學(xué)生初中數(shù)學(xué)函數(shù)專題復(fù)習(xí)北師大版知識(shí)精講

學(xué)生初中數(shù)學(xué)函數(shù)專題復(fù)習(xí)北師大版知識(shí)精講（完整版）資料(可以直接使用，可編輯優(yōu)秀版資料，歡迎下載）

學(xué)生初中數(shù)學(xué)函數(shù)專題復(fù)習(xí)北師大版知識(shí)精講（完整版）資料(可以直接使用，可編輯優(yōu)秀版資料，歡迎下載）初三數(shù)學(xué)函數(shù)專題復(fù)習(xí)北師大版（一）一次函數(shù)1.定義：在定義中應(yīng)注意的問(wèn)題y＝kx＋b中，k、b為常數(shù)，且k≠0，x的指數(shù)一定為1。2.圖象及其性質(zhì)（1）形狀：直線（4）當(dāng)b>0時(shí)直線與y軸交于原點(diǎn)上方；當(dāng)b<0時(shí)，直線與y軸交于原點(diǎn)的下方。（5）當(dāng)b=0時(shí)，y＝kx（k≠0）為正比例函數(shù)，其圖象是一過(guò)原點(diǎn)的直線。（6）二元一次方程組與一次函數(shù)的關(guān)系：兩一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)的坐標(biāo)即為所對(duì)應(yīng)方程組的解。3.應(yīng)用：要點(diǎn)是（1）會(huì)通過(guò)圖象得信息；（2）能根據(jù)題目中所給的信息寫(xiě)出表達(dá)式。【例題分析】例1.已知一次函數(shù)y＝kx＋2的圖象過(guò)第一、二、三象限且與x、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，O為原點(diǎn)，若ΔAOB的面積為2，求此一次函數(shù)的表達(dá)式。例2.小明用的練習(xí)本可以在甲商店買，也可以在乙店買，已知兩店的標(biāo)價(jià)都是每本1元，但甲店的優(yōu)惠條件是：購(gòu)買10本以上從第11本開(kāi)始按標(biāo)價(jià)的70%賣，乙店的優(yōu)惠條件是：從第1本開(kāi)始就按標(biāo)價(jià)的85%賣。（1）小明買練習(xí)本若干本（多于10）設(shè)購(gòu)買x本，在甲店買付款數(shù)為y1元，在乙店買付款數(shù)為y2元，請(qǐng)分別寫(xiě)出在兩家店購(gòu)練習(xí)本的付款數(shù)與練習(xí)本數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）小明買20本到哪個(gè)商店購(gòu)買更合算？（3）小明現(xiàn)有24元錢，最多可買多少本？（二）反比例函數(shù)1.定義：2.圖象及其性質(zhì)：（1）形狀：雙曲線（4）過(guò)圖象上任一點(diǎn)作x軸與y軸的垂線與坐標(biāo)軸構(gòu)成的矩形面積為|k|。【例題分析】例3.李先生參加了新月電腦公司推出的分期付款購(gòu)買電腦活動(dòng)，他購(gòu)買的電腦價(jià)格為1.2萬(wàn)元，交了首付之后每月付款y元，x個(gè)月結(jié)清余款。y與x的函數(shù)關(guān)系如圖所示，試根據(jù)圖象所提供的信息回答下列問(wèn)題：（1）確定y與x的函數(shù)關(guān)系式，并求出首付款的數(shù)目（2）李先生若用4個(gè)月結(jié)清余款，每月應(yīng)付多少元？（3）如打算每月付款不超過(guò)500元，李先生至少幾個(gè)月才能結(jié)清余款？（三）二次函數(shù)1.定義：應(yīng)注意的問(wèn)題（1）在表達(dá)式y(tǒng)＝ax2＋bx＋c中（a、b、c為常數(shù)且a≠0）（2）二次項(xiàng)指數(shù)一定為22.圖象：拋物線3.圖象的性質(zhì)：分五種情況可用表格來(lái)說(shuō)明4.應(yīng)用：（1）最大面積；（2）最大利潤(rùn)；（3）其它【例題分析】例4.例5.在體育測(cè)試時(shí)，初三一名男同學(xué)推鉛球，已知鉛球所經(jīng)過(guò)的路線是某個(gè)二次函數(shù)圖象的一部分，如果這個(gè)同學(xué)出手處A的坐標(biāo)為（0，2），鉛球路線的最高處B的坐標(biāo)為（6，5），①求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；②你若是體育老師，你能求出這名同學(xué)的成績(jī)嗎？例6.某商品平均每天銷售40件，每件盈利20元，若每件每降階1元，每天可多銷售10件。（1）若每件降價(jià)x元，可獲的總利潤(rùn)為y元，寫(xiě)出x與y之間的關(guān)系式。（2）每件降價(jià)多少元時(shí)，每天利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)為多少？【模擬試題——小試牛刀大顯身手】一．選擇題1.在同一坐標(biāo)系中，小明描出了函數(shù)的圖像，得出的結(jié)論是：（1）過(guò)（-3，0）的是②③；（2）兩條直線相交且交點(diǎn)在y軸上的是②④；（3）互相平行的是①③；（4）關(guān)于x軸對(duì)稱的是①②，其中說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)是（）A.1B.2C.3D.42.將函數(shù)的圖象沿y軸向下平移2個(gè)單位得到的函數(shù)是（）A.B.C.D.無(wú)法確定3.如圖OA、BA分別表示甲、乙兩名學(xué)生運(yùn)動(dòng)的一次函數(shù)圖像，s，t分別表示運(yùn)動(dòng)路程和時(shí)間，根據(jù)圖象判斷，快者比慢者每秒快（）A.2.5mB.2mC.5m4.土地沙漠化是人類生存的大敵，某地有綠地4萬(wàn)公頃，由于人類環(huán)境意識(shí)不強(qiáng)，植被遭到破壞，經(jīng)過(guò)觀察土地沙漠化速度為0.2萬(wàn)公頃/年，那么七年后所剩的綠地面積S（萬(wàn)公頃）與時(shí)間t（年）之前的函數(shù)圖象大致是（）5.下列函數(shù)中屬于反比例函數(shù)的有（）A.B.C.D.6.在同一坐標(biāo)系中，中函數(shù)與函數(shù)的圖象大致是（）7.拋物線的頂點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)為（）A.（3，-2）B.（-3，-2）C.（-2，3）D.（-3，2）8.已知下圖為二次函數(shù)的圖象，則一次函數(shù)的圖象不經(jīng)過(guò)（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限9.如圖函數(shù)與圖象交于A、B兩點(diǎn)，過(guò)A作AC⊥y軸，垂足為C，則△ABC的面積為（）A.1 B.2 C.3 D.410.在平面直角坐標(biāo)系中，若一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，則該點(diǎn)一定不在（）A.直線上 B.直線上C.拋物線上 D.雙曲線上二．填空題：11.中，當(dāng)m=_____時(shí)，y為x的一次函數(shù)，當(dāng)m=______時(shí)，y是x的二次函數(shù)。12.下圖中兩條直線的交點(diǎn)可以看成方程組_______________的解。13.已知，則已知直線與x軸交點(diǎn)A的坐標(biāo)為_(kāi)________。若直線與已知直線關(guān)于y軸對(duì)稱，則k=_____，b=_______.14.在同一坐標(biāo)系中，與的圖象沒(méi)有公共點(diǎn)，則______0。15.已知反比例函數(shù)的圖象在每個(gè)象限內(nèi)y隨x的增大而減小，則m的取值范圍為_(kāi)______。16.若點(diǎn)A（-2，），B（-1，），C（3，）在反比例函數(shù)的圖象上，當(dāng)時(shí)，的大小關(guān)系為_(kāi)_______；若呢？__________。17.某生利用一個(gè)最大電阻為200的滑動(dòng)變阻器及一電流表測(cè)電源電壓如圖所示：（1）該電源兩端電壓為_(kāi)______。（2）電流I（A）與電阻R（）之間的函數(shù)關(guān)系式為_(kāi)_______。（3）當(dāng)電阻在2~200之間時(shí)，電流應(yīng)在______范圍內(nèi)，電流隨電阻的增大而__________。（4）若限制電流不超過(guò)20A，則電阻應(yīng)在________之間。18.已知拋物線的圖象中，x______時(shí)，y隨x的增大而減小，當(dāng)x______時(shí)，y的值最小為_(kāi)____。19.某工廠計(jì)劃為一批長(zhǎng)方體的產(chǎn)品上油漆，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)和寬相等，高比長(zhǎng)多0.5m，若長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為x米，涂的油漆每立方米5元，油漆每個(gè)長(zhǎng)方形所需的費(fèi)用y（元）與x（米）之間的關(guān)系式為_(kāi)______________。20.橋拱為一拋物線形，其函數(shù)的解析式為，當(dāng)水位線在AB位置時(shí)，水面寬12米，這時(shí)水面離橋頂?shù)母叨萮是______米。三．解答題。21.托運(yùn)行李P千克（P為整數(shù)），已知托運(yùn)第一個(gè)1千克需付2元，以后每增加1千克（不足1千克按1（1）請(qǐng)寫(xiě)出托運(yùn)行李費(fèi)用C與P的關(guān)系式；（2）計(jì)算當(dāng)重量為3.5千克時(shí)的費(fèi)用；（3）若付費(fèi)為9.5元時(shí)，行李最多重多少千克？22.某玩具廠計(jì)劃生產(chǎn)一種玩具熊貓，每月最高產(chǎn)量為140只，且每日產(chǎn)出的產(chǎn)品全部售出，已知生產(chǎn)x只玩具熊貓的成本價(jià)為R元，銷售收入為P元，且R、P與x的關(guān)系式分別為R=500+30x，P=55x（1）在同一直角坐標(biāo)系中作出它們的函數(shù)圖象；（2）至少生產(chǎn)多少只玩具，才能保證不虧本；（3）當(dāng)產(chǎn)量為多少時(shí)，獲得的利潤(rùn)為1750元。23.我邊防軍接到情報(bào)，近海處有一可疑船只A正向公海方向行駛，邊防局迅速派出快艇B追趕，圖中L1、L2分別表示兩船相對(duì)海岸的距離s（海里）與時(shí)間t（分）之間的關(guān)系。根據(jù)圖像回答下列問(wèn)題：（1）哪一條線表示B到海岸的距離s(海里)與時(shí)間t(分)之間的關(guān)系？并說(shuō)明理由。（2）18分鐘內(nèi)B能否追上A？你是如何判斷的？（3）請(qǐng)分別求出表示B和A兩船相對(duì)海岸的距離s(海里)與時(shí)間t（分）之間的函數(shù)關(guān)系。（4）當(dāng)A逃到離海岸20海里的公海時(shí)，B將無(wú)法對(duì)其進(jìn)行檢查，照此速度B能否在A逃入公海前將其攔截，請(qǐng)說(shuō)明理由。24.在直角坐標(biāo)系中，直線與雙曲線在第一象限交于A點(diǎn)，與x軸交于C點(diǎn)，AB⊥x軸于B，且S△AOB=1，求①m的值；②求S△ABC。25.（1）求的表達(dá)式。（2）一次函數(shù)的圖象有交點(diǎn)，求m的取值范圍。26.已知拋物線C1的解析式是，拋物線C2與C1關(guān)于x軸對(duì)稱，求拋物線C2的解析式。27.某校研究性學(xué)習(xí)小組在研究有關(guān)二次函數(shù)及其圖像性質(zhì)的問(wèn)題時(shí)，發(fā)現(xiàn)了兩個(gè)重要結(jié)論，一是發(fā)現(xiàn)拋物線，當(dāng)實(shí)數(shù)a變化時(shí)，它的頂點(diǎn)都在某條直線上；二是發(fā)現(xiàn)當(dāng)實(shí)數(shù)a變化時(shí)，若把拋物線的頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)減少，縱坐標(biāo)增加，得到A點(diǎn)；若把頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)增加，縱坐標(biāo)增加，得到B點(diǎn)，則A、B兩點(diǎn)一定仍在拋物線上，（1）請(qǐng)你協(xié)助探求出當(dāng)實(shí)數(shù)a變化時(shí)，拋物線的頂點(diǎn)所在直線的解析式。（2）問(wèn)題（1）中的直線上有一個(gè)點(diǎn)不是該拋物線的頂點(diǎn)，你能找出它來(lái)嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由。（3）在他們第二個(gè)發(fā)現(xiàn)的啟發(fā)下，運(yùn)用“一般——特殊——一般”的思想，你還能發(fā)現(xiàn)什么？用數(shù)學(xué)語(yǔ)言將你的猜想表述出來(lái)。你的猜想能成立嗎？若能請(qǐng)說(shuō)明理由。28.某公司推出了一種高效環(huán)保型洗滌用品，年初上市后，公司經(jīng)歷了從虧損到盈利的過(guò)程，下面的二次函數(shù)圖像（部分）刻畫(huà)了該公司年初以來(lái)累積利潤(rùn)s(萬(wàn)元)與銷售時(shí)間t（月）之間的關(guān)系，（即前七個(gè)月的利潤(rùn)總和s與t之間的關(guān)系），根據(jù)圖像提供的信息，解答下列問(wèn)題：（1）由已知圖像上的三點(diǎn)坐標(biāo)，求累積利潤(rùn)s(萬(wàn)元)與時(shí)間t（月）之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）求截止到幾月末公司累積利潤(rùn)可達(dá)到30萬(wàn)元；（3）求第8個(gè)月公司所獲利潤(rùn)是多少萬(wàn)元？29.某高科技發(fā)展公司投資500萬(wàn)元，成功研制出一種市場(chǎng)需求量較大的高科技替代產(chǎn)品，并投入資金1500萬(wàn)元作為固定投資，已知生產(chǎn)每件產(chǎn)品的成本為40元，在銷售過(guò)程中發(fā)現(xiàn)：當(dāng)銷售單價(jià)定為100元時(shí)，年銷售量為20萬(wàn)件，銷售單價(jià)每增加10元，年銷售量將減少1萬(wàn)元。設(shè)銷售單價(jià)為x（元），年銷售量為y（萬(wàn)件），年獲利（年獲利=年銷售額－生產(chǎn)成本－投資）為z（萬(wàn)元）（1）試寫(xiě)出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）試寫(xiě)出z與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）計(jì)算銷售單價(jià)為160元時(shí)的年獲利，并說(shuō)明同樣的年獲利銷售單價(jià)還可以定為多少元？相應(yīng)的年銷售量分別為多少萬(wàn)件（4）請(qǐng)你幫該公司算一下，當(dāng)x取何值時(shí)，年獲利最大？最大為多少？數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)特殊的平行四邊形復(fù)習(xí)中考考點(diǎn)綜述： 特殊平行四邊形即矩形、菱形、正方形，它們是歷年中考的必考內(nèi)容之一，主要出現(xiàn)的題型多樣，注重考查學(xué)生的基礎(chǔ)證明和計(jì)算能力，以及靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法解決問(wèn)題的能力。內(nèi)容主要包括：矩形、菱形、正方形的性質(zhì)與判定，以及相關(guān)計(jì)算，了解平行四邊形與矩形、菱形、正方形之間的聯(lián)系，掌握平行四邊形是矩形、菱形、正方形的條件。知識(shí)目標(biāo)掌握矩形、菱形、正方形等概念，掌握矩形、菱形、正方形的性質(zhì)和判定，通過(guò)定理的證明和應(yīng)用的教學(xué)，使學(xué)生逐步學(xué)會(huì)分別從題設(shè)和結(jié)論出發(fā)，尋找論證思路分析法和綜合法。重難點(diǎn)：1.矩形、菱形性質(zhì)及判定的應(yīng)用2.相關(guān)知識(shí)的綜合應(yīng)用知識(shí)點(diǎn)歸納矩形菱形正方形性質(zhì)邊對(duì)邊平行且相等對(duì)邊平行，四邊相等對(duì)邊平行，四邊相等角四個(gè)角都是直角對(duì)角相等四個(gè)角都是直角對(duì)角線互相平分且相等互相垂直平分，且每條對(duì)角線平分一組對(duì)角互相垂直平分且相等,每條對(duì)角線平分一組對(duì)角判定·有三個(gè)角是直角;·是平行四邊形且有一個(gè)角是直角;·是平行四邊形且兩條對(duì)角線相等.·四邊相等的四邊形；·是平行四邊形且有一組鄰邊相等；·是平行四邊形且兩條對(duì)角線互相垂直。·是矩形，且有一組鄰邊相等；·是菱形，且有一個(gè)角是直角。對(duì)稱性既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形一．矩形矩形定義：有一角是直角的平行四邊形叫做矩形．【強(qiáng)調(diào)】矩形（1）是平行四邊形；（2）一一個(gè)角是直角．矩形的性質(zhì)性質(zhì)1矩形的四個(gè)角都是直角；性質(zhì)2矩形的對(duì)角線相等，具有平行四邊形的所以性質(zhì)。；矩形的判定矩形判定方法1:對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形．注意此方法包括兩個(gè)條件：（1）是一個(gè)平行四邊形；（2）對(duì)角線相等矩形判定方法2:四個(gè)角都是直角的四邊形是矩形．矩形判斷方法3：有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形。例1：若矩形的對(duì)角線長(zhǎng)為8cm，兩條對(duì)角線的一個(gè)交角為600，則該矩形的面積為例2：菱形具有而矩形不具有的性質(zhì)是（）A．對(duì)角線互相平分；B.四條邊都相等；C.對(duì)角相等；D.鄰角互補(bǔ)例3：已知：如圖，□ABCD各角的平分線分別相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，求證：四邊形EFGH是矩形．二．菱形菱形定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形．【強(qiáng)調(diào)】菱形（1）是平行四邊形；（2）一組鄰邊相等．菱形的性質(zhì)性質(zhì)1菱形的四條邊都相等；性質(zhì)2菱形的對(duì)角線互相平分，并且每條對(duì)角線平分一組對(duì)角；菱形的判定菱形判定方法1:對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形．注意此方法包括兩個(gè)條件：（1）是一個(gè)平行四邊形；（2）兩條對(duì)角線互相垂直．菱形判定方法2:四邊都相等的四邊形是菱形．例1

已知：如圖，四邊形ABCD是菱形，F(xiàn)是AB上一點(diǎn)，DF交AC于E．求證：∠AFD=∠CBE．例2已知：如圖ABCD的對(duì)角線AC的垂直平分線與邊AD、BC分別交于E、F．求證：四邊形AFCE是菱形．例3、如圖，在ABCD中，O是對(duì)角線AC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O作AC的垂線與邊AD、BC分別交于E、F，求證：四邊形AFCE是菱形.例4、已知如圖，菱形ABCD中，E是BC上一點(diǎn)，AE、BD交于M，若AB=AE,∠EAD=2∠BAE。求證：AM=BE。例5．（10湖南益陽(yáng)）如圖，在菱形ABCD中，∠A=60°,=4,O為對(duì)角線BD的中點(diǎn)，過(guò)O點(diǎn)作OE⊥AB，垂足為E．(1)求線段的長(zhǎng)．例6、（2021四川自貢）如圖，四邊形ABCD是菱形，DE⊥AB交BA的延長(zhǎng)線于E，DF⊥BC，交BC的延長(zhǎng)線于F。請(qǐng)你猜想DE與DF的大小有什么關(guān)系？并證明你的猜想例7、（2021山東煙臺(tái)）如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，BD=2，E、F分別是邊AD，CD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足AE+CF=2.（1）求證：△BDE≌△BCF；（2）判斷△BEF的形狀，并說(shuō)明理由；（3）設(shè)△BEF的面積為S，求S的取值范圍.三．正方形正方形是在平行四邊形的前提下定義的，它包含兩層意思：①有一組鄰邊相等的平行四邊形（菱形）②有一個(gè)角是直角的平行四邊形（矩形）正方形不僅是特殊的平行四邊形，并且是特殊的矩形，又是特殊的菱形．正方形定義：有一組鄰邊相等并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正方形．正方形是中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心是對(duì)角線的交點(diǎn)，正方形又是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸是對(duì)邊中點(diǎn)的連線和對(duì)角線所在直線，共有四條對(duì)稱軸；因?yàn)檎叫问瞧叫兴倪呅?、矩形，又是菱形，所以它的性質(zhì)是它們性質(zhì)的綜合，正方形的性質(zhì)總結(jié)如下：邊：對(duì)邊平行，四邊相等；角：四個(gè)角都是直角；對(duì)角線：對(duì)角線相等，互相垂直平分，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角．注意：正方形的一條對(duì)角線把正方形分成兩個(gè)全等的等腰直角三角形，對(duì)角線與邊的夾角是45°；正方形的兩條對(duì)角線把它分成四個(gè)全等的等腰直角三角形，這是正方形的特殊性質(zhì)．正方形具有矩形的性質(zhì)，同時(shí)又具有菱形的性質(zhì)．正方形的判定方法：(1)有一個(gè)角是直角的菱形是正方形；(2)有一組鄰邊相等的矩形是正方形．注意：1、正方形概念的三個(gè)要點(diǎn)：（1）是平行四邊形；（2）有一個(gè)角是直角；（3）有一組鄰邊相等．2、要確定一個(gè)四邊形是正方形，應(yīng)先確定它是菱形或是矩形，然后再加上相應(yīng)的條件，確定是正方形.例1已知：如圖，正方形ABCD中，對(duì)角線的交點(diǎn)為O，E是OB上的一點(diǎn)，DG⊥AE于G，DG交OA于F．求證：OE=OF．例2已知：如圖，四邊形ABCD是正方形，分別過(guò)點(diǎn)A、C兩點(diǎn)作l1∥l2，作BM⊥l1于M，DN⊥l1于N，直線MB、DN分別交l2于Q、P點(diǎn)．求證：四邊形PQMN是正方形．例3、（2021海南）如圖，P是邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)（P與A、C不重合），點(diǎn)E在射線BC上，且PE=PB.（1）求證：①PE=PD；②PE⊥PD；（2）設(shè)AP=x,△PBE的面積為y.①求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出x的取值范圍；②當(dāng)x取何值時(shí)，y取得最大值，并求出這個(gè)最大值.實(shí)戰(zhàn)演練：1.對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是（）A．平行四邊形、菱形 B．矩形、菱形 C．矩形、正方形 D．菱形、正方形2.順次連接菱形各邊中點(diǎn)所得的四邊形一定是（）A.等腰梯形 B.正方形 C.平行四邊形 D.矩形3.如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，下列結(jié)論中不正確的是（）A．當(dāng)AB=BC時(shí)，它是菱形B．當(dāng)AC⊥BD時(shí)，它是菱形ＡＦＣＤＢＥDCBACＡＦＣＤＢＥDCBA4.如圖，在中，點(diǎn)分別在邊，，上，且，．下列四個(gè)判斷中，不正確的是（）A．四邊形是平行四邊形 B．如果，那么四邊形是矩形C．如果平分，那么四邊形是菱形D．如果且，那么四邊形是菱形5.如圖，四邊形為矩形紙片．把紙片折疊，使點(diǎn)恰好落在邊的中點(diǎn)處，折痕為．若，則等于（）ＡＤA． B． C． D．ＡＤＥＥＣＦＢＣＦＢ6.如圖，矩形的周長(zhǎng)為，兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的垂線，分別交于點(diǎn)，連結(jié)，則的周長(zhǎng)為（）A．5cm B．8cm C．9cm D．10cm7.在右圖的方格紙中有一個(gè)菱形ABCD（A、B、C、D四點(diǎn)均為格點(diǎn)），A若方格紙中每個(gè)最小正方形的邊長(zhǎng)為1，則該菱形的面積為AAABCDDBDBCC8.如圖，在矩形中，對(duì)角線交于點(diǎn)，已知，則的長(zhǎng)為．9.邊長(zhǎng)為５cm的菱形，一條對(duì)角線長(zhǎng)是6cm，則另一條對(duì)角線的長(zhǎng)是.10.如圖所示，菱形中，對(duì)角線相交于點(diǎn)，若再補(bǔ)充一個(gè)條件能使菱形成為正方形，則這個(gè)條件是（只填一個(gè)條件即可）．BCBCDAPADCBO11.如圖，已知P是正方形ABCD對(duì)角線BD上一點(diǎn)，且BP=BC，則∠ACP度數(shù)是．12.如圖，矩形中，是與的交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線與的延長(zhǎng)線分別交于．（1）求證：；FDOCBEA第12題圖FDOCBEA第12題圖13.將兩塊全等的含30°角的三角尺如圖1擺放在一起，設(shè)較短直角邊為1．圖1圖2圖1圖2圖3圖4(1)四邊形ABCD是平行四邊形嗎？說(shuō)出你的結(jié)論和理由：________________________．(2)如圖2，將Rt△BCD沿射線BD方向平移到Rt△B1C1D1的位置，四邊形ABC1D1(3)在Rt△BCD沿射線BD方向平移的過(guò)程中，當(dāng)點(diǎn)B的移動(dòng)距離為_(kāi)_____時(shí)，四邊形ABC1D1為矩形，其理由是_____________________________________；當(dāng)點(diǎn)B的移動(dòng)距離為_(kāi)_____時(shí)，四邊形ABC1D1為菱形，其理由是_______________________________．(圖3、圖4用于探究)應(yīng)用探究：1.如圖，將矩形紙片沿對(duì)角線折疊，使點(diǎn)落在處，交于，若，則在不添加任何輔助線的情況下，圖中的角（虛線也視為角的邊）有（）A．6個(gè) B．5個(gè) C．4個(gè) D．3個(gè)DACBMDACBM2.如圖，正方形的面積為1，是的中點(diǎn)，則圖中陰影部分的面積是（）A． B． C． D．3.已知為矩形的對(duì)角線，則圖中與一定不相等的是（）BBA1DC2112BADCBAC12D12BADCA．B．C．D．BFCAHDEG4.紅絲帶是關(guān)注艾滋病防治問(wèn)題的國(guó)際性標(biāo)志.將寬為的紅絲帶交叉成60°角重疊在一起（如圖），則重疊四邊形的面積為_(kāi)______BFCAHDEG5.如圖，將矩形紙ABCD的四個(gè)角向內(nèi)折起，恰好拼成一個(gè)無(wú)縫隙無(wú)重疊的四邊形EFGH，若EH＝3厘米，EF＝4厘米，則邊AD的長(zhǎng)是___________厘米.6.如圖，已知，點(diǎn)在邊上，四邊形是矩形．請(qǐng)你只用無(wú)刻度的直尺在圖中畫(huà)出的平分線（請(qǐng)保留畫(huà)圖痕跡）．ABABCDE7.如圖：矩形紙片ABCD，AB=2，點(diǎn)E在BC上，且AE=EC．若將紙片沿AE折疊，點(diǎn)B恰好落在AC上，則AC的長(zhǎng)是．AABCPDE 第二章一元二次方程 一、一元二次方程（一）一元二次方程定義含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫做一元二次方程。（二）一元二次方程的一般形式，它的特征是：等式左邊是一個(gè)關(guān)于未知數(shù)x的二次多項(xiàng)式，等式右邊是零，其中叫做二次項(xiàng)，a叫做二次項(xiàng)系數(shù)；bx叫做一次項(xiàng)，b叫做一次項(xiàng)系數(shù)；c叫做常數(shù)項(xiàng)。例方程是一元二次方程，則.二、一元二次方程的解法1、直接開(kāi)平方法直接開(kāi)平方法適用于解形如的一元二次方程。當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)b<0時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根。例第二象限內(nèi)一點(diǎn)A（x—1，x2—2），關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為B，且AB=6，則x=_________．2、配方法一般步驟：方程兩邊同時(shí)除以a,將二次項(xiàng)系數(shù)化為1.將所得方程的常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊。所得方程的兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方配方，化成（5）開(kāi)方，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)b<0時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根。例若方程有解，則的取值范圍是（）．A．B．C．D．無(wú)法確定3、公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。一元二次方程的求根公式：例已知x2＋4x－2=0，那么3x2＋12x＋2021的值為4、因式分解法一元二次方程的一邊為0，另一邊易于分解成兩個(gè)一次因式的乘積時(shí)使用此方法。例已知一個(gè)三角形的兩邊長(zhǎng)是方程x2-8x+15=0的兩根，則第三邊y的取值范圍是（）．A．y<8B．3<y<5補(bǔ)充：一元二次方程根的判別式根的判別式1、定義：一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判別式。2、性質(zhì)：當(dāng)＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)＝0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)＜0時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根。例若關(guān)于x的方程x2–2(a–1)x=(b+2)2有兩個(gè)相等的實(shí)根，則a2021+b5的值為.例若關(guān)于x的方程x2–2x(k-x)+6=0無(wú)實(shí)根，則k可取的最小整數(shù)為（）（A）-5（B）-4（C）-3（D）-2補(bǔ)充：一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）如果方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是，那么，。第三章概率的進(jìn)一步認(rèn)識(shí)一、知識(shí)概括1、頻率（1）在頻率分布表里，落在各小組內(nèi)的數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)叫做頻數(shù)；（2）每一小組的頻數(shù)與數(shù)據(jù)總數(shù)的比值叫做這一小組的頻率；即：（3）在頻率分布直方圖中，由于各個(gè)小長(zhǎng)方形的面積等于相應(yīng)各組的頻率，而各組頻率的和等于1。因此，各個(gè)小長(zhǎng)方形的面積的和等于1。2、概率的求法：（1）一般地，如果在一次試驗(yàn)中，有n種可能的結(jié)果，并且它們發(fā)生的可能性都相等，事件A包含其中的m個(gè)結(jié)果，那么事件A發(fā)生的概率為P（A）=（2）表格法用列出表格的方法來(lái)分析和求解某些事件的概率的方法叫做列表法。（3）樹(shù)狀圖法通過(guò)畫(huà)樹(shù)狀圖列出某事件的所有可能的結(jié)果，求出其概率的方法叫做樹(shù)狀圖法。（當(dāng)一次試驗(yàn)要涉及三個(gè)或更多的因素時(shí)，用列表法就不方便了，為了不重不漏地列出所有可能的結(jié)果，通常采用樹(shù)狀圖法求概率。）例在布袋中裝有兩個(gè)大小一樣，質(zhì)地相同的球，其中一個(gè)為紅色，一個(gè)為白色。模擬“摸出一個(gè)球是白球”的機(jī)會(huì)，可以用下列哪種替代物進(jìn)行實(shí)驗(yàn)（）（A）“拋擲一枚普通骰子出現(xiàn)1點(diǎn)朝上”的機(jī)會(huì)（B）“拋擲一枚啤酒瓶蓋出現(xiàn)蓋面朝上”的機(jī)會(huì)（C）“拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣出現(xiàn)正面朝上”的機(jī)會(huì)（D）“拋擲一枚普通圖釘出現(xiàn)針尖觸地”的機(jī)會(huì)例如圖，圖中的兩個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán)分別被均勻地分成5個(gè)和4個(gè)扇形，每個(gè)扇形上都標(biāo)有數(shù)字，同時(shí)自由轉(zhuǎn)動(dòng)兩個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán)，轉(zhuǎn)盤(pán)停止后，指針都落在奇數(shù)上的概率是（）（A）eq\f(2,5) （B）eq\f(3,10) （C）eq\f(3,20) （D）eq\f(1,5)例如圖，一個(gè)小球從A點(diǎn)沿制定的軌道下落，在每個(gè)交叉口都有向左或向右兩種機(jī)會(huì)均等的結(jié)果，小球最終到達(dá)H點(diǎn)的概率是（）（A）（B）（C）（D）例如圖是從一副撲克牌中取出的兩組牌，分別是黑桃1、2、3、4和方塊1、2、3、4，將它們背面朝上分別重新洗牌后，從兩組牌中各摸出一張，那么摸出的兩張牌的牌面數(shù)字之和等于5的概率是（）（A）（B）（C）（D）例在圖中的甲、乙兩個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán)中，指針指向每一個(gè)數(shù)字的機(jī)會(huì)是均等的.當(dāng)同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)兩個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán)，停止后指針?biāo)?212345甲26374乙那么這三條線段不能構(gòu)成三角形的概率是（）（A） （B） （C） （D）三、典型例題例1.袋中有紅、黃、白色球各一個(gè)，它們除顏色外其余都相同，每次任取一個(gè)，又放回抽取兩次。求下列事件的概率。（1）全紅 （2）顏色全同 （3）無(wú)白解：說(shuō)明：顏色全同包括都是紅色或都是黃色或都是白色；無(wú)白指沒(méi)有白色球。例2.一個(gè)密碼保險(xiǎn)柜的密碼由6個(gè)數(shù)字組成，每個(gè)數(shù)字都是由0～9這十個(gè)數(shù)字中的一個(gè)，王叔叔忘記了其中最后面的兩個(gè)數(shù)字，那么他一次就能打開(kāi)保險(xiǎn)柜的概率是多少？解：他前面的4個(gè)數(shù)字都已知道只有最后兩個(gè)數(shù)字忘記了，而最后兩個(gè)數(shù)字每個(gè)數(shù)字出現(xiàn)的可能結(jié)果都有10種情況，那么組成兩個(gè)數(shù)字的可能結(jié)果就有100種，因此正好是密碼上的最后兩個(gè)數(shù)字的概率是。例3.袋中有紅色、黃色、藍(lán)色、白色球若干個(gè)，小剛又放入5個(gè)黑球后，小穎通過(guò)多次摸球?qū)嶒?yàn)后，發(fā)現(xiàn)摸到紅球、黃球、藍(lán)球、白球及黑球的頻率依次為25％，30％，30％，10％，5％，試估計(jì)袋中紅色球、黃色球、藍(lán)色球及白色球各有多少個(gè)？解：小剛放入5個(gè)黑球后摸到的黑色球的頻率為5％，則可以由此估計(jì)出袋中共有球100×25％＝25個(gè)，黃色球100×30％＝30個(gè)，藍(lán)色球100×30％＝30個(gè)，白色球100×10％＝10個(gè)。例4.甲、乙兩人用如圖所示的兩個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán)做游戲，轉(zhuǎn)動(dòng)兩個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán)各1次（1）若兩次數(shù)字之差的絕對(duì)值為0，1或2，則甲勝，否則乙勝。這個(gè)游戲?qū)﹄p方公平嗎？為什么？（2）若兩次數(shù)字和是2的倍數(shù)，則甲勝，而若和是3的倍數(shù)或5的倍數(shù)，則乙勝。這個(gè)游戲?qū)﹄p方公平嗎？為什么？解：（1）用列表的方法可看出所有可能的結(jié)果：從上表中可以看出兩個(gè)數(shù)字之差的絕對(duì)值，為0的有4種可能結(jié)果，1的有7種可能甲勝的可能性比乙大，所以不公平。（2）通過(guò)列表可知：出現(xiàn)的兩個(gè)數(shù)字之和是2的倍數(shù)有15種，出現(xiàn)的兩個(gè)數(shù)字之和是3的倍數(shù)有10種，5比乙小，所以不公平。例5.小明與同學(xué)一起想知道每6個(gè)人中有兩個(gè)人生肖相同的概率，他們想設(shè)計(jì)一個(gè)模擬實(shí)驗(yàn)來(lái)估計(jì)6個(gè)人中恰有兩個(gè)人生肖相同的概率，你能幫他們?cè)O(shè)計(jì)這個(gè)模擬方案嗎？分析：可以用摸球、撲克牌、轉(zhuǎn)盤(pán)、計(jì)算器模擬隨機(jī)整數(shù)等方法。注意“一次實(shí)驗(yàn)”的設(shè)計(jì)。解：用12個(gè)完全相同的小球分別編上號(hào)碼1～12，代表12個(gè)生肖，放入一個(gè)不透明的袋中搖勻后，從中隨機(jī)抽取一球，記下號(hào)碼后放回，再搖勻后取出一球記下號(hào)碼……連續(xù)取出6個(gè)球?yàn)橐淮螌?shí)驗(yàn)，重復(fù)上述實(shí)驗(yàn)過(guò)程多次，統(tǒng)計(jì)每次實(shí)驗(yàn)中出現(xiàn)相同號(hào)碼的次數(shù)除以總的實(shí)驗(yàn)次數(shù)，得到的實(shí)驗(yàn)頻率可估計(jì)每6個(gè)人中有兩個(gè)人生肖相同的概率。第四章圖形相似與相似三角形知識(shí)點(diǎn)解讀知識(shí)點(diǎn)1.．相似圖形的含義把形狀相同的圖形叫做相似圖形。（即對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊的比也相等的圖形）解讀：（1）兩個(gè)圖形相似，其中一個(gè)圖形可以看做由另一個(gè)圖形放大或縮小得到．（2）全等形可以看成是一種特殊的相似，即不僅形狀相同，大小也相同．（3）判斷兩個(gè)圖形是否相似，就是看這兩個(gè)圖形是不是形狀相同，與其他因素?zé)o關(guān)．例1．放大鏡中的正方形與原正方形具有怎樣的關(guān)系呢？分析：要注意鏡中的正方形與原正方形的形狀沒(méi)有改變．解：是相似圖形。因?yàn)樗鼈兊男螤钕嗤?，大小不一定相同．?．下列各組圖形：①兩個(gè)平行四邊形；②兩個(gè)圓；③兩個(gè)矩形；④有一個(gè)內(nèi)角80°的兩個(gè)等腰三角形；⑤兩個(gè)正五邊形；⑥有一個(gè)內(nèi)角是100°的兩個(gè)等腰三角形，其中一定是相似圖形的是_________(填序號(hào))．解析：根據(jù)相似圖形的定義知，相似圖形的形狀相同，但大小不一定相同，而平行四邊形、矩形、等腰三角形都屬于形狀不唯一的圖形，而圓、正多邊形、頂角為100°的等腰三角形的形狀不唯一，它們都相似．答案：②⑤⑥．知識(shí)點(diǎn)2．比例線段對(duì)于四條線段a,b,c,d，如果其中兩條線段的長(zhǎng)度的比與另兩條線段的長(zhǎng)度的比相等，即（或a:b=c:d）那么這四條線段叫做成比例線段，簡(jiǎn)稱比例線段．解讀：（1）四條線段a,b,c,d成比例，記作（或a:b=c:d），不能寫(xiě)成其他形式，即比例線段有順序性．（2）在比例式（或a:b=c:d）中，比例的項(xiàng)為a,b,c,d，其中a,d為比例外項(xiàng)，b,c為比例內(nèi)項(xiàng)，d是第四比例項(xiàng)．（3）如果比例內(nèi)項(xiàng)是相同的線段，即或a:b=b:c，那么線段b叫做線段和的比例中項(xiàng)。(4)通常四條線段a,b,c,d的單位應(yīng)一致，但有時(shí)為了計(jì)算方便，a和b統(tǒng)一為一個(gè)單位，c和d統(tǒng)一為另一個(gè)單位也可以，因?yàn)檎w表示兩個(gè)比相等．例3．已知線段a=2cm,b=6mm,求．分析：求即求與長(zhǎng)度的比，與的單位不同，先統(tǒng)一單位，再求比．例4．已知a,b,c,d成比例，且a=6cm,b=3dm,d=dm，求c的長(zhǎng)度．分析：由a,b,c,d成比例，寫(xiě)出比例式a:b=c:d，再把所給各線段a,b,,d統(tǒng)一單位后代入求c．知識(shí)點(diǎn)3．相似多邊形的性質(zhì)相似多邊形的性質(zhì)：相似多邊形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等．解讀：（1）正確理解相似多邊形的定義，明確“對(duì)應(yīng)”關(guān)系．（2）明確相似多邊形的“對(duì)應(yīng)”來(lái)自于書(shū)寫(xiě)，且要明確相似比具有順序性．例5．若四邊形ABCD的四邊長(zhǎng)分別是4，6，8，10，與四邊形ABCD相似的四邊形A1B1C1D1的最大邊長(zhǎng)為30，則四邊形A1B1C1D1的最小邊長(zhǎng)是多少？分析：四邊形ABCD與四邊形A1B1C1D1相似，且它們的相似比為對(duì)應(yīng)的最大邊長(zhǎng)的比，即為，再根據(jù)相似多邊形對(duì)應(yīng)邊成比例的性質(zhì)，利用方程思想求出最小邊的長(zhǎng)．知識(shí)點(diǎn)4．相似三角形的概念對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊之比相等的三角形叫做相似三角形．解讀：（1）相似三角形是相似多邊形中的一種；（2）應(yīng)結(jié)合相似多邊形的性質(zhì)來(lái)理解相似三角形；（3）相似三角形應(yīng)滿足形狀一樣，但大小可以不同；（4）相似用“∽”表示，讀作“相似于”；（5）相似三角形的對(duì)應(yīng)邊之比叫做相似比．注意：①相似比是有順序的，比如△ABC∽△A1B1C1，相似比為k,若△A1B1C1∽△ABC，則相似比為。②例6．如圖，已知△ADE∽△ABC，DE=2，BC=4，則和的相似比是多少？點(diǎn)D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)嗎？注意：解決此類問(wèn)題應(yīng)注意兩方面：（1）相似比的順序性，（2）圖形的識(shí)別．解：因?yàn)椤鰽DE∽△ABC，所以，因?yàn)?，所以，所以D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)．知識(shí)點(diǎn)5．相似三角的判定方法定義：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形相似；平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或其他兩邊的延長(zhǎng)線）所構(gòu)成的三角形與原三角形相似．如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角分別與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似．如果一個(gè)三角的兩條邊與另一個(gè)三角形的兩條邊對(duì)應(yīng)成比例，并且?jiàn)A角相等，那么這兩個(gè)三角形相似．如果一個(gè)三角形的三條邊分別與另一個(gè)三角形的三條邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)三角形相似．直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形與原三角形都相似．經(jīng)過(guò)歸納和總結(jié)，相似三角形有以下幾種基本類型：平行線型常見(jiàn)的有如下兩種，DE∥BC，則△ADE∽△ABC相交線型常見(jiàn)的有如下四種情形，如圖，已知∠1=∠B，則由公共角∠A得，△ADE∽△ABC如下左圖，已知∠1=∠B，則由公共角∠A得，△ADC∽△ACB如下右圖，已知∠B=∠D，則由對(duì)頂角∠1=∠2得，△ADE∽△ABC旋轉(zhuǎn)型已知∠BAD=∠CAE，∠B=∠D，則△ADE∽△ABC，下圖為常見(jiàn)的基本圖形．母子型已知∠ACB=90°，AB⊥CD，則△CBD∽△ABC∽△ACD．解決相似三角形問(wèn)題，關(guān)鍵是要善于從復(fù)雜的圖形中分解出（構(gòu)造出）上述基本圖形．例7．如圖，點(diǎn)D在△ABC的邊AB上，滿足怎樣的條件時(shí)，△ACD與△ABC相似？試分別加以列舉．分析：此題屬于探索性問(wèn)題，由相似三角形的判別方法可知，△ACD與△ABC已有公共角∠A，要使此兩個(gè)三角形相似，可根據(jù)相似三角形的判別方法尋找一個(gè)條件即可．解：當(dāng)滿足以下三個(gè)條件之一時(shí)，△ACD∽△ABC條件一：∠1=∠B；條件二：∠2=∠ACB；條件三：，即AC2=AD·AB．知識(shí)點(diǎn)6．相似三角形的性質(zhì)對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等；對(duì)應(yīng)高的比，對(duì)應(yīng)中線的比，對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比；相似三角形周長(zhǎng)之比等于相似比；面積之比等于相似比的平方．例8．如圖，已知△ADE∽△ABC，AD=8，BD=4，BC=15，EC=7求DE、AE的長(zhǎng)；你還能發(fā)現(xiàn)哪些線段成比例．分析：此題重點(diǎn)考查由兩個(gè)三角形相似，可得到對(duì)應(yīng)邊成例，即．解：（1）∵△ADE∽△ABC，∴∵，AD=8，BD=4，BC=15，EC=7設(shè)DE=x，則，∴12x=8×15,x=10;設(shè)AE=a,則,∴a=14.(2)例9．已知△ABC∽△A1B1C1，，=，△ABC的周長(zhǎng)為20cm，面積為40cm2．求（1）△A1B1C1的周長(zhǎng)；（2）△A1B1C1的面積．分析：根據(jù)相似三角形周長(zhǎng)之比等于相似比；面積之比等于相似比的平方求解．易求出△A1B1C1的周長(zhǎng)為30cm;△A1B1C1的面積90cm2五、視圖與投影1、視圖三視圖包括：主視圖、俯視圖和左視圖。在畫(huà)視圖時(shí)，看得見(jiàn)的部分的輪廓線通常畫(huà)成實(shí)線，看不見(jiàn)的部分輪廓線通常畫(huà)成虛線。例如圖，一幾何體的三視圖如右：那么這個(gè)幾何體是.主視圖左視圖俯視圖例如果用□表示1個(gè)立方體，用表示兩個(gè)立方體疊加，用■表示三個(gè)立方體疊加，那么下面右圖由7個(gè)立方體疊成的幾何體，從正前方觀察，可畫(huà)出的平面圖形是（）2、投影（1）投影：物體在光線的照射下，在地面上或墻壁上留下它的影子，這就是投影現(xiàn)象。（2）平行投影：太陽(yáng)光線可以看成平行光線，像這樣的光線所形成的投影稱為平行投影。（3）中心投影：探照燈、手電筒、路燈和臺(tái)燈的光線可以看成是從一點(diǎn)發(fā)出的，像這樣的光線所形成的投影稱為中心投影。（4）區(qū)分平行投影和中心投影：①觀察光源；②觀察影子。（5）從正面、上面、側(cè)面看到的圖形就是常見(jiàn)的正投影，是當(dāng)光線與投影垂直時(shí)的投影。①點(diǎn)在一個(gè)平面上的投影仍是一個(gè)點(diǎn)；②線段在一個(gè)面上的投影可分為三種情況：線段垂直于投影面時(shí)，投影為一點(diǎn)；線段平行于投影面時(shí)，投影長(zhǎng)度等于線段的實(shí)際長(zhǎng)度；線段傾斜于投影面時(shí)，投影長(zhǎng)度小于線段的實(shí)際長(zhǎng)度。③平面圖形在某一平面上的投影可分為三種情況：平面圖形和投影面平行的情況下，其投影為實(shí)際形狀；平面圖形和投影面垂直的情況下，其投影為一線段；平面圖形和投影面傾斜的情況下，其投影小于實(shí)際的形狀。例小明在操場(chǎng)上練習(xí)雙杠時(shí)，在練習(xí)的過(guò)程中他發(fā)現(xiàn)在地上雙杠的兩橫杠的影子AEAEDCBA.相交B.平行C.垂直D.無(wú)法確定例小明希望測(cè)量出電線桿AB的高度，于是在陽(yáng)光明媚的一天，他在電線桿旁的點(diǎn)D處立一標(biāo)桿CD，使標(biāo)桿的影子DE與電線桿的影子BE部分重疊（即點(diǎn)E、C、A在一直線上），量得ED＝2米，DB＝4米，CD＝1.5米，則電線桿AB長(zhǎng)＝3、視點(diǎn)、視線、盲區(qū)眼睛的位置稱為視點(diǎn)；由視點(diǎn)發(fā)出的線稱為視線；眼睛看不到的地方稱為盲區(qū)。例當(dāng)你乘車沿一條平坦的大道向前行駛時(shí)，你會(huì)發(fā)現(xiàn)，前方那些高一些的建筑物好像“沉”到了位于它們前面那些矮一些的建筑物后面去了，這是因?yàn)椋ǎ〢汽車開(kāi)的很快B盲區(qū)減小C盲區(qū)增大D無(wú)法確定第六章反比例函數(shù)1、反比例函數(shù)的概念一般地，如果兩個(gè)變量x，y之間的關(guān)系可以表示為（k是常數(shù)，k0）的形式，那么稱y是x的反比例函數(shù)。（反比例函數(shù)的解析式也可以寫(xiě)成的形式。自變量x的取值范圍是x0的一切實(shí)數(shù)，函數(shù)的取值范圍也是一切非零實(shí)數(shù)。）2、反比例函數(shù)的圖象反比例函數(shù)的圖象是雙曲線，它有兩個(gè)分支，這兩個(gè)分支分別位于第一、三象限，或第二、四象限，它們關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。由于反比例函數(shù)中自變量x0，函數(shù)y0，所以，它的圖象與x軸、y軸都沒(méi)有交點(diǎn)，即雙曲線的兩個(gè)分支無(wú)限接近坐標(biāo)軸，但永遠(yuǎn)達(dá)不到坐標(biāo)軸。3、反比例函數(shù)的性質(zhì)反比例函數(shù)k的符號(hào)k>0k<0圖象yOxyOx性質(zhì)①x的取值范圍是x0，y的取值范圍是y0；②當(dāng)k>0時(shí)，函數(shù)圖象的兩個(gè)分支分別在第一、三象限。在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而減小。①x的取值范圍是x0，y的取值范圍是y0；②當(dāng)k<0時(shí)，函數(shù)圖象的兩個(gè)分支分別在第二、四象限。在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而增大。例在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)和的圖像大致是（）ABCD例反比例函數(shù)，當(dāng)時(shí)，其圖象的兩個(gè)分支在第一、三象限內(nèi)。例反比例函數(shù)的對(duì)稱軸有（）條（A）0（B）1（C）2（D）無(wú)數(shù)例對(duì)于反比例函數(shù)()，下列說(shuō)法不正確的是（）（A）它的圖象分布在第一、三象限 （B）點(diǎn)（，）在它的圖象上（C）它的圖象是中心對(duì)稱圖形 （D）隨的增大而增大例已知反比例函數(shù)（k＜0）的圖象上有兩點(diǎn)A（），B（），且，則的值是（）（A）正數(shù) （B）負(fù)數(shù) （C）非正數(shù) （D）不能確定4、反比例函數(shù)解析式的確定確定反比例函數(shù)解析式的方法仍是待定系數(shù)法。由于在反比例函數(shù)中，只有一個(gè)待定系數(shù)，因此只需要一對(duì)對(duì)應(yīng)值或圖像上的一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求出k的值，從而確定其解析式。5、反比例函數(shù)中反比例系數(shù)的幾何意義過(guò)反比例函數(shù)圖像上任一點(diǎn)P（x,y）作x軸、y軸的垂線PM，PN，垂足分別是M、N，則所得的矩形PMON的面積S=PMPN=。。ABOxy例如圖，A為反比例函數(shù)ABOxy若S△AOB＝3，則的值為（）A、6 B、3 C、 D、不能確定北師大版初中數(shù)學(xué)九年級(jí)(下冊(cè))知識(shí)點(diǎn)匯總第一章

直角三角形邊的關(guān)系※一.正切：定義：在Rt△ABC中，銳角∠A的對(duì)邊與鄰邊的比叫做∠A的正切，記作tanA，即;①tanA是一個(gè)完整的符號(hào)，它表示∠A的正切，記號(hào)里習(xí)慣省去角的符號(hào)“∠”；②tanA沒(méi)有單位，它表示一個(gè)比值，即直角三角形中∠A的對(duì)邊與鄰邊的比；③tanA不表示“tan”乘以“A”；④初中階段，我們只學(xué)習(xí)直角三角形中，∠A是銳角的正切；⑤tanA的值越大，梯子越陡，∠A越大；∠A越大，梯子越陡，tanA的值越大?！?正弦：定義：在Rt△ABC中，銳角∠A的對(duì)邊與斜邊的比叫做∠A的正弦，記作sinA，即;※三.余弦：定義：在Rt△ABC中，銳角∠A的鄰邊與斜邊的比叫做∠A的余弦，記作cosA，即;※余切：定義：在Rt△ABC中，銳角∠A的鄰邊與對(duì)邊的比叫做∠A的余切，記作cotA，即;※一個(gè)銳角的正弦、余弦、正切、余切分別等于它的余角的余弦、正弦、余切、正切。0o30o45o60o90osinα01cosα10tanα01—cotα—10（通常我們稱正弦、余弦互為余函數(shù)。同樣，也稱正切、余切互為余函數(shù)，可以概括為：一個(gè)銳角的三角函數(shù)等于它的余角的余函數(shù)）用等式表達(dá)：若∠A為銳角，則①；②；※當(dāng)從低處觀測(cè)高處的目標(biāo)時(shí)，視線與水平線所成的銳角稱為仰角※當(dāng)從高處觀測(cè)低處的目標(biāo)時(shí)，視線與水平線所成的銳角稱為俯角※利用特殊角的三角函數(shù)值表，可以看出，(1)當(dāng)圖1角度在0°～90°間變化時(shí)，正弦值、正切值隨著角度的增大(或減小)而增大(或減小)；余弦值、余切值隨著角度的增大(或減小)而減小(或增大)。(2)0≤sinα≤1，0≤cosα≤1?！堑娜呛瘮?shù)間的關(guān)系：倒數(shù)關(guān)系：tgα·ctgα=1。※在直角三角形中，除直角外，一共有五個(gè)元素，即三條邊和二個(gè)銳角。由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的過(guò)程，叫做解直角三角形?！蛟凇鰽BC中，∠C為直角，∠A、∠B、∠C所對(duì)的邊分別為a、b、c，則有(1)三邊之間的關(guān)系：a2+b2=c2；(2)兩銳角的關(guān)系：∠A＋∠B=90°；(3)邊與角之間的關(guān)系：(4)面積公式:(hc為C邊上的高);(5)直角三角形的內(nèi)切圓半徑(6)直角三角形的外接圓半徑◎解直角三角形的幾種基本類型列表如下：C◎解直角三角形的幾種基本類型列表如下：圖3圖4※如圖2，坡面與水平面的夾角叫做坡角(或叫做坡比)。用字母i表示，即◎從某點(diǎn)的指北方向按順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向的水平角，叫做方位角。如圖3，OA、OB、OC的方位角分別為45°、135°、225°?！蛑副被蛑改戏较蚓€與目標(biāo)方向線所成的小于90°的水平角，叫做方向角。如圖4，OA、OB、OC、OD的方向角分別是；北偏東30°，南偏東45°(東南方向)、南偏西為60°，北偏西60°。第二章

二次函數(shù)※二次函數(shù)的概念：形如的函數(shù)，叫做x的二次函數(shù)。自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù)。

是二次函數(shù)的特例，此時(shí)常數(shù)b=c=0.※在寫(xiě)二次函數(shù)的關(guān)系式時(shí)，一定要尋找兩個(gè)變量之間的等量關(guān)系，列出相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，并確定自變量的取值范圍?！魏瘮?shù)y＝ax2的圖象是一條頂點(diǎn)在原點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱的曲線，這條曲線叫做拋物線。描述拋物線常從開(kāi)口方向、對(duì)稱性、y隨x的變化情況、拋物線的最高（或最低）點(diǎn)、拋物線與x軸的交點(diǎn)等方面來(lái)描述。①函數(shù)的定義域是全體實(shí)數(shù)；②拋物線的頂點(diǎn)在(0，0)，對(duì)稱軸是y軸(或稱直線x＝0)。③當(dāng)a＞0時(shí)，拋物線開(kāi)口向上，并且向上方無(wú)限伸展。當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線開(kāi)口向下，并且向下方無(wú)限伸展。④函數(shù)的增減性：A、當(dāng)a＞0時(shí)

B、當(dāng)a＜0時(shí)⑤當(dāng)｜a｜越大，拋物線開(kāi)口越??；當(dāng)｜a｜越小，拋物線的開(kāi)口越大。⑥最大值或最小值：當(dāng)a＞0，且x＝0時(shí)函數(shù)有最小值，最小值是0；當(dāng)a＜0，且x＝0時(shí)函數(shù)有最大值，最大值是0．※二次函數(shù)的圖象是一條頂點(diǎn)在y軸上且與y軸對(duì)稱的拋物線※二次函數(shù)的圖象是以為對(duì)稱軸，頂點(diǎn)在（，）的拋物線。（開(kāi)口方向和大小由a來(lái)決定）※|a|的越大，拋物線的開(kāi)口程度越小，越靠近對(duì)稱軸y軸，y隨x增長(zhǎng)（或下降）速度越快；|a|的越小，拋物線的開(kāi)口程度越大，越遠(yuǎn)離對(duì)稱軸y軸，y隨x增長(zhǎng)（或下降）速度越慢?！魏瘮?shù)的圖象中，a的符號(hào)決定拋物線的開(kāi)口方向，|a|決定拋物線的開(kāi)口程度大小，c決定拋物線的頂點(diǎn)位置，即拋物線位置的高低?！魏瘮?shù)的圖象與y＝ax2的圖象的關(guān)系：的圖象可以由y＝ax2的圖象平移得到，其步驟如下：

①將配方成的形式；（其中h=，k=）；②把拋物線向右（h>0）或向左（h<0）平移|h|個(gè)單位，得到y(tǒng)=a(x-h)2的圖象；③再把拋物線向上（k>0）或向下（k<0）平移|k|個(gè)單位，便得到的圖象。※二次函數(shù)的性質(zhì)：二次函數(shù)配方成則拋物線的①對(duì)稱軸：x=

②頂點(diǎn)坐標(biāo)：（，）③增減性：

若a>0，則當(dāng)x<時(shí)，y隨x的增大而減?。划?dāng)x>時(shí)，y隨x的增大而增大。若a<0，則當(dāng)x<時(shí)，y隨x的增大而增大；當(dāng)x>時(shí)，y隨x的增大而減小。④最值：若a>0，則當(dāng)x=時(shí)，；若a<0，則當(dāng)x=時(shí)，※畫(huà)二次函數(shù)的圖象：

我們可以利用它與函數(shù)的關(guān)系，平移拋物線而得到，但往往我們采用簡(jiǎn)化了的描點(diǎn)法----五點(diǎn)法來(lái)畫(huà)二次函數(shù)來(lái)畫(huà)二次函數(shù)的圖象，其步驟如下：

①先找出頂點(diǎn)（，），畫(huà)出對(duì)稱軸x=；②找出圖象上關(guān)于直線x=對(duì)稱的四個(gè)點(diǎn)（如與坐標(biāo)的交點(diǎn)等）；③把上述五點(diǎn)連成光滑的曲線?！瓒魏瘮?shù)的最大值或最小值可以通過(guò)將解析式配成y=a(x-h)2+k的形式求得，也可以借助圖象觀察?！杞鉀Q最大（?。┲祮?wèn)題的基本思路是：

①理解問(wèn)題；②分析問(wèn)題中的變量和常量，以及它們之間的關(guān)系；③用數(shù)學(xué)的方式表示它們之間的關(guān)系；④做數(shù)學(xué)求解；⑤檢驗(yàn)結(jié)果的合理性、拓展性等?！魏瘮?shù)的圖象(拋物線)與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)x1，x2是對(duì)應(yīng)一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根※拋物線與x軸的交點(diǎn)情況可以由對(duì)應(yīng)的一元二次方程的根的判別式判定：

>0<===>拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)；

=0<===>拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)；

<0<===>拋物線與x軸有0個(gè)交點(diǎn)（無(wú)交點(diǎn)）；※當(dāng)>0時(shí)，設(shè)拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為A、B，則這兩個(gè)點(diǎn)之間的距離：化簡(jiǎn)后即為：------這就是拋物線與x軸的兩交點(diǎn)之間的距離公式。第三章

圓一.車輪為什么做成圓形※1.圓的定義：

描述性定義：在一個(gè)平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)A隨之旋轉(zhuǎn)所形成的圓形叫做圓；固定的端點(diǎn)O叫做圓心；線段OA叫做半徑；以點(diǎn)O為圓心的圓，記作⊙O，讀作“圓O”

集合性定義：圓是平面內(nèi)到定點(diǎn)距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合。其中定點(diǎn)叫做圓心，定長(zhǎng)叫做圓的半徑，圓心定圓的位置，半徑定圓的大小，圓心和半徑確定的圓叫做定圓。對(duì)圓的定義的理解：①圓是一條封閉曲線，不是圓面；②圓由兩個(gè)條件唯一確定：一是圓心（即定點(diǎn)），二是半徑（即定長(zhǎng)）。※2.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系及其數(shù)量特征：

如果圓的半徑為r，點(diǎn)到圓心的距離為d，則

①點(diǎn)在圓上<===>d=r;②點(diǎn)在圓內(nèi)<===>d<r;③點(diǎn)在圓外<===>d>r.其中點(diǎn)在圓上的數(shù)量特征是重點(diǎn)，它可用來(lái)證明若干個(gè)點(diǎn)共圓，方法就是證明這幾個(gè)點(diǎn)與一個(gè)定點(diǎn)、的距離相等。二.圓的對(duì)稱性:※1.與圓相關(guān)的概念：①弦和直徑：

弦：連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦。

直徑：經(jīng)過(guò)圓心的弦叫做直徑。②弧、半圓、優(yōu)弧、劣?。夯。簣A上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡(jiǎn)稱弧，用符號(hào)“⌒”表示，以CD為端點(diǎn)的弧記為“”，讀作“圓弧CD”或“弧CD”。半圓：直徑的兩個(gè)端點(diǎn)分圓成兩條弧，每一條弧叫做半圓。優(yōu)?。捍笥诎雸A的弧叫做優(yōu)弧。劣弧：小于半圓的弧叫做劣弧。(為了區(qū)別優(yōu)弧和劣弧，優(yōu)弧用三個(gè)字母表示。)③弓形：弦及所對(duì)的弧組成的圖形叫做弓形。④同心圓：圓心相同，半徑不等的兩個(gè)圓叫做同心圓。⑤等圓：能夠完全重合的兩個(gè)圓叫做等圓，半徑相等的兩個(gè)圓是等圓。⑥等?。涸谕瑘A或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧。⑦圓心角：頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角.⑧弦心距:從圓心到弦的距離叫做弦心距.※2.圓是軸對(duì)稱圖形，直徑所在的直線是它的對(duì)稱軸，圓有無(wú)數(shù)條對(duì)稱軸。※3.垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。說(shuō)明：根據(jù)垂徑定理與推論可知對(duì)于一個(gè)圓和一條直線來(lái)說(shuō)，如果具備：

①過(guò)圓心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所對(duì)的優(yōu)?。虎萜椒窒宜鶎?duì)的劣弧。

上述五個(gè)條件中的任何兩個(gè)條件都可推出其他三個(gè)結(jié)論。※4.定理：在同圓或等圓中,相等的圓心角所對(duì)的弧相等、所對(duì)的弦相等、所對(duì)的弦心距相等。推論:在同圓或等圓中,如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等,那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等.三.圓周角和圓心角的關(guān)系:※1.1°的弧的概念:把頂點(diǎn)在圓心的周角等分成360份時(shí),每一份的角都是1°的圓心角,相應(yīng)的整個(gè)圓也被等分成360份,每一份同樣的弧叫1°弧.※2.圓心角的度數(shù)和它所對(duì)的弧的度數(shù)相等.這里指的是角度數(shù)與弧的度數(shù)相等,而不是角與弧相等.即不能寫(xiě)成∠AOB=

,這是錯(cuò)誤的.※3.圓周角的定義:

頂點(diǎn)在圓上,并且兩邊都與圓相交的角,叫做圓周角.※4.圓周角定理:

一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半.※推論1:同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；反之，在同圓或等圓中，相等圓周角所對(duì)的弧也相等；※推論2:半圓或直徑所對(duì)的圓周角是直角；90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑；※四.確定圓的條件:※1.理解確定一個(gè)圓必須的具備兩個(gè)條件:

圓心和半徑,圓心決定圓的位置,半徑?jīng)Q定圓的大小.

經(jīng)過(guò)一點(diǎn)可以作無(wú)數(shù)個(gè)圓,經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)也可以作無(wú)數(shù)個(gè)圓,其圓心在這個(gè)兩點(diǎn)線段的垂直平分線上.※2.經(jīng)過(guò)三點(diǎn)作圓要分兩種情況:(1)經(jīng)過(guò)同一直線上的三點(diǎn)不能作圓.(2)經(jīng)過(guò)不在同一直線上的三點(diǎn),能且僅能作一個(gè)圓.※定理:不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓.※3.三角形的外接圓、三角形的外心、圓的內(nèi)接三角形的概念:

(1)三角形的外接圓和圓的內(nèi)接三角形:經(jīng)過(guò)一個(gè)三角形三個(gè)頂點(diǎn)的圓叫做這個(gè)三角形的外接圓,這個(gè)三角形叫做圓的內(nèi)接三角形.(2)三角形的外心:三角形外接圓的圓心叫做這個(gè)三角形的外心.(3)三角形的外心的性質(zhì):三角形外心到三頂點(diǎn)的距離相等.五.直線與圓的位置關(guān)系※1.直線和圓相交、相切相離的定義:(1)相交:直線與圓有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí),叫做直線和圓相交,這時(shí)直線叫做圓的割線.(2)相切:直線和圓有惟一公共點(diǎn)時(shí),叫做直線和圓相切,這時(shí)直線叫做圓的切線,惟一的公共點(diǎn)做切點(diǎn).(3)相離:直線和圓沒(méi)有公共點(diǎn)時(shí),叫做直線和圓相離.※2.直線與圓的位置關(guān)系的數(shù)量特征:

設(shè)⊙O的半徑為r，圓心O到直線的距離為d；①d<r<===>直線L和⊙O相交.②d=r<===>直線L和⊙O相切.③d>r<===>直線L和⊙O相離.※3.切線的總判定定理:經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這個(gè)條半徑的直線是圓的切線.※4.切線的性質(zhì)定理:

圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑.※推論1經(jīng)過(guò)圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)切點(diǎn).※推論2經(jīng)過(guò)切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)圓心.※分析性質(zhì)定理及兩個(gè)推論的條件和結(jié)論間的關(guān)系,可得如下結(jié)論:如果一條直線具備下列三個(gè)條件中的任意兩個(gè),就可推出第三個(gè).①垂直于切線;②過(guò)切點(diǎn);③過(guò)圓心.※5.三角形的內(nèi)切圓、內(nèi)心、圓的外切三角形的概念.

和三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓,內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心,這個(gè)三角形叫做圓的外切三角形.※6.三角形內(nèi)心的性質(zhì):(1)三角形的內(nèi)心到三邊的距離相等.(2)過(guò)三角形頂點(diǎn)和內(nèi)心的射線平分三角形的內(nèi)角.由此性質(zhì)引出一條重要的輔助線:連接內(nèi)心和三角形的頂點(diǎn),該線平分三角形的這個(gè)內(nèi)角.六.圓和圓的位置關(guān)系.※1.外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含(包括同心圓)這五種位置關(guān)系的定義.(1)外離:兩個(gè)圓沒(méi)有公共點(diǎn),并且每個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的外部時(shí),叫做這兩個(gè)圓外離.(2)外切:兩個(gè)圓有惟一的公共點(diǎn),并且除了這個(gè)公共點(diǎn)以外,每個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的外部時(shí),叫做這兩個(gè)圓外切.這個(gè)惟一的公共點(diǎn)叫做切點(diǎn).(3)相交:兩個(gè)圓有兩個(gè)公共點(diǎn),此時(shí)叫做這個(gè)兩個(gè)圓相交.(4)內(nèi)切:兩個(gè)圓有惟一的公共點(diǎn),并且除了這個(gè)公共點(diǎn)以外,一個(gè)圓上的都在另一個(gè)圓的內(nèi)部時(shí),叫做這兩個(gè)圓內(nèi)切.這個(gè)惟一的公共點(diǎn)叫做切點(diǎn).(5)內(nèi)含:兩個(gè)圓沒(méi)有公共點(diǎn),并且一個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的內(nèi)部時(shí),叫做這兩個(gè)圓內(nèi)含.兩圓同心是兩圓內(nèi)的一個(gè)