rlc并聯(lián)電路的量子化

rlc并聯(lián)電路的量子化

對于介質(zhì)規(guī)模下的小電路，有必要考慮電路和硬件的體積效應(yīng)。介觀二次電路是重要模型之一。近年來，許多研究人員在不同的數(shù)量子中研究了無消耗lc電路的體積效應(yīng)，并對電壓和電壓的波動進(jìn)行了影響。此外，在不利的情況下，人們非常重視rlc互聯(lián)電路的功率效應(yīng)。在文獻(xiàn)中，rlc互聯(lián)電路中的電壓和電壓量是對rlc互聯(lián)電路的影響。結(jié)果表明，在rlc互聯(lián)電路中，由于rlc互聯(lián)電路中的衰減，電流和電壓的數(shù)量丟失受到影響。然而，人們還沒有詳細(xì)討論rlc互聯(lián)電路的電流和電壓相位的損失。我們注意到rlc互聯(lián)電路和rlc互聯(lián)電路之間的電流和電壓運行規(guī)律并不完全相同。因此，在這項工作中，我們推廣了rcl互聯(lián)電路和rcl互聯(lián)電路中的電壓和電壓相位的分類，并引入了角因子的復(fù)正電壓和電流變量。為了通常rcl和公共rl的組合電路的量子化。作為應(yīng)用，我們計算了在激勵相干阻力下介觀電路中電壓和電流的數(shù)量波動。結(jié)果表明，rlc互聯(lián)電路和rlc互聯(lián)電路中的電壓和電壓相位不僅具有偶異性，而且在欠阻尼或rc的情況下，電壓和電壓的數(shù)量隨著電阻量的變化而變化。首先,我們對介觀RLC并聯(lián)電路進(jìn)行量子化處理.對于一個經(jīng)典的有源RLC并聯(lián)電路,根據(jù)基爾霍夫節(jié)點電流定律,其運動方程為¨j(t)+(RC)-1˙j(t)+ω20j(t)=ω20js(t)j¨(t)+(RC)?1j˙(t)+ω20j(t)=ω20js(t),(1)式中,js(t)是外加電流源;ω2020=(LC)-1為電路的共振頻率;j(t)是電感電流,其共軛變量為并聯(lián)電壓u=L˙j(t)u=Lj˙(t).顯然,式(1)相當(dāng)于受迫阻尼諧振子的運動方程.我們引入復(fù)正則電流I和電壓V,則Ι=√C|ω|-1exp(iφ)[(|ω|+iβ)Lj+iu],V=i√C(4|ω|)-1exp(-iφ)[(|ω|-iβ)Lj-iu],式中,ω2=ω20-β2,β2=G(2C)-1,G=R-1.當(dāng)ω2>0,取φ=0,對應(yīng)于欠阻尼;當(dāng)ω2<0,取φ=2-1π,對應(yīng)于過阻尼.按照通常量子化方法,將復(fù)正則變量I和V看成算符,令算符I和V滿足正則對易關(guān)系式[I,V]=ih.可以得到[j,u]=ihω20.引入推廣的產(chǎn)生算符和消滅算符α=(2h)-1/2Ι=√C(2?|ω|)-1exp(iφ)[(|ω|+iβ)Lj+iu],(2)α+=-i(h/2)-1/2V=√C(2?|ω|)-1exp(-iφ)[(|ω|-iβ)Lj-iu].(3)由[j,u]=ihω20,可推出[a,a+]=1,因此,由(2)、(3)式所定義的算符具有玻色算符的性質(zhì).為研究激發(fā)相干態(tài)下介觀電路的量了漲落,我們假設(shè)js(t)=0時,電路處于激發(fā)相干態(tài)|m,α?=(a+)m?α|ama+m|α?1/2|α?.由(2)、(3)式的逆變換可以得到,在激發(fā)相干態(tài)下,電流與電壓的平均值與均方值分別為ˉj=√?(2CL2|ω|)-1[αe-iφ+α*eiφ](m+1)Y1m(|α|2);(4)ˉu=√?(2C|ω|)-1[(β+i|ω|)αe-iφ+(β-i|ω|)α*eiφ](m+1)Y1m(|α|2);(5)ˉj2=h(2CL2|ω|)-1{[α2e-i2φ+α*2ei2φ](m+1)(m+2)Y(2)m(|α|2)+[2(m+1)γm-1]};(6)ˉu2=h(2C|ω|)-1{[(β+i|ω|)2α2e-i2φ+(β-i|ω|)2α*2ei2φ](m+1)(m+2)Y(2)m(|α|2)+(β2+|ω|2)[2(m+1)γm-1]}.(7)其中Y(1)m(|α|2)=1Lm(-|α|2)m∑k=0f1(k)m!(k!)2(m-k)!|α|2k,Y(2)m(|α|2)=1Lm(-|α|2)m∑k=0f2(k)m!(k!)2(m-k)!|α|2k,γm=Lm+1(-|α|2)Lm(-|α|2),f1(k)=(k+1)-1,f2(k)=[(k+1)(k+2)]-1上面的Lm(-|α|2)為拉蓋爾多項式.由(4)～(7)式可得到電壓、電流在激發(fā)相干態(tài)下的量子漲落為ˉ(Δj)2=ˉj2-(ˉj)2,(8)ˉ(Δu)2=ˉu2-(ˉu)2.(9)當(dāng)m=0時,電路處于相干態(tài).Y(1)0(|α|2)=1,Y(2)0(|α|2)=2-1,γ0=1+|α|2.進(jìn)行運算后,從上面兩式還可得到ˉ(Δj)2=hω20(2L|ω|)-1?ˉ(Δu)2=h(β2+|ω|2)(2C|ω|)-1.它們的不確定度之積為ˉ(Δj)2?ˉ(Δu)2=4-1h2ω40(1+β2|ω|-2).對于欠阻尼(φ=0,ω2=ω20-β2>0)ˉ(Δj)2=hω20/(2L√ω20-β2),(10)ˉ(Δu)2=hω20/(2C√ω20-β2).(11)對于過阻尼(φ=π/2,ω2=β2-ω20>0)ˉ(Δj)2=hω20/(2L√β2-ω20),(12)ˉ(Δu)2=h(2β2-ω20)/(2C√β2-ω20).(13)將(10)、(11)式與(12)、(13)式對應(yīng)比較,可以發(fā)現(xiàn),在欠阻尼或過阻尼情形下,阻尼對相干態(tài)下的量子漲落的影響是不相同的:在欠阻尼電路中,電流、電壓的量子漲落以及它們不確定度求積都隨著電阻的增大而減少;在過阻尼電路中,電流、電壓的量子漲落以及它們不確定度的乘積卻隨著電阻的增大而增大,正好與欠阻尼電路的情況相反.把上面的計算結(jié)果(10)～(13)與文獻(xiàn)的RLC串聯(lián)電路的量子漲落作一比較,不難發(fā)現(xiàn),RLC并聯(lián)電路與RLC串聯(lián)電路中的電流和電壓的量子漲落無論是在欠阻尼電路還是在過阻尼電路中,均具有對偶性.在(8)～(13)式中,當(dāng)m≠0,α=0時,γm=1,系統(tǒng)實際上處于粒子數(shù)態(tài),此時電壓,電流的量子漲落為ˉ(Δj)2=(2m+1)hω20(2L|ω|)-1,(14)ˉ(Δu)2=(2m+1)h(β2+|ω|2)(2C|ω|)-1,(15)ˉ(Δj)2?ˉ(Δu)2=4-1(2m+1)2h2ω40(1+β2|ω|-2).(16)當(dāng)m=0時,系統(tǒng)實際處于真空態(tài).另外,G=0(R→∞)時,β=0,ω=ω0=(√LC)-1,這樣,電路實際上退化回到無耗散介觀