第三章 3.1.1　橢圓及其標準方程

第三章圓錐曲線的方程3.1橢圓3.1.1橢圓及其標準方程點擊此處進入圖書配套內(nèi)容內(nèi)容概覽教材認知掌握必備知識點擊進入合作探究形成關鍵能力點擊進入【素養(yǎng)導引】1.了解橢圓的實際背景.(數(shù)學抽象)2.經(jīng)歷從具體情境中抽象出橢圓模型的過程,掌握橢圓的定義及標準方程.(數(shù)學抽象、數(shù)學運算)教材認知掌握必備知識一、橢圓的定義(1)條件:平面內(nèi)的兩個定點F1,F2,一個動點M;(2)關系:動點與兩個定點的距離的和等于______(大于_______);(3)概念:動點的軌跡叫橢圓,兩個定點叫橢圓的______,兩焦點之間的距離叫做______.常數(shù)|F1F2|焦點焦距【批注】(1)“常數(shù)大于|F1F2|”:當動點M與定點F1,F2不共線時,三角形兩邊之和大于第三邊,當動點M與定點F1,F2共線時,|MF1|+|MF2|=|F1F2|+|MF1|(|MF2|)>|F1F2|;(2)“常數(shù)等于|F1F2|”:動點M的軌跡為線段F1F2;(3)“常數(shù)小于|F1F2|”:動點M的軌跡不存在.[診斷]辨析記憶(對的打“√”,錯的打“×”).(1)已知F1(-4,0),F2(4,0),平面內(nèi)到F1,F2兩點的距離之和等于8的點的軌跡是橢圓.(

)提示:因為2a=|F1F2|=8,動點的軌跡是線段F1F2,不是橢圓.(2)已知F1(-4,0),F2(4,0),平面內(nèi)到F1,F2兩點的距離之和等于6的點的軌跡是橢圓.(

)提示:2a<|F1F2|,動點的軌跡不存在.(3)平面內(nèi)到點F1(-4,0),F2(4,0)兩點的距離之和等于點M(5,3)到F1,F2的距離之和的點的軌跡是橢圓.

(

)提示:符合橢圓的定義.××√二、橢圓的標準方程項目焦點在x軸上焦點在y軸上標準方程圖

形焦點坐標____________________a,b,c的關系c2=_____(a>b>0)(a>b>0)(-c,0),(c,0)(0,-c),(0,c)a2-b2

合作探究形成關鍵能力

【思維提升】1.定義法求橢圓方程利用定義,直接求出a,c,再求出b后根據(jù)焦點的位置寫出橢圓的方程.2.待定系數(shù)法求橢圓標準方程的步驟(1)作判斷:依據(jù)條件判斷橢圓的焦點在x軸上還是在y軸上,還是在兩個坐標軸上都有可能.

(2)本例的條件不變,若過F1的直線與橢圓交于A,B兩點,則△ABF2的周長為________.

【解析】△ABF2的周長為|AB|+|AF2|+|BF2|=|AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=2a+2a=4a=16.答案:16【思維提升】關于橢圓定義的應用橢圓上的點P滿足|PF1|+|PF2|=2a,往往作為隱含條件,結(jié)合其他已知條件解題,有時需要通過變形構(gòu)造定義,由|PF1|+|PF2|進行關聯(lián).【即學即練】如圖所示,已知橢圓的兩焦點為F1(-1,0),F