是解題關鍵．18、．【解題分析】解：畫樹狀圖得：∵共有6種等可能的結果，滿足關于x的方程x2+px+q=0有實數根的有4種情況，∴滿足關于x的方程x2+px+q=0有實數根的概率是：．故答案為．三、解答題(共66分)19、（1）；（2）該平面內有8個已知點．【分析】（1）根據圖表中數據過兩點的直線有1條，過不在同一直線上的三點的直線有3條，過任何三點都不在一條直線上的四點的直線有6條，可總結歸納出平面內點與直線的關系為；（2）設設該平面內有個已知點．利用得出的關系式列方程求解即可．【題目詳解】解：（1）當平面內有2個點時：可以畫條直線；當平面內有3個點時：可以畫條直線；當平面內有4個點時：可以畫條直線；…當平面內有個點時：可以畫條直線；（2）設該平面內有個已知點．由題意，得．解得，（舍）．答：該平面內有8個已知點．【題目點撥】此題是探求規(guī)律題并考查解一元二次方程，讀懂題意，找出規(guī)律是解題的關鍵，解題時能夠進行知識的遷移是一種重要的解題能力．20、見解析【解題分析】試題分析：先根據角平分線的性質得出∠CDE=∠EDF，再由對頂角相等得出∠EDF=∠ADB，∠CDE=∠ADB．根據圓內接四邊形的性質得出∠CDE=∠ABC，∠ADB=∠ACB，進而可得出結論．證明：∵DE平分∠CDF，∴∠CDE=∠EDF．∵∠EDF=∠ADB，∴∠CDE=∠ADB．∵∠CDE=∠ABC，∠ADB=∠ACB，∴∠ABC=∠ACB，∴AB=AC．考點：圓周角定理．21、（1）4，8；（1）證明見詳解；（3）CE=0或1或或；【分析】（1）根據點P是AB的中點可判斷出PD、PE是△ABC的中位線，繼而可得出PD、PE的長度，也可得出四邊形DCEP的周長和面積．（1）先根據圖形可猜測PD=PE，從而連接CP，通過證明△PCD≌△PEB，可得出結論．（3）題目只要求是等腰三角形，所以需要分四種情況進行討論，這樣每一種情況下的CE的長也就不難得出．【題目詳解】解：（1）根據△ABC中，AC=BC=4，∠C=90°，∵PD⊥AC，PE⊥BC，∴PD∥BC，PE∥AC，又∵點P是AB中點，∴PD、PE是△ABC的中位線，∴PD=CE=1，PE=CD=1，∴四邊形DCEP是正方形，面積為：1×1=4，周長為：1+1+1+1=8；故答案為：4，8（1）PD=PE；證明如下：AC=BC，∠C=90°，P為AB中點，連接CP，∴CP平分∠C，CP⊥AB，∵∠PCB=∠B=45°，∴CP=PB，∵∠DPC+∠CPE=∠CPE+∠EPB=90°，∴∠DPC=∠EPB，在△PCD和△PEB中，,∴△PCD≌△PBE（ASA），∴PD=PE．（3）△PBE是等腰三角形，∵AC=BC=4，∠ACB=90°，∴，∴PB=；①PE=PB時，此時點C與點E重合，CE=0；②當PB=BE時，如圖，E在線段BC上，CE＝；③當PB=BE時，如圖，E在CB的延長線上，CE＝；④當PE=BE時，此時，點E是BC中點，則CE=1．綜合上述，CE的長為：0或1或或；【題目點撥】本題考查了旋轉的性質、等腰三角形的性質與判定，第三問的解答應分情況進行論證，不能漏解，有一定難度．22、（1）；（2）；（3）.【分析】（1）先根據是等腰直角三角形，和點P的坐標求出點A的坐標，再利用待定系數法即可求得；（2）設點，如圖（見解析），過點C作CH垂直y軸于點H，過點A作AQ垂直y軸于點Q，易證明，可得，則點C坐標為，將其代入題（1）中的拋物線函數關系式即可得；（3）如圖，延長NM交CH于點E，則，先通過點B、C求出直線BC的函數關系式，因點N在拋物線上，則設，則可得點M的坐標，再根據三角形的面積公式列出等式，利用二次函數的性質求最值即可.【題目詳解】（1）是等腰直角三角形，，點P坐標為則點A的坐標為將點O、A、B三點坐標代入拋物線的函數關系式得：，解得：故拋物線的函數關系式為：；（2）設點，過點C作CH垂直y軸于點H，過點A作AQ垂直y軸于點Q，又故點C的坐標為將點C的坐標代入題（1）的拋物線函數關系式得：，解得：故點B的坐標為；（3）如圖，延長NM交CH于點E，則設直線BC的解析式為：，將點，點代入得：解得：則直線BC的解析式為：因點N在拋物線上，設，則點M的坐標為的面積即整理得：又因點M是線段BC上一點，則由二次函數的性質得：當時，y隨x的增大而增大；當時，y隨x的增大而減小故當時，取得最大值.【題目點撥】本題是一道較好的綜合題，考查了待定系數法求二次函數的解析式、三角形全等的判定定理與性質、二次函數圖象的性質，熟練掌握并靈活運用這些知識點是解題關鍵.23、（1）（2，1）或（，）；（2）【分析】（1）根據直線與直線的特征，可以判斷為平行四邊形，且，再根據坐標特征得到等式=3，即可求解；（2）根據第（1）小題的結果結合圖象即可得到答案.【題目詳解】（1）∵直線與軸交點，直線與軸交點，∴，∵直線與直線平行，且∥軸，∴為平行四邊形，∴，∵∥軸，在的圖象上，∴，∵在直線上，∴，∵，∴=3，解得：或，（2）如圖，∵或，，當點在直線和區(qū)間運動時，,∴【題目點撥】本題考查了一次函數與反比例函數的交點問題，利用函數圖象性質