屆高三復(fù)習(xí)三角函數(shù)與解三角形復(fù)習(xí)資料

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屆高三復(fù)習(xí)三角函數(shù)與解三角形復(fù)習(xí)資料（完整版）資料(可以直接使用，可編輯優(yōu)秀版資料，歡迎下載）2021屆高三復(fù)習(xí)：三角函數(shù)與解三角形部分本章節(jié)常用的公式有：1、終邊相同的角①與角終邊相同的角的集合（角與角的終邊重合）:;②終邊在軸上的角的集合:;③終邊在軸上的角的集合：;④終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合：.2、扇形的弧長與面積公式扇形的半徑為，弧度為，圓心角為（），則扇形的弧長=面積公式其中（為弧所對(duì)圓心角的弧度數(shù)）。3、常見的特殊角的三角函數(shù)值；角度弧度不存在4、三角函數(shù)的定義在直角坐標(biāo)系中，設(shè)是一個(gè)任意角，終邊上任意一點(diǎn)（除了原點(diǎn)）的坐標(biāo)為，它與原點(diǎn)的距離為，那么（1）比值叫做的正弦，記作，即；（2）比值叫做的余弦，記作，即；（3）比值叫做的正切，記作，即；5、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，=，6、正弦、余弦的誘導(dǎo)公式縱變橫不變，符號(hào)看象限（奇變偶不變，符號(hào)看象限）7、和角與差角公式;;.8、輔助角公式=(輔助角所在象限由點(diǎn)的象限決定,).9、二倍角公式...10、降冪公式，11、三角函數(shù)的周期公式函數(shù)，及函數(shù)，的周期；函數(shù)，的周期.12、三角函數(shù)的圖像：13、正弦定理

.推廣：14、余弦定理;;.推廣：，15、面積定理（1）（分別表示a、b、c邊上的高）.（2）.(3).16、三角形內(nèi)角和定理在△ABC中，有.考點(diǎn)一：三角函數(shù)的化簡1、三角函數(shù)的振幅和最小正周期分別為（）A． B． C． D．2、已知函數(shù).（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）在中，若，邊，求邊的長及的值.3、已知向量，，函數(shù)．（1）求函數(shù)的最大值，并寫出相應(yīng)的取值集合；（2）若，且，求的值．4、已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)在上的單調(diào)性；（2）設(shè)，且，求的值．5、已知函數(shù)．（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）設(shè)，求的值域和單調(diào)遞增區(qū)間．6、設(shè)函數(shù)＋2。（1）求的最小正周期。（2）若函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值與相應(yīng)的自變量的值。1、已知函數(shù)2、已知函數(shù)3、已知函數(shù)，4、已知函數(shù)5、6、已知函數(shù)（知識(shí)點(diǎn)2三角函數(shù)的求值）一、三角函數(shù)的定義的使用1、已知是第二象限的角，其終邊上的一點(diǎn)為，且，則（）A．B．C．D．2、已知角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與軸正半軸重合，終邊在直線上，則（A）（B）（C）（D）3、已知角的終邊在直線上，則______________.二、三角函數(shù)的同角三角函數(shù)關(guān)系1、已知，求的值.2、已知是第四象限角，且，則；.3、已知，且，函數(shù)的圖像的相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離等于，則的值為（）（A）（B）（C）（D）三、“知一求二”1、已知，則= 2、已知，且.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，，求的值.四、三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式的使用1、設(shè)則的值等于__；2、已知，則＝__________．3、已知，則的值等于__；4、已知，則．.五、三角函數(shù)的輔助角公式的使用1、已知當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，則（）A． B． C． D．2、已知，則的值是（）(A)-(B)(C)-(D)六、切化弦，弦化切的技巧1、若，則（）A.1B.C.D.2、已知，則（）（A） （B） （C） （D）3、若,則的值為（）（A）（B）（C）(D)七、三角函數(shù)角的配湊1、若，則=__；2、已知，則的值等于__；3、若的值為__；4、已知的值等于__；5、已知,則A.B.C.D.6、已知，則（）A．B．C．D．7、已知，，則8、已知，則的值是（）(A)(B)(C)(D)9、已知向量,,.（Ⅰ）求的值;（Ⅱ）若,,且,求.（知識(shí)點(diǎn)3三角函數(shù)的變換）1、若將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)周期后，所得圖像對(duì)應(yīng)的函數(shù)為（）（A）（B）（C）（D）2、將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)周期后，所得圖象對(duì)應(yīng)的解析式（）3、要得到函數(shù)的圖象，只需要將函數(shù)的圖象()（A）向左平移個(gè)單位（B）向右平移個(gè)單位（C）向左平移個(gè)單位（D）向右平移個(gè)單位4、已知函數(shù)的最小正周期是，將函數(shù)圖象向左平移個(gè)單位長度后所得的函數(shù)圖象過點(diǎn)，則函數(shù)（）（A）在區(qū)間上單調(diào)遞減（B）在區(qū)間上單調(diào)遞增（C）在區(qū)間上單調(diào)遞減（D）在區(qū)間上單調(diào)遞增5、為了得到函數(shù)的圖象，只需把函數(shù)的圖象（）（A）向左平移個(gè)長度單位（B）向右平移個(gè)長度單位（C）向左平移個(gè)長度單位（D）向右平移個(gè)長度單位6、要得到函數(shù)的圖象，只需將的圖象()A.向左平移個(gè)單位長度B.向右平移個(gè)單位長度C.向左平移個(gè)單位長度D.向右平移個(gè)單位長度7、函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位得到函數(shù)的圖像，且函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的值()（A）（B）（C）2（D）8、設(shè)，函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位后與原圖象重合，則的最小值是 （） 9、將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，第1題圖若所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為偶函數(shù)，則的最小值是（）第1題圖A．B．C．D．（知識(shí)點(diǎn)4三角函數(shù)的的確定）1、已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則把函數(shù)的圖像向左平移后得到的函數(shù)圖象的解析式是（）A．B．C．D．2、函數(shù)的部分圖象如圖所示，則的值分別是（）A．B.C.D.3、已知函數(shù)的部分圖像如圖所示.（Ⅰ）求函數(shù)的解析式，并寫出的單調(diào)減區(qū)間；（Ⅱ）已知的內(nèi)角分別是，為銳角，且的值.4、已知函數(shù)在平面直角坐標(biāo)系中的部分圖象如圖所示，若，則()A．B．C．D．5、將函數(shù)的圖象向右移動(dòng)個(gè)單位長度，所得的部分圖象如右圖所示，則的值為（）A．B．C．D．6、已知函數(shù)（）在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示，則（）（A）（B）（C）（D）（知識(shí)點(diǎn)5三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)；）1、已知直線是函數(shù)()圖象的一條對(duì)稱軸，則取得最小值時(shí)的集合為 A． B． C． D． 2、已知函數(shù)的最小正周期為，則函數(shù)的圖像（）（A）關(guān)于直線對(duì)稱（B）關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱（C）關(guān)于直線對(duì)稱（D）關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱3、已知函數(shù)的圖像的一個(gè)對(duì)稱中心為（，0），則下列說法正確的個(gè)數(shù)是（）①直線是函數(shù)的圖像的一條對(duì)稱軸

②函數(shù)在上單調(diào)遞減③函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位可得到的圖像④函數(shù)在的最小值為A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)4、已知函數(shù)，若，則的最小值是（）A．2B．C.1D．5、函數(shù)相鄰兩個(gè)對(duì)稱中心的距離為，以下哪個(gè)區(qū)間是函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間A．B．C．D．6、已知函數(shù)為的零點(diǎn)，為圖像的對(duì)稱軸，且在單調(diào)，則的最大值為（）（A）11

（B）9

（C）7

（D）57、已知函數(shù)的最小正周期為，則（）A.B.C.D.8、下列命題中正確的是（）A．函數(shù)，是奇函數(shù)B．函數(shù)）在區(qū)間上單調(diào)遞減C．函數(shù)的一條對(duì)稱軸方程是D．函數(shù)的最小正周期為2，且它的最大值為19、已知的最大值為A,若存在實(shí)數(shù)使得對(duì)任意實(shí)數(shù)總有成立，則的最小值為（）A.B.C.D.10、設(shè)函數(shù)，若方程恰好有三個(gè)根，分別為，則的取值范圍是（）A.B.C.D.11、已知函數(shù)（）的圖象在區(qū)間上恰有3個(gè)最高點(diǎn)，則的取值范圍為（）A．B．C．D．12、函數(shù)（）的圖象關(guān)于對(duì)稱，則是（）A．圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)B．圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)C．圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)D．圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)13、函數(shù)的圖象在上恰有兩個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．（知識(shí)點(diǎn)6與解三角形有關(guān)的問題；）1、在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別是，若，則為（）（A）（B）（C）（D）2、已知分別為三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊，，，若的面積為，則____________．3、在中，角所對(duì)的邊分別為．若，的面積，則的值為_____________．4、的內(nèi)角的對(duì)邊分別為,若，，則的外接圓面積為（）A．B．C．D．5、的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，，，則．6、在中，角的對(duì)邊分別為，,且，則面積的最大值為.7、在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，且，則角的最大值為（）A．B．C．D．8、在中，角的對(duì)邊分別為，且，則的最小值為.9、在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，且，若，則的最大值為．10、在△中，分別為內(nèi)角的對(duì)邊，，，則△的面積的最大值為.11、已知平面四邊形為凸四邊形（凸四邊形即任取平面四邊形一邊所在直線，其余各邊均在此直線的同側(cè)），且，，，，則平面四邊形面積的最大值為．12、已知頂點(diǎn)在單位圓上的中，角、、的對(duì)邊分別為、、，且．（1）的值；（2）若，求的面積．13、在△中內(nèi)角角、、的對(duì)邊分別為、、，已知（I）求C；（II）若的面積為，求的周長．14、在中，角的對(duì)邊分別為，已知(Ⅰ)求的值；（Ⅱ）若,求面積的最大值.15、在中，角的對(duì)邊分別為，且滿足．（Ⅰ）求角的大??；（Ⅱ）若點(diǎn)為中點(diǎn)，且，求．16、已知中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為，且，（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，求.17、在中，角所對(duì)的邊分別為，且．（1）求的大小；(第17題)圖）（2）設(shè)的平分線交于，，，求的值．(第17題)圖）18、如圖，在梯形中，，，.(Ⅰ)若，求的長；(Ⅱ)若，求的面積.19、在中，角的對(duì)邊分別為，已知．（1）求；（2）若，求面積的最大值．20、如圖，是內(nèi)一點(diǎn)，角的對(duì)邊分別是，且滿足，，，的面積是.（1）求線段的長；（2）若，求線段的長.21、在中，內(nèi)角所對(duì)邊的長分別為，,.（I）若，求三角形的面積；（II）若，求的最大值.22、中的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別是，若，.（1）求；（2）若，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，且，求的面積.23、的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知.（Ⅰ）求角C；（Ⅱ）若，的面積為，求的周長．24、在△ABC中，、、分別為角、、所對(duì)的邊，，且．(Ⅰ)求角的大?。?Ⅱ)求外接圓的圓心到AC邊的距離．25、在中，角的的對(duì)邊分別為（1）若成等比數(shù)列，，求的值；（2）若成等差數(shù)列，且，設(shè)，的周長為，求的最大值.26、在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，.（1）證明：是正三角形；（2）如圖，點(diǎn)的邊的延長線上，且，，求的值.八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)期中期末《全等三角形》《軸對(duì)稱》拔高題一．選擇題（共4小題）1．如圖，Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠ABC的角平分線BE和∠BAC的外角平分線AD相交于點(diǎn)P，分別交AC和BC的延長線于E，D．過P作PF⊥AD交AC的延長線于點(diǎn)H，交BC的延長線于點(diǎn)F，連接AF交DH于點(diǎn)G．則下列結(jié)論：①∠APB=45°；②PF=PA；③BD﹣AH=AB；④DG=AP+GH．其中正確的是（）A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④2．如圖，將30°的直角三角尺ABC繞直角頂點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到ADE的位置，使B點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D落在BC邊上，連接EB、EC，則下列結(jié)論：①∠DAC=∠DCA；②ED為AC的垂直平分線；③EB平分∠AED；④ED=2AB．其中正確的是（）A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④3．如圖，Rt△ACB中，∠ACB=90°，△ABC的角平分線AD、BE相交于點(diǎn)P，過P作PF⊥AD交BC的延長線于點(diǎn)F，交AC于點(diǎn)H，則下列結(jié)論：①∠APB=135°；②PF=PA；③AH+BD=AB；④S四邊形ABDE=S△ABP，其中正確的是（）A．①③B．①②④C．①②③D．②③4．如圖，在四邊形ABCD中，∠B=∠C=90°，∠DAB與∠ADC的平分線相交于BC邊上的M點(diǎn)，則下列結(jié)論：①∠AMD=90°；②M為BC的中點(diǎn)；③AB+CD=AD；④；⑤M到AD的距離等于BC的一半；其中正確的有（）A．2個(gè)B．3個(gè)C．4個(gè)D．5個(gè)二．解答題（共8小題）5．如圖1，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠ABC=30°AC=1點(diǎn)D為AC上一動(dòng)點(diǎn)，連接BD，以BD為邊作等邊△BDE，EA的延長線交BC的延長線于F，設(shè)CD=n，（1）當(dāng)n=1時(shí)，則AF=_________；（2）當(dāng)0＜n＜1時(shí)，如圖2，在BA上截取BH=AD，連接EH，求證：△AEH為等邊三角形．6．兩個(gè)等腰直角△ABC和等腰直角△DCE如圖1擺放，其中D點(diǎn)在AB上，連接BE．（1）則=_________，∠CBE=_________度；（2）當(dāng)把△DEF繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到如圖2所示的位置時(shí)（D點(diǎn)在BC上），連接AD并延長交BE于點(diǎn)F，連接FC，則=_________，∠CFE=_________度；（3）把△DEC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到如圖3所示的位置時(shí)，請(qǐng)求出∠CFE的度數(shù)_________．7．已知△ABC為邊長為10的等邊三角形，D是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)：①如圖1，點(diǎn)E在AC上，且BD=CE，BE交AD于F，當(dāng)D點(diǎn)滑動(dòng)時(shí)，∠AFE的大小是否變化？若不變，請(qǐng)求出其度數(shù)．②如圖2，過點(diǎn)D作∠ADG=60°與∠ACB的外角平分線交于G，當(dāng)點(diǎn)D在BC上滑動(dòng)時(shí)，有下列兩個(gè)結(jié)論：①DC+CG的值為定值；②DG﹣CD的值為定值．其中有且只有一個(gè)是正確的，請(qǐng)你選擇正確的結(jié)論加以證明并求出其值．8．如圖，點(diǎn)A、C分別在一個(gè)含45°的直角三角板HBE的兩條直角邊BH和BE上，且BA=BC，過點(diǎn)C作BE的垂線CD，過E點(diǎn)作EF上AE交∠DCE的角平分線于F點(diǎn)，交HE于P．（1）試判斷△PCE的形狀，并請(qǐng)說明理由；（2）若∠HAE=120°，AB=3，求EF的長．9．如圖，AD是△ABC的角平分線，H，G分別在AC，AB上，且HD=BD．（1）求證：∠B與∠AHD互補(bǔ)；（2）若∠B+2∠DGA=180°，請(qǐng)?zhí)骄烤€段AG與線段AH、HD之間滿足的等量關(guān)系，并加以證明．10．如圖，在等腰Rt△ABC與等腰Rt△DBE中，∠BDE=∠ACB=90°，且BE在AB邊上，取AE的中點(diǎn)F，CD的中點(diǎn)G，連接GF．（1）FG與DC的位置關(guān)系是_________，F(xiàn)G與DC的數(shù)量關(guān)系是_________；（2）若將△BDE繞B點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°，其它條件不變，請(qǐng)完成下圖，并判斷（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)證明你的結(jié)論．11．如圖1，△ABC中，AG⊥BC于點(diǎn)G，以A為直角頂點(diǎn)，分別以AB、AC為直角邊，向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，過點(diǎn)E、F作射線GA的垂線，垂足分別為P、Q．（1）試探究EP與FQ之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．（2）若連接EF交GA的延長線于H，由（1）中的結(jié)論你能判斷并證明EH與FH的大小關(guān)系嗎？（3）圖2中的△ABC與△AEF的面積相等嗎？（不用證明）12．已知如圖1：△ABC中，AB=AC，∠B、∠C的平分線相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作EF∥BC交AB、AC于E、F．①圖中有幾個(gè)等腰三角形？請(qǐng)說明EF與BE、CF間有怎樣的關(guān)系．②若AB≠AC，其他條件不變，如圖2，圖中還有等腰三角形嗎？如果有，請(qǐng)分別指出它們．另第①問中EF與BE、CF間的關(guān)系還存在嗎？③若△ABC中，∠B的平分線與三角形外角∠ACD的平分線CO交于O，過O點(diǎn)作OE∥BC交AB于E，交AC于F．如圖3，這時(shí)圖中還有哪幾個(gè)等腰三角形？EF與BE、CF間的關(guān)系如何？為什么？八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)期中期末《全等三角形》《軸對(duì)稱》拔高題參考答案與試題解析一．選擇題（共4小題）1．如圖，Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠ABC的角平分線BE和∠BAC的外角平分線AD相交于點(diǎn)P，分別交AC和BC的延長線于E，D．過P作PF⊥AD交AC的延長線于點(diǎn)H，交BC的延長線于點(diǎn)F，連接AF交DH于點(diǎn)G．則下列結(jié)論：①∠APB=45°；②PF=PA；③BD﹣AH=AB；④DG=AP+GH．其中正確的是（）A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④考點(diǎn)：直角三角形的性質(zhì)；角平分線的定義；垂線；全等三角形的判定與性質(zhì)．專題：推理填空題．分析：①根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和與角平分線的定義表示出∠CAP，再根據(jù)角平分線的定義∠ABP=∠ABC，然后利用三角形的內(nèi)角和定理整理即可得解；②③先根據(jù)直角的關(guān)系求出∠AHP=∠FDP，然后利用角角邊證明△AHP與△FDP全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得DF=AH，對(duì)應(yīng)角相等可得∠PFD=∠HAP，然后利用平角的關(guān)系求出∠BAP=∠BFP，再利用角角邊證明△ABP與△FBP全等，然后根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等得到AB=BF，從而得解；④根據(jù)PF⊥AD，∠ACB=90°，可得AG⊥DH，然后求出∠ADG=∠DAG=45°，再根據(jù)等角對(duì)等邊可得DG=AG，再根據(jù)等腰直角三角形兩腰相等可得GH=GF，然后求出DG=GH+AF，有直角三角形斜邊大于直角邊，AF＞AP，從而得出本小題錯(cuò)誤．解答：解：①∵∠ABC的角平分線BE和∠BAC的外角平分線，∴∠ABP=∠ABC，∠CAP=（90°+∠ABC）=45°+∠ABC，在△ABP中，∠APB=180°﹣∠BAP﹣∠ABP，=180°﹣（45°+∠ABC+90°﹣∠ABC）﹣∠ABC，=180°﹣45°﹣∠ABC﹣90°+∠ABC﹣∠ABC，=45°，故本小題正確；②③∵∠ACB=90°，PF⊥AD，∴∠FDP+∠HAP=90°，∠AHP+∠HAP=90°，∴∠AHP=∠FDP，∵PF⊥AD，∴∠APH=∠FPD=90°，在△AHP與△FDP中，，∴△AHP≌△FDP（AAS），∴DF=AH，∵AD為∠BAC的外角平分線，∠PFD=∠HAP，∴∠PAE+∠BAP=180°，又∵∠PFD+∠BFP=180°，∴∠PAE=∠PFD，∵∠ABC的角平分線，∴∠ABP=∠FBP，在△ABP與△FBP中，，∴△ABP≌△FBP（AAS），∴AB=BF，AP=PF故②小題正確；∵BD=DF+BF，∴BD=AH+AB，∴BD﹣AH=AB，故③小題正確；④∵PF⊥AD，∠ACB=90°，∴AG⊥DH，∵AP=PF，PF⊥AD，∴∠PAF=45°，∴∠ADG=∠DAG=45°，∴DG=AG，∵∠PAF=45°，AG⊥DH，∴△ADG與△FGH都是等腰直角三角形，∴DG=AG，GH=GF，∴DG=GH+AF，∵AF＞AP，∴DG=AP+GH不成立，故本小題錯(cuò)誤，綜上所述①②③正確．故選A．點(diǎn)評(píng)：本題考查了直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定，以及等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，等角對(duì)等邊，等邊對(duì)等角的性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，難度較大，做題時(shí)要分清角的關(guān)系與邊的關(guān)系．2．如圖，將30°的直角三角尺ABC繞直角頂點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到ADE的位置，使B點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D落在BC邊上，連接EB、EC，則下列結(jié)論：①∠DAC=∠DCA；②ED為AC的垂直平分線；③EB平分∠AED；④ED=2AB．其中正確的是（）A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；含30度角的直角三角形．分析：根據(jù)直角三角形中30°的角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可判斷．解答：解：①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可以得到：AB=AD，而∠ABD=60°，則△ABD是等邊三角形，可得到∠DAC=30°，∴∠DAC=∠DCA，故正確；②根據(jù)①可得AD=CD，并且根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：AC=AE，∠EAC=60°，則△ACE是等邊三角形，則EA=EC，即D、E都到AC兩端的距離相等，則DE在AC的垂直平分線上，故正確；③根據(jù)條件AB∥DE，而AB≠AE，即可證得EB平分∠AED不正確，故錯(cuò)誤；④根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，DE=BC，而BC=2AB，即可證得ED=2AB，故正確；故正確的是：①②④．故選B．點(diǎn)評(píng)：正確理解旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，圖形旋轉(zhuǎn)前后兩個(gè)圖形全等是解決本題的關(guān)鍵．3．如圖，Rt△ACB中，∠ACB=90°，△ABC的角平分線AD、BE相交于點(diǎn)P，過P作PF⊥AD交BC的延長線于點(diǎn)F，交AC于點(diǎn)H，則下列結(jié)論：①∠APB=135°；②PF=PA；③AH+BD=AB；④S四邊形ABDE=S△ABP，其中正確的是（）A．①③B．①②④C．①②③D．②③考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)．分析：根據(jù)三角形全等的判定和性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理逐條分析判斷．解答：解：在△ABC中，AD、BE分別平分∠BAC、∠ABC，∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，又∵AD、BE分別平分∠BAC、∠ABC，∴∠BAD+∠ABE=（∠A+∠B）=45°，∴∠APB=135°，故①正確．∴∠BPD=45°，又∵PF⊥AD，∴∠FPB=90°+45°=135°，∴∠APB=∠FPB，又∵∠ABP=∠FBP，BP=BP，∴△ABP≌△FBP，∴∠BAP=∠BFP，AB=FB，PA=PF，故②正確．在△APH和△FPD中，∵∠APH=∠FPD=90°，∠PAH=∠BAP=∠BFP，PA=PF，∴△APH≌△FPD，∴AH=FD，又∵AB=FB，∴AB=FD+BD=AH+BD．故③正確．∵△ABP≌△FBP，△APH≌△FPD，∴S四邊形ABDE=S△ABP+S△BDP+S△APH﹣S△EOH+S△DOP=S△ABP+S△ABP﹣S△EOH+S△DOP=2S△ABP﹣S△EOH+S△DOP．故選C．點(diǎn)評(píng)：本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定兩個(gè)三角形全等，判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊的參與，若有兩邊一角對(duì)應(yīng)相等時(shí)，角必須是兩邊的夾角．4．如圖，在四邊形ABCD中，∠B=∠C=90°，∠DAB與∠ADC的平分線相交于BC邊上的M點(diǎn)，則下列結(jié)論：①∠AMD=90°；②M為BC的中點(diǎn)；③AB+CD=AD；④；⑤M到AD的距離等于BC的一半；其中正確的有（）A．2個(gè)B．3個(gè)C．4個(gè)D．5個(gè)考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)；角平分線的性質(zhì)．分析：過M作ME⊥AD于E，得出∠MDE=∠CDA，∠MAD=∠BAD，求出∠MDA+∠MAD=（∠CDA+∠BAD）=90°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠AMD，即可判斷①；根據(jù)角平分線性質(zhì)求出MC=ME，ME=MB，即可判斷②和⑤；由勾股定理求出DC=DE，AB=AE，即可判斷③；根據(jù)SSS證△DEM≌△DCM，推出S三角形DEM=S三角形DCM，同理得出S三角形AEM=S三角形ABM，即可判斷④．解答：解：過M作ME⊥AD于E，∵∠DAB與∠ADC的平分線相交于BC邊上的M點(diǎn)，∴∠MDE=∠CDA，∠MAD=∠BAD，∵DC∥AB，∴∠CDA+∠BAD=180°，∴∠MDA+∠MAD=（∠CDA+∠BAD）=×180°=90°，∴∠AMD=180°﹣90°=90°，∴①正確；∵DM平分∠CDE，∠C=90°（MC⊥DC），ME⊥DA，∴MC=ME，同理ME=MB，∴MC=MB=ME=BC，∴②正確；∴M到AD的距離等于BC的一半，∴⑤正確；∵由勾股定理得：DC2=MD2﹣MC2，DE2=MD2﹣ME2，又∵M(jìn)E=MC，MD=MD，∴DC=DE，同理AB=AE，∴AD=AE+DE=AB+DC，∴③正確；∵在△DEM和△DCM中，∴△DEM≌△DCM（SSS），∴S三角形DEM=S三角形DCM同理S三角形AEM=S三角形ABM，∴S三角形AMD=S梯形ABCD，∴④正確；故選D．點(diǎn)評(píng)：本題考查了角平分線性質(zhì)，垂直定義，直角梯形，勾股定理，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生運(yùn)用定理進(jìn)行推理的能力．二．解答題（共8小題）5．如圖1，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠ABC=30°AC=1點(diǎn)D為AC上一動(dòng)點(diǎn)，連接BD，以BD為邊作等邊△BDE，EA的延長線交BC的延長線于F，設(shè)CD=n，（1）當(dāng)n=1時(shí)，則AF=2；（2）當(dāng)0＜n＜1時(shí)，如圖2，在BA上截取BH=AD，連接EH，求證：△AEH為等邊三角形．考點(diǎn)：含30度角的直角三角形；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)．專題：動(dòng)點(diǎn)型．分析：（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠BAC=60°，再根據(jù)平角等于180°求出∠FAC=60°，然后求出∠F=30°，根據(jù)30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半求解即可；（2）根據(jù)三角形的任意一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和利用∠CBD表示出∠ADE=30°+∠CBD，又∠HBE=30°+∠CBD，從而得到∠ADE=∠HBE，然后根據(jù)邊角邊證明△ADE與△HBE全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AE=HE，對(duì)應(yīng)角相等可得∠AED=∠HEB，然后推出∠AEH=∠BED=60°，再根據(jù)等邊三角形的判定即可證明．解答：（1）解：∵△BDE是等邊三角形，∴∠EDB=60°，∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，∴∠BAC=180°﹣90°﹣30°=60°，∴FAC=180°﹣60°﹣60°=60°，∴∠F=180°﹣90°﹣60°=30°，∵∠ACB=90°，∴∠ACF=180°﹣90°，∴AF=2AC=2×1=2；（2）證明：∵△BDE是等邊三角形，∴BE=BD，∠EDB=∠EBD=60°，在△BCD中，∠ADE+∠EDB=∠CBD+∠C，即∠ADE+60°=∠CBD+90°，∴∠ADE=30°+∠CBD，∵∠HBE+∠ABD=60°，∠CBD+∠ABD=30°，∴∠HBE=30°+∠CBD，∴∠ADE=∠HBE，在△ADE與△HBE中，，∴△ADE≌△HBE（SAS），∴AE=HE，∠AED=∠HEB，∴∠AED+∠DEH=∠DEH+∠HEB，即∠AEH=∠BED=60°，∴△AEH為等邊三角形．點(diǎn)評(píng)：本題考查了30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，以及三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)，（2）中求出∠ADE=∠HBE是解題的關(guān)鍵．6．兩個(gè)等腰直角△ABC和等腰直角△DCE如圖1擺放，其中D點(diǎn)在AB上，連接BE．（1）則=1，∠CBE=45度；（2）當(dāng)把△DEF繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到如圖2所示的位置時(shí)（D點(diǎn)在BC上），連接AD并延長交BE于點(diǎn)F，連接FC，則=1，∠CFE=45度；（3）把△DEC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到如圖3所示的位置時(shí)，請(qǐng)求出∠CFE的度數(shù)135°．考點(diǎn)：圓周角定理；全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形；確定圓的條件．分析：（1）先證明∠ACD=∠BCE，再根據(jù)邊角邊定理證明△ACD≌△BCE，然后根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等和對(duì)應(yīng)角相等解答；（2）根據(jù)（1）的思路證明△ACD和△BCE全等，再根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等得BE=AD，對(duì)應(yīng)角相等得∠DAC=∠DBF，又AC⊥CD，所以AF⊥BF，從而可以得到C、E、F、D四點(diǎn)共圓，根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等即可求出∠CFE=∠CDE=45°；（3）同（2）的思路，證明C、F、D、E四點(diǎn)共圓，得出∠CFD=∠CED=45°，而∠DEF=90°，所以∠CFE的度數(shù)即可求出．解答：解：（1）∵△ABC和△DCE是等腰三角形，∴AC=BC，CD=CE，∵∠ACB=∠DCE=90°，∴∠ACB﹣∠BCD=∠DCE﹣∠BCD，即∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴BE=AD，∠CBE=∠CAD=45°，因此=1，∠CBE=45°；（2）同（1）可得BE=AD，∴=1，∠CBE=∠CAD；又∵∠ACD=90°，∠ADC=∠BDF，∴∠BFD=∠ACD=90°；又∵∠DCE=90°，∴C、E、F、D四點(diǎn)共圓，∴∠CFE=∠CDE=45°；（3）同（2）可得∠BFA=90°，∴∠DFE=90°；又∵∠DCE=90°，∴C、F、D、E四點(diǎn)共圓，∴∠CFD=∠CED=45°，∴∠CFE=∠CFD+∠DFE=45°+90°=135°．點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了等邊對(duì)等角的性質(zhì)，三角形全等的判定和全等三角形的性質(zhì)，四點(diǎn)共圓以及同弧所對(duì)的圓周角相等的性質(zhì)，需要熟練掌握并靈活運(yùn)用．7．已知△ABC為邊長為10的等邊三角形，D是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)：①如圖1，點(diǎn)E在AC上，且BD=CE，BE交AD于F，當(dāng)D點(diǎn)滑動(dòng)時(shí)，∠AFE的大小是否變化？若不變，請(qǐng)求出其度數(shù)．②如圖2，過點(diǎn)D作∠ADG=60°與∠ACB的外角平分線交于G，當(dāng)點(diǎn)D在BC上滑動(dòng)時(shí)，有下列兩個(gè)結(jié)論：①DC+CG的值為定值；②DG﹣CD的值為定值．其中有且只有一個(gè)是正確的，請(qǐng)你選擇正確的結(jié)論加以證明并求出其值．考點(diǎn)：等邊三角形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)．專題：探究型．分析：①∠AFE的大小不變，其度數(shù)為60°，理由如下：由三角形ABC為等邊三角形，得到三條邊相等，三個(gè)內(nèi)角相等，都為60°，可得出AB=BC，∠ABD=∠C，再由BD=CE，利用SAS可得出三角形ABD與三角形BCE全等，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等可得出∠BAD=∠CBE，在三角形ABD中，由∠ABD為60°，得到∠BAD+∠ADB的度數(shù)，等量代換可得出∠CBE+∠ADB的度數(shù)，利用三角形的內(nèi)角和定理求出∠BFD的度數(shù)，根據(jù)對(duì)應(yīng)角相等可得出∠AFE=∠BFD，可得出∠AFE的度數(shù)不變；②連接AG，如圖所示，由三角形ABC為等邊三角形，得出三條邊相等，三個(gè)內(nèi)角都相等，都為60°，再由CG為外角平分線，得出∠ACG也為60°，由∠ADG為60°，可得出A，D，C，G四點(diǎn)共圓，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)可得出∠DAG與∠DCG互補(bǔ)，而∠DCG為120°，可得出∠DAG為60°，根據(jù)∠BAD+∠DAC=∠DAC+∠CAG=60°，利用等式的性質(zhì)得到∠BAD=∠CAG，利用ASA可證明三角形ABD與三角形ACG全等，利用全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等可得出BD=CG，由BC=BD+DC，等量代換可得出CG+CD=BC，而BC=10，即可得到DC+CG為定值10，得證．解答：解：①∠AFE的大小不變，其度數(shù)為60°，理由為：∵△ABC為等邊三角形，∴AB=BC，∠ABD=∠C=60°，在△ABD和△BCE中，，∴△ABD≌△BCE（SAS），∴∠BAD=∠CBE，又∠BAD+∠ADB=120°，∴∠CBE+∠ADB=120°，∴∠BFD=60°，則∠AFE=∠BFD=60°；②正確的結(jié)論為：DC+CG的值為定值，理由如下：連接AG，如圖2所示：∵△ABC為等邊三角形，∴AB=BC=AC，∠ABD=∠ACB=∠BAC=60°，又CG為∠ACB的外角平分線，∴∠ACG=60°，又∵∠ADG=60°，∴∠ADG=∠ACG，即A，D，C，G四點(diǎn)共圓，∴∠DAG+∠DCG=180°，又∠DCG=120°，∴∠DAG=60°，即∠DAC+∠CAG=60°，又∵∠BAD+∠DAC=60°，∴∠BAD=∠GAC，在△ABD和△ACG中，∵，∴△ABD≌△ACG（ASA），∴DB=GC，又BC=10，則BC=BD+DC=DC+CG=10，即DC+CG的值為定值．點(diǎn)評(píng)：此題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，四點(diǎn)共圓的條件，以及圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，利用了等量代換及轉(zhuǎn)化的思想，熟練掌握等邊三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．8．如圖，點(diǎn)A、C分別在一個(gè)含45°的直角三角板HBE的兩條直角邊BH和BE上，且BA=BC，過點(diǎn)C作BE的垂線CD，過E點(diǎn)作EF上AE交∠DCE的角平分線于F點(diǎn)，交HE于P．（1）試判斷△PCE的形狀，并請(qǐng)說明理由；（2）若∠HAE=120°，AB=3，求EF的長．考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形．專題：計(jì)算題；證明題．分析：（1）根據(jù)∠PCE=∠DCE=×90°=45°，求證∠CPE=90°，然后即可判斷三角形的形狀．（2）根據(jù)∠HEB=∠H=45°得HB=BE，再根據(jù)BA=BC和∠HAE=120°，利用ASA求證△HAE≌△CEF，得AE=EF，又因?yàn)锳E=2AB．然后即可求得EF．解答：解：（1）△PCE是等腰直角三角形，理由如下：∵∠PCE=∠DCE=×90°=45°∠PEC=45°∴∠PCE=∠PEC∠CPE=90°∴△PCE是等腰直角三角形（2）∵∠HEB=∠H=45°∴HB=BE∵BA=BC∴AH=CE而∠HAE=120°∴∠BAE=60°，∠AEB=30°又∵∠AEF=90°∴∠CEF=120°=∠HAE而∠H=∠FCE=45°∴△HAE≌△CEF（ASA）∴AE=EF又∵AE=2AB=2×3=6∴EF=6點(diǎn)評(píng)：此題主要考查學(xué)生對(duì)全等三角形的判定與性質(zhì)和等腰直角三角形等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，解答（2）的關(guān)鍵是利用ASA求證△HAE≌△CEF，此題有一定的拔高難度，屬于中檔題．9．如圖，AD是△ABC的角平分線，H，G分別在AC，AB上，且HD=BD．（1）求證：∠B與∠AHD互補(bǔ)；（2）若∠B+2∠DGA=180°，請(qǐng)?zhí)骄烤€段AG與線段AH、HD之間滿足的等量關(guān)系，并加以證明．考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)．專題：證明題．分析：（1）在AB上取一點(diǎn)M，使得AM=AH，連接DM，則利用SAS可得出△AHD≌△AMD，從而得出HD=MD=DB，即有∠DMB=∠B，通過這樣的轉(zhuǎn)化可證明∠B與∠AHD互補(bǔ)．（2）由（1）的結(jié)論中得出的∠AHD=∠AMD，結(jié)合三角形的外角可得出∠DGM=∠GDM，可將HD轉(zhuǎn)化為MG，從而在線段AG上可解決問題．解答：證明：（1）在AB上取一點(diǎn)M，使得AM=AH，連接DM，∵，∴△AHD≌△AMD，∴HD=MD，∠AHD=∠AMD，∵HD=DB，∴DB=MD，∴∠DMB=∠B，∵∠AMD+∠DMB=180°，∴∠AHD+∠B=180°，即∠B與∠AHD互補(bǔ)．（2）由（1）∠AHD=∠AMD，HD=MD，∠AHD+∠B=180°，∵∠B+2∠DGA=180°，∠AHD=2∠DGA，∴∠AMD=2∠DGM，又∵∠AMD=∠DGM+∠GDM，∴2∠DGM=∠DGM+∠GDM，即∠DGM=∠GDM，∴MD=MG，∴HD=MG，∵AG=AM+MG，∴AG=AH+HD．點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)，結(jié)合了等腰三角形的知識(shí)，解決這兩問的關(guān)鍵都是通過全等圖形的對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等，將題目涉及的角或邊進(jìn)行轉(zhuǎn)化．10．如圖，在等腰Rt△ABC與等腰Rt△DBE中，∠BDE=∠ACB=90°，且BE在AB邊上，取AE的中點(diǎn)F，CD的中點(diǎn)G，連接GF．（1）FG與DC的位置關(guān)系是FG⊥CD，F(xiàn)G與DC的數(shù)量關(guān)系是FG=CD；（2）若將△BDE繞B點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°，其它條件不變，請(qǐng)完成下圖，并判斷（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)證明你的結(jié)論．考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形．專題：探究型．分析：（1）證FG和CD的大小和位置關(guān)系，我們已知了G是CD的中點(diǎn)，猜想應(yīng)該是FG⊥CD，F(xiàn)G=CD．可通過構(gòu)建三角形連接FD，F(xiàn)C，證三角形DFC是等腰直角三角形來得出上述結(jié)論，可通過全等三角形來證明；延長DE交AC于M，連接FM，證明三角形DEF和FMC全等即可．我們發(fā)現(xiàn)BDMC是個(gè)矩形，因此BD=CM=DE．由于三角形DEB和ABC都是等腰直角三角形，∠BED=∠A=45°，因此∠AEM=∠A=45°，這樣我們得出三角形AEM是個(gè)等腰直角三角形，F(xiàn)是斜邊AE的中點(diǎn)，因此MF=EF，∠AMF=∠BED=45°，那么這兩個(gè)角的補(bǔ)角也應(yīng)當(dāng)相等，由此可得出∠DEF=∠FMC，這樣就構(gòu)成了三角形DEF和CMF的全等的所有條件，可得到DF=FC，即三角形DFC是等腰三角形，下面證直角．根據(jù)兩三角形全等，我們還能得出∠MFC=∠DFE，我們知道∠MFC+∠CFE=90°，因此∠DFE+∠CFE=∠DFC=90°，這樣就得出三角形DFC是等腰直角三角形了，也就能得出FG⊥CD，F(xiàn)G=CD的結(jié)論了．（2）和（1）的證法完全一樣．解答：解：（1）FG⊥CD，F(xiàn)G=CD．（2）延長ED交AC的延長線于M，連接FC、FD、FM，∴四邊形BCMD是矩形．∴CM=BD．又△ABC和△BDE都是等腰直角三角形，∴ED=BD=CM．∵∠AEM=∠A=45°，∴△AEM是等腰直角三角形．又F是AE的中點(diǎn)，∴MF⊥AE，EF=MF，∠EDF=∠MCF．∵在△EFD和△MFC中，∴△EFD≌△MFC．∴FD=FC，∠EFD=∠MFC．又∠EFD+∠DFM=90°，∴∠MFC+∠DFM=90°．即△CDF是等腰直角三角形，又G是CD的中點(diǎn)，∴FG=CD，F(xiàn)G⊥CD．點(diǎn)評(píng)：本題中通過構(gòu)建全等三角形來證明線段和角相等是解題的關(guān)鍵．11．如圖1，△ABC中，AG⊥BC于點(diǎn)G，以A為直角頂點(diǎn)，分別以AB、AC為直角邊，向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，過點(diǎn)E、F作射線GA的垂線，垂足分別為P、Q．（1）試探究EP與FQ之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．（2）若連接EF交GA的延長線于H，由（1）中的結(jié)論你能判斷并證明EH與FH的大小關(guān)系嗎？（3）圖2中的△ABC與△AEF的面積相等嗎？（不用證明）考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形．分析：（1）根據(jù)全等三角形的判定得出△ABG≌△EAP，進(jìn)而求出AG=EP．同理AG=FQ，即EP=FQ．（2）過點(diǎn)E作EP⊥GA，F(xiàn)Q⊥GA，垂足分別為P、Q．根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)即可解題．（3）由（1）、（2）中的全等三角形可以推知△ABC與△AEF的面積相等．解答：解：（1）EP=FQ，理由如下：如圖1，∵Rt△ABE是等腰三角形，∴EA=BA．∵∠PEA+∠PAE=90°，∠PAE+∠BAG=90°，∴∠PEA=∠BAG在△EAP與△ABG中，，∴△EAP≌△ABG（AAS），∴EP=AG．同理AG=FQ．∴EP=FQ．（2）如圖2，HE=HF．理由：過點(diǎn)E作EP⊥GA，F(xiàn)Q⊥GA，垂足分別為P、Q．由（1）知EP=FQ．在△EPH與△FQH中，∵，∴△EPH≌△FQH（AAS）．∴HE=HF；（3）相等．理由如下：由（1）知，△ABG≌△EAP，△FQA≌△AGC，則S△ABG=S△EAP，S△FQA=S△AGC．由（2）知，△EPH≌△FQH，則S△EPH=S△FQH，所以S△ABC=S△ABG+S△AGC=S△EAP﹣S△EPH+S△FQA﹣S△FQH=S△EAP+S△FQA=S△AEF，即S△ABC=S△AEF．故圖2中的△ABC與△AEF的面積相等．點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的證明，考查了全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等的性質(zhì)，考查了三角形內(nèi)角和為180°的性質(zhì)，考查了等腰三角形腰長相等的性質(zhì)，本題中求證△AFQ≌△CAG是解題的關(guān)鍵．12．已知如圖1：△ABC中，AB=AC，∠B、∠C的平分線相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作EF∥BC交AB、AC于E、F．①圖中有幾個(gè)等腰三角形？請(qǐng)說明EF與BE、CF間有怎樣的關(guān)系．②若AB≠AC，其他條件不變，如圖2，圖中還有等腰三角形嗎？如果有，請(qǐng)分別指出它們．另第①問中EF與BE、CF間的關(guān)系還存在嗎？③若△ABC中，∠B的平分線與三角形外角∠ACD的平分線CO交于O，過O點(diǎn)作OE∥BC交AB于E，交AC于F．如圖3，這時(shí)圖中還有哪幾個(gè)等腰三角形？EF與BE、CF間的關(guān)系如何？為什么？考點(diǎn)：等腰三角形的判定與性質(zhì)；平行線的性質(zhì)．專題：計(jì)算題；證明題．分析：（1）根據(jù)EF∥BC，∠B、∠C的平分線交于O點(diǎn)，可得∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCB，∠EOB=∠OBE，∠FCO=∠FOC，再加上題目中給出的AB=AC，共5個(gè)等腰三角形；根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，即可得出EF與BE、CF間有怎樣的關(guān)系．（2）根據(jù)EF∥BC和∠B、∠C的平分線交于O點(diǎn)，還可以證明出△OBE和△OCF是等腰三角形；利用幾個(gè)等腰三角形的性質(zhì)即可得出EF與BE，CF的關(guān)系．（3）EO∥BC和OB，OC分別是∠ABC與∠ACL的角平分線，還可以證明出△BEO和△CFO是等腰三角形．解答：解：（1）有5個(gè)等腰三角形，EF與BE、CF間有怎樣的關(guān)系是：EF=BE+CF=2BE=2CF．理由如下：∵EF∥BC，∴∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCB，又∠B、∠C的平分線交于O點(diǎn)，∴∠EBO=∠OBC，∠FCO=∠OCB，∴∠EOB=∠OBE，∠FCO=∠FOC，∴OE=BE，OF=CF，∴EF=OE+OF=BE+CF．又AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠EOB=∠OBE=∠FCO=∠FOC，∴EF=BE+CF=2BE=2CF；（2）有2個(gè)等腰三角形分別是：等腰△OBE和等腰△OCF；第一問中的EF與BE，CF的關(guān)系是：EF=BE+CF．（3）有，還是有2個(gè)等腰三角形，△EBO，△OCF，EF=BE﹣CF，理由如下：∵EO∥BC，∴∠EOB=∠OBC，∠EOC=∠OCG（G是BC延長線上的一點(diǎn)）又∵OB，OC分別是∠ABC與∠ACG的角平分線∴∠EBO=∠OBC，∠ACO=∠OCG，∴∠EOB=∠EBO，∴BE=OE，∠FCO=∠FOC，∴CF=FO，又∵EO=EF+FO，∴EF=BE﹣CF．點(diǎn)評(píng)：此題主要考查學(xué)生對(duì)等腰三角形的判定與性質(zhì)和平行線性質(zhì)的理解和掌握，此題難度并不大，但是步驟繁瑣，屬于中檔題，還有第（1）中容易忽略△ABC也是等腰三角形，因此這又是一道易錯(cuò)題．要求學(xué)生在證明此題時(shí)一定要仔細(xì)，認(rèn)真．中考復(fù)習(xí)《相似三角形》練習(xí)題一．選擇題（共10小題）1．（2021?自貢）如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分線交BC于E，交DC的延長線于F，BG⊥AE于G，BG=，則△EFC的周長為（）A．11B．10C．9D．82．（2021?重慶）如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E在AD上，連接CE并延長與BA的延長線交于點(diǎn)F，若AE=2ED，CD=3cm，則AF的長為（）A．5cmB．6cmC．7cmD．8cm3．（2021?孝感）如圖，在△ABC中，AB=AC=a，BC=b（a＞b）．在△ABC內(nèi)依次作∠CBD=∠A，∠DCE=∠CBD，∠EDF=∠DCE．則EF等于（）A．B．C．D．4．（2021?咸寧）如圖，正方形ABCD是一塊綠化帶，其中陰影部分EOFB，GHMN都是正方形的花圃．已知自由飛翔的小鳥，將隨機(jī)落在這塊綠化帶上，則小鳥在花圃上的概率為（）A．B．C．D．5．（2021?綏化）如圖，點(diǎn)A，B，C，D為⊙O上的四個(gè)點(diǎn)，AC平分∠BAD，AC交BD于點(diǎn)E，CE=4，CD=6，則AE的長為（）A．4B．5C．6D．76．（2021?內(nèi)江）如圖，在?ABCD中，E為CD上一點(diǎn)，連接AE、BD，且AE、BD交于點(diǎn)F，S△DEF：S△ABF=4：25，則DE：EC=（）A．2：5B．2：3C．3：5D．3：27．（2021?黑龍江）如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，∠ABC=45°，AD=CD，CE平分∠ACB交AB于點(diǎn)E，在BC上截取BF=AE，連接AF交CE于點(diǎn)G，連接DG交AC于點(diǎn)H，過點(diǎn)A作AN⊥BC，垂足為N，AN交CE于點(diǎn)M．則下列結(jié)論；①CM=AF；②CE⊥AF；③△ABF∽△DAH；④GD平分∠AGC，其中正確的個(gè)數(shù)是（）A．1B．2C．3D．48．（2021?恩施州）如圖所示，在平行四邊形ABCD中，AC與BD相交于點(diǎn)O，E為OD的中點(diǎn)，連接AE并延長交DC于點(diǎn)F，則DF：FC=（）A．1：4B．1：3C．2：3D．1：29．（2021?德陽）如圖，在⊙O上有定點(diǎn)C和動(dòng)點(diǎn)P，位于直徑AB的異側(cè)，過點(diǎn)C作CP的垂線，與PB的延長線交于點(diǎn)Q，已知：⊙O半徑為，tan∠ABC=，則CQ的最大值是（）A．5B．C．D．10．（2021?岳陽）如圖，AB為半圓O的直徑，AD、BC分別切⊙O于A、B兩點(diǎn)，CD切⊙O于點(diǎn)E，AD與CD相交于D，BC與CD相交于C，連接OD、OC，對(duì)于下列結(jié)論：①OD2=DE?CD；②AD+BC=CD；③OD=OC；④S梯形ABCD=CD?OA；⑤∠DOC=90°，其中正確的是（）A．①②⑤B．②③④C．③④⑤D．①④⑤二．填空題（共10小題）11．（2021?昭通）如圖，AB是⊙O的直徑，弦BC=4cm，F(xiàn)是弦BC的中點(diǎn)，∠ABC=60°．若動(dòng)點(diǎn)E以1cm/s的速度從A點(diǎn)出發(fā)在AB上沿著A→B→A運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）（0≤t＜16），連接EF，當(dāng)△BEF是直角三角形時(shí)，t（s）的值為_________．（填出一個(gè)正確的即可）12．（2021?南通）如圖，在?ABCD中，AB=6cm，AD=9cm，∠BAD的平分線交BC于點(diǎn)E，交DC的延長線于點(diǎn)F，BG⊥AE，垂足為G，BG=4cm，則EF+CF的長為_________cm．13．（2021?菏澤）如圖所示，在△ABC中，BC=6，E、F分別是AB、AC的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在射線EF上，BP交CE于D，∠CBP的平分線交CE于Q，當(dāng)CQ=CE時(shí)，EP+BP=_________．14．（2021?巴中）如圖，小明在打網(wǎng)球時(shí)，使球恰好能打過網(wǎng)，而且落在離網(wǎng)4米的位置上，則球拍擊球的高度h為_________．15．（2021?自貢）正方形ABCD的邊長為1cm，M、N分別是BC、CD上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且始終保持AM⊥MN，當(dāng)BM=_________cm時(shí)，四邊形ABCN的面積最大，最大面積為_________cm2．16．（2021?宜賓）如圖，在⊙O中，AB是直徑，點(diǎn)D是⊙O上一點(diǎn)，點(diǎn)C是的中點(diǎn)，弦CE⊥AB于點(diǎn)F，過點(diǎn)D的切線交EC的延長線于點(diǎn)G，連接AD，分別交CF、BC于點(diǎn)P、Q，連接AC．給出下列結(jié)論：①∠BAD=∠ABC；②GP=GD；③點(diǎn)P是△ACQ的外心；④AP?AD=CQ?CB．其中正確的是_________（寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)）．17．（2021?泉州）在△ABC中，P是AB上的動(dòng)點(diǎn)（P異于A、B），過點(diǎn)P的直線截△ABC，使截得的三角形與△ABC相似，我們不妨稱這種直線為過點(diǎn)P的△ABC的相似線，簡記為P（lx）（x為自然數(shù)）．（1）如圖①，∠A=90°，∠B=∠C，當(dāng)BP=2PA時(shí)，P（l1）、P（l2）都是過點(diǎn)P的△ABC的相似線（其中l(wèi)1⊥BC，l2∥AC），此外，還有_________條；（2）如圖②，∠C=90°，∠B=30°，當(dāng)=_________時(shí)，P（lx）截得的三角形面積為△ABC面積的．18．（2021?嘉興）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC．點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，連接CD，過點(diǎn)B作BG丄CD，分別交CD、CA于點(diǎn)E、F，與過點(diǎn)A且垂直于AB的直線相交于點(diǎn)G，連接DF．給出以下四個(gè)結(jié)論：①；②點(diǎn)F是GE的中點(diǎn)；③AF=AB；④S△ABC=5S△BDF，其中正確的結(jié)論序號(hào)是_________．19．（2021?瀘州）如圖，n個(gè)邊長為1的相鄰正方形的一邊均在同一直線上，點(diǎn)M1，M2，M3，…Mn分別為邊B1B2，B2B3，B3B4，…，BnBn+1的中點(diǎn)，△B1C1M1的面積為S1，△B2C2M2的面積為S2，…△BnCnMn的面積為Sn，則Sn=_________．（用含n的式子表示）20．（2021?荊州）如圖，△ABC是斜邊AB的長為3的等腰直角三角形，在△ABC內(nèi)作第1個(gè)內(nèi)接正方形A1B1D1E1（D1、E1在AB上，A1、B1分別在AC、BC上），再在△A1B1C內(nèi)接同樣的方法作第2個(gè)內(nèi)接正方形A2B2D2E2，…如此下去，操作n次，則第n個(gè)小正方形AnBnDnEn的邊長是_________．三．解答題（共8小題）21．（2021?珠海）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，點(diǎn)P為AC邊上的一點(diǎn)，將線段AP繞點(diǎn)A順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)（點(diǎn)P對(duì)應(yīng)點(diǎn)P′），當(dāng)AP旋轉(zhuǎn)至AP′⊥AB時(shí)，點(diǎn)B、P、P′恰好在同一直線上，此時(shí)作P′E⊥AC于點(diǎn)E．（1）求證：∠CBP=∠ABP；（2）求證：AE=CP；（3）當(dāng)，BP′=5時(shí)，求線段AB的長．22．（2021?湛江）如圖，已知AB是⊙O的直徑，P為⊙O外一點(diǎn)，且OP∥BC，∠P=∠BAC．（1）求證：PA為⊙O的切線；（2）若OB=5，OP=，求AC的長．23．（2021?宜賓）如圖，AB是⊙O的直徑，∠B=∠CAD．（1）求證：AC是⊙O的切線；（2）若點(diǎn)E是的中點(diǎn)，連接AE交BC于點(diǎn)F，當(dāng)BD=5，CD=4時(shí)，求AF的值．24．（2021?襄陽）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，且AB為⊙O的直徑．∠ACB的平分線交⊙O于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作⊙O的切線PD交CA的延長線于點(diǎn)P，過點(diǎn)A作AE⊥CD于點(diǎn)E，過點(diǎn)B作BF⊥CD于點(diǎn)F．（1）求證：DP∥AB；（2）若AC=6，BC=8，求線段PD的長．25．（2021?紹興）在△ABC中，∠CAB=90°，AD⊥BC于點(diǎn)D，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，EC與AD交于點(diǎn)G，點(diǎn)F在BC上．（1）如圖1，AC：AB=1：2，EF⊥CB，求證：EF=CD．（2）如圖2，AC：AB=1：，EF⊥CE，求EF：EG的值．26．（2021?汕頭）如圖，⊙O是Rt△ABC的外接圓，∠ABC=90°，弦BD=BA，AB=12，BC=5，BE⊥DC交DC的延長線于點(diǎn)E．（1）求證：∠BCA=∠BAD；（2）求DE的長；（3）求證：BE是⊙O的切線．27．（2021?朝陽）如圖，直線AB與⊙O相切于點(diǎn)A，直徑DC的延長線交AB于點(diǎn)B，AB=8，OB=10（1）求⊙O的半徑．（2）點(diǎn)E在⊙O上，連接AE，AC，EC，并且AE=AC，判斷直線EC與AB有怎樣的位置關(guān)系？并證明你的結(jié)論．（3）求弦EC的長．28．（2021?成都）如圖，點(diǎn)B在線段AC上，點(diǎn)D，E在AC同側(cè)，∠A=∠C=90°，BD⊥BE，AD=BC．（1）求證：AC=AD+CE；（2）若AD=3，CE=5，點(diǎn)P為線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，連接DP，作PQ⊥DP，交直線BE于點(diǎn)Q；（i）當(dāng)點(diǎn)P與A，B兩點(diǎn)不重合時(shí)，求的值；（ii）當(dāng)點(diǎn)P從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)時(shí)，求線段DQ的中點(diǎn)所經(jīng)過的路徑（線段）長．（直接寫出結(jié)果，不必寫出解答過程）

九年級(jí)數(shù)學(xué)《相似三角形》提優(yōu)訓(xùn)練題參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）1．（2021?自貢）如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分線交BC于E，交DC的延長線于F，BG⊥AE于G，BG=，則△EFC的周長為（）A．11B．10C．9D．8考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；平行四邊形的性質(zhì)．分析：判斷出△ADF是等腰三角形，△ABE是等腰三角形，DF的長度，繼而得到EC的長度，在Rt△BGE中求出GE，繼而得到AE，求出△ABE的周長，根據(jù)相似三角形的周長之比等于相似比，可得出△EFC的周長．解答：解：∵在?ABCD中，AB=CD=6，AD=BC=9，∠BAD的平分線交BC于點(diǎn)E，∴∠BAF=∠DAF，∵AB∥DF，AD∥BC，∴∠BAF=∠F=∠DAF，∠BAE=∠AEB，∴AB=BE=6，AD=DF=9，∴△ADF是等腰三角形，△ABE是等腰三角形，∵AD∥BC，∴△EFC是等腰三角形，且FC=CE，∴EC=FC=9﹣6=3，在△ABG中，BG⊥AE，AB=6，BG=4，∴AG==2，∴AE=2AG=4，∴△ABE的周長等于16，又∵△CEF∽△BEA，相似比為1：2，∴△CEF的周長為8．故選D．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了勾股定理、相似三角形、等腰三角形的性質(zhì)，注意掌握相似三角形的周長之比等于相似比，此題難度較大．2．（2021?重慶）如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E在AD上，連接CE并延長與BA的延長線交于點(diǎn)F，若AE=2ED，CD=3cm，則AF的長為（）新|課|標(biāo)|第|一|網(wǎng)A．5cmB．6cmC．7cmD．8cm考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)．分析：由邊形ABCD是平行四邊形，可得AB∥CD，即可證得△AFE∽△DEC，然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，求得答案．解答：解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，∴△AFE∽△DEC，∴AE：DE=AF：CD，∵AE=2ED，CD=3cm，∴AF=2CD=6cm．故選B．點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及平行四邊形的性質(zhì)．此題難度不大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．3．（2021?孝感）如圖，在△ABC中，AB=AC=a，BC=b（a＞b）．在△ABC內(nèi)依次作∠CBD=∠A，∠DCE=∠CBD，∠EDF=∠DCE．則EF等于（）XkB1.comA．B．C．D．考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的判定與性質(zhì)．專題：壓軸題．分析：依次判定△ABC∽△BDC∽△CDE∽△DFE，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例的知識(shí)，可得出EF的長度．解答：解：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，又∵∠CBD=∠A，∴△ABC∽△BDC，同理可得：△ABC∽△BDC∽△CDE∽△DFE，∴=，=，=，=，∵AB=AC，∴CD=CE，解得：CD=CE=，DE=，EF=．故選C．點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，本題中相似三角形比較容易找到，難點(diǎn)在于根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例求解線段的長度，注意仔細(xì)對(duì)應(yīng)，不要出錯(cuò)．4．（2021?咸寧）如圖，正方形ABCD是一塊綠化帶，其中陰影部分EOFB，GHMN都是正方形的花圃．已知自由飛翔的小鳥，將隨機(jī)落在這塊綠化帶上，則小鳥在花圃上的概率為（）A．B．C．D．考點(diǎn)：相似三角形的應(yīng)用；正方形的性質(zhì)；幾何概率．專題：壓軸題．分析：求得陰影部分的面積與正方形ABCD的面積的比即可求得小鳥在花圃上的概率；解答：解：設(shè)正方形的ABCD的邊長為a，則BF=BC=，AN=NM=MC=a，∴陰影部分的面積為（）2+（a）2=a2，∴小鳥在花圃上的概率為=故選C．點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)及幾何概率，關(guān)鍵是表示出大正方形的邊長，從而表示出兩個(gè)陰影正方形的邊長，最后表示出面積．5．（2021?綏化）如圖，點(diǎn)A，B，C，D為⊙O上的四個(gè)點(diǎn)，AC平分∠BAD，AC交BD于點(diǎn)E，CE=4，CD=6，則AE的長為（）wWw.xKb1.coMA．4B．5C．6D．7考點(diǎn)：圓周角定理；圓心角、弧、弦的關(guān)系；相似三角形的判定與性質(zhì)．分析：根據(jù)圓周角定理∠CAD=∠CDB，繼而證明△ACD∽△DCE，設(shè)AE=x，則AC=x+4，利用對(duì)應(yīng)邊成比例，可求出x的值．解答：解：設(shè)AE=x，則AC=x+4，∵AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠CAD，∵∠CDB=∠BAC（圓周角定理），∴∠CAD=∠CDB，∴△ACD∽△DCE，∴=，即=，解得：x=5．故選B．點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓周角定理、相似三角形的判定與性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是得出∠CAD=∠CDB，證明△ACD∽△DCE．6．（2021?內(nèi)江）如圖，在?ABCD中，E為CD上一點(diǎn)，連接AE、BD，且AE、BD交于點(diǎn)F，S△DEF：S△ABF=4：25，則DE：EC=（）A．2：5B．2：3C．3：5D．3：2考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)．分析：先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)及相似三角形的判定定理得出△DEF∽△BAF，再根據(jù)S△DEF：S△ABF=4：25即可得出其相似比，由相似三角形的性質(zhì)即可求出DE：AB的值，由AB=CD即可得出結(jié)論．解答：解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，∴∠EAB=∠DEF，∠AFB=∠DFE，∴△DEF∽△BAF，∵S△DEF：S△ABF=4：25，∴DE：AB=2：5，∵AB=CD，∴DE：EC=2：3．故選B．點(diǎn)評(píng)：本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)及平行四邊形的性質(zhì)，熟知相似三角形邊長的比等于相似比，面積的比等于相似比的平方是解答此題的關(guān)鍵．7．（2021?黑龍江）如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，∠ABC=45°，AD=CD，CE平分∠ACB交AB于點(diǎn)E，在BC上截取BF=AE，連接AF交CE于點(diǎn)G，連接DG交AC于點(diǎn)H，過點(diǎn)A作AN⊥BC，垂足為N，AN交CE于點(diǎn)M．則下列結(jié)論；①CM=AF；②CE⊥AF；③△ABF∽△DAH；④GD平分∠AGC，其中正確的個(gè)數(shù)是（）新課標(biāo)第一網(wǎng)A．1B．2C．3D．4考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；直角梯形．專題：壓軸題．分析：如解答圖所示：結(jié)論①正確：證明△ACM≌△ABF即可；結(jié)論②正確：由△ACM≌△ABF得∠2=∠4，進(jìn)而得∠4+∠6=90°，即CE⊥AF；結(jié)論③正確：證法一：利用四點(diǎn)共圓；證法二：利用三角形全等；結(jié)論④正確：證法一：利用四點(diǎn)共圓；證法二：利用三角形全等．解答：解：（1）結(jié)論①正確．理由如下：∵∠1=∠2，∠1+∠CMN=90°，∠2+∠6=90°，∴∠6=∠CMN，又∵∠5=∠CMN，∴∠5=∠6，∴AM=AE=BF．易知ADCN為正方形，△ABC為等腰直角三角形，∴AB=AC．在△ACM與△ABF中，，∴△ACM≌△ABF（SAS），∴CM=AF；（2）結(jié)論②正確．理由如下：∵△ACM≌△ABF，∴∠2=∠4，∵∠2+∠6=90°，∴∠4+∠6=90°，∴CE⊥AF；（3）結(jié)論③正確．理由如下：證法一：∵CE⊥AF，∴∠ADC+∠AGC=180°，∴A、D、C、G四點(diǎn)共圓，∴∠7=∠2，∵∠2=∠4，∴∠7=∠4，又∵∠DAH=∠B=45°，∴△ABF∽△DAH；證法二：∵CE⊥AF，∠1=∠2，∴△ACF為等腰三角形，AC=CF，點(diǎn)G為AF中點(diǎn)．wWw.xKb1.coM在Rt△ANF中，點(diǎn)G為斜邊AF中點(diǎn)，∴NG=AG，∴∠MNG=∠3，∴∠DAG=∠CNG．在△ADG與△NCG中，，∴△ADG≌△NCG（SAS），∴∠7=∠1，又∵∠1=∠2=∠4，∴∠7=∠4，又∵∠DAH=∠B=45°，∴△ABF∽△DAH；（4）結(jié)論④正確．理由如下：證法一：∵A、D、C、G四點(diǎn)共圓，∴∠DGC=∠DAC=45°，∠DGA=∠DCA=45°，∴∠DGC=∠DGA，即GD平分∠AGC．證法二：∵AM=AE，CE⊥AF，∴∠3=∠4，又∠2=∠4，∴∠3=∠2則∠CGN=180°﹣∠1﹣90°﹣∠MNG=180°﹣∠1﹣90°﹣∠3=90°﹣∠1﹣∠2=45°．∵△ADG≌△NCG，∴∠DGA=∠CGN=45°=∠AGC，∴GD平分∠AGC．綜上所述，正確的結(jié)論是：①②③④，共4個(gè)．故選D．點(diǎn)評(píng)：本題是幾何綜合題，考查了相似三角形的判定、全等三角形的判定與性質(zhì)、正方形、等腰直角三角形、直角梯形、等腰三角形等知識(shí)點(diǎn)，有一定的難度．解答中四點(diǎn)共圓的證法，僅供同學(xué)們參考．8．（2021?恩施州）如圖所示，在平行四邊形ABCD中，AC與BD相交于點(diǎn)O，E為OD的中點(diǎn)，連接AE并延長交DC于點(diǎn)F，則DF：FC=（）A．1：4B．1：3C．2：3D．1：2考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)．分析：首先證明△DFE∽△BAE，然后利用對(duì)應(yīng)變成比例，E為OD的中點(diǎn)，求出DF：AB的值，又知AB=DC，即可得出DF：FC的值．解答：解：在平行四邊形ABCD中，AB∥DC，則△DFE∽△BAE，∴=，∵O為對(duì)角線的交點(diǎn)，∴DO=BO，又∵E為OD的中點(diǎn)，∴DE=DB，則DE：EB=1：3，∴DF：AB=1：3，∵DC=AB，∴DF：DC=1：3，∴DF：FC=1：2．故選D．點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及平行四邊形的性質(zhì)，難度適中，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)平行證明△DFE∽△BAE，然后根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例求值．9．（2021?德陽）如圖，在⊙O上有定點(diǎn)C和動(dòng)點(diǎn)P，位于直徑AB的異側(cè)，過點(diǎn)C作CP的垂線，與PB的延長線交于點(diǎn)Q，已知：⊙O半徑為，tan∠ABC=，則CQ的最大值是（）A．5B．C．D．考點(diǎn)：圓周角定理；圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)．專題：計(jì)算題；壓軸題．分析：根據(jù)圓周角定理的推論由AB為⊙O的直徑得到∠ACB=90°，再根據(jù)正切的定義得到tan∠ABC==，然后根據(jù)圓周角定理得到∠A=∠P，則可證得△ACB∽△PCQ，利用相似比得CQ=?PC=PC，PC為直徑時(shí)，PC最長，此時(shí)CQ最長，然后把PC=5代入計(jì)算即可．解答：解：∵AB為⊙O的直徑，∴AB=5，∠ACB=90°，∵tan∠ABC=，∴=，∵CP⊥CQ，∴∠PCQ=90°，而∠A=∠P，∴△ACB∽△PCQ，∴=，∴CQ=?PC=PC，當(dāng)PC最大時(shí)，CQ最大，即PC為⊙O的直徑時(shí)，CQ最大，此時(shí)CQ=×5=．故選D．點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．也考查了三角形相似的判定與性質(zhì)．10．（2021?岳陽）如圖，AB為半圓O的直徑，AD、BC分別切⊙O于A、B兩點(diǎn)，CD切⊙O于點(diǎn)E，AD與CD相交于D，BC與CD相交于C，連接OD、OC，對(duì)于下列結(jié)論：①OD2=DE?CD；②AD+BC=CD；③OD=OC；④S梯形ABCD=CD?OA；⑤∠DOC=90°，其中正確的是（）A．①②⑤B．②③④C．③④⑤D．①④⑤考點(diǎn)：切線的性質(zhì)；切線長定理；相似三角形的判定與性質(zhì)．專題：計(jì)算題；壓軸題．分析：連接OE，由AD，DC，BC都為圓的切線，根據(jù)切線的性質(zhì)得到三個(gè)角為直角，且利用切線長定理得到DE=DA，CE=CB，由CD=DE+EC，等量代換可得出CD=AD+BC，選項(xiàng)②正確；由AD=ED，OD為公共邊，利用HL可得出直角三角形ADO與直角三角形EDO全等，可得出∠AOD=∠EOD，同理得到∠EOC=∠BOC，而這四個(gè)角之和為平角，可得出∠DOC為直角，選項(xiàng)⑤正確；由∠DOC與∠DEO都為直角，再由一對(duì)公共角相等，利用兩對(duì)對(duì)應(yīng)角相等的兩三角形相似，可得出三角形DEO與三角形DOC相似，由相似得比例可得出OD2=DE?CD，選項(xiàng)①正確；又ABCD為直角梯形，利用梯形的面積計(jì)算后得到梯形ABCD的面積為AB（AD+BC），將AD+BC化為CD，可得出梯形面積為AB?CD，選項(xiàng)④錯(cuò)誤，而OD不一定等于OC，選項(xiàng)③錯(cuò)誤，即可得到正確的選項(xiàng)．解答：解：連接OE，如圖所示：∵AD與圓O相切，DC與圓O相切，BC與圓O相切，∴∠DAO=∠DEO=∠OBC=90°，∴DA=DE，CE=CB，AD∥BC，∴CD=DE+EC=AD+BC，選項(xiàng)②正確；在Rt△ADO和Rt△EDO中，，∴Rt△ADO≌Rt△E