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行列式的計(jì)算方法總結(jié):1.利用行列式性質(zhì)把行列式化為上、下三角形行列式.2.行列式按一行(一列)展開,或按多行(多列)展開(Laplace定理).幾個(gè)特別的行列式:,,其中分別是階的方陣.例子:,利用Laplace定理,按第行展開,除級(jí)子式外其余由第行所得的級(jí)子式均為零.故,此為遞推公式,應(yīng)用可得.3.箭頭形行列式或者可以化為箭頭形的行列式.例:-----()--------(每一列提出相應(yīng)的公因子)--------(將第列加到第一列).其它的例子：特點(diǎn)是除了主對(duì)角線,其余位置上的元素各行或各列都相同.,.4.逐行逐列相減法.行列式特點(diǎn)是每相鄰兩行(列)之間有許多元素相同.用逐行(列)相減可以化出零.5.升階法(或加邊法,添加一行一列,利于計(jì)算,但同時(shí)保持行列式不變).例子:.例子:6.利用范德蒙德行列式.計(jì)算行列式:解:令:,這是一個(gè)級(jí)范德蒙德行列式.一方面,由范德蒙德行列式得.可看做是關(guān)于的一個(gè)次多項(xiàng)式.另一方面,將按最后一列展開,可得一個(gè)關(guān)于的多項(xiàng)式,其中的系數(shù)與所求行列式的關(guān)系為.由來(lái)計(jì)算的系數(shù)得:,故有其它的例子:……每一行提公因子,7.利用數(shù)學(xué)歸納法證明行列式.(對(duì)行列式的級(jí)數(shù)歸納)證明當(dāng)時(shí),證明時(shí),將按第一行(或第一列)展開得,利用歸納假設(shè)可得.8.利用遞推公式.例子:計(jì)算行列式解:按第一行展開得:,將此式化為:(1)或(2)利用遞推公式(1)得:,即.(3)利用遞推公式(2)得:,即.(4)由(3)(4)解得:其它的例子,按第一行展開可得,此時(shí)令則,變形為,此為遞推公式.利用剛才的例子可求得結(jié)果.這里即是方程的兩個(gè)根.9.分拆法.將行列式的其中一行或者一列拆成兩個(gè)數(shù)的和,將行列式分解成兩個(gè)容易求的行列式的和.例子::除第一行外,其余各行加上第一行的倍,所得行列式按第一列展開,按第一列展開.,故,由的對(duì)稱性質(zhì),亦可得,這兩個(gè)式子中削去,可得結(jié)論,.注:(1)同一個(gè)行列式,可有多種計(jì)算方法.要利用行列式自身元素的特點(diǎn),選擇合適的計(jì)算方法
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