2023屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)大題專(zhuān)講專(zhuān)練第49講柯西中值定理在高中數(shù)學(xué)的應(yīng)用與第50講泰勒展開(kāi)解密放縮法和高考命題方法含解析

第49講柯西中值定理在高中數(shù)學(xué)的應(yīng)用微分中值定理是微分學(xué)中的一個(gè)重要內(nèi)容，它主要包括羅爾(Rolle)定理、拉格朗日(Larange)中值定理和柯西(Cauchy)中值定理.本節(jié)內(nèi)容所要講解的柯西中值定理比拉格朗日中值定理更具有一般性,我將講解其一般證明方法,如果大家在考試時(shí)使用了,則需要先給出證明.柯西中值定理及其證明柯西中值定理:若與在上可導(dǎo),且,則在內(nèi)至少存在一點(diǎn),使.大家不難發(fā)現(xiàn)，拉格朗日中值定理只是柯西中值定理的一個(gè)特例:當(dāng)?shù)臅r(shí)候,即為拉格朗日中值定理.其證明方法的探討與研究是一個(gè)引人注目的問(wèn)題,這里會(huì)順便引人羅爾定理及其證明,并利用羅爾定理來(lái)證明柯西中值定理.羅爾定理:設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù),在開(kāi)區(qū)間上可導(dǎo),而且在兩端點(diǎn)處函數(shù)的值相等,那么在開(kāi)區(qū)間上至少有一點(diǎn),使得在這點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)等于零.證明:設(shè)和分別是在區(qū)間,上的最大值和最小值.由于在上是連續(xù)的,∴的最大值和最小值是存在的.如果等式成立,那么對(duì)于一切都有.如果和不能同時(shí)成立,那么和這兩個(gè)數(shù)中間至少有一個(gè)不等于數(shù).為了確切起見(jiàn),設(shè)是這樣的數(shù).于是,在開(kāi)區(qū)間的某點(diǎn),函數(shù)達(dá)到閉區(qū)間上的最大值,因而在這個(gè)點(diǎn)同時(shí)有局部極大值.因?yàn)樵邳c(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)存在且等于零.的情況可以進(jìn)行類(lèi)似的討論.下面證明柯西中值定理.證明:引人函數(shù)?.這個(gè)函數(shù)在上顯然是連續(xù)的,而且在開(kāi)區(qū)間上有導(dǎo)數(shù).此外,.因此根據(jù)羅爾定理可以找到這樣的點(diǎn),使得,,即.(1)顯然,否則的話,由于,就應(yīng)該有,但是根據(jù)已知條件和不同時(shí)等于零,因此,,用它除等式(1)的右邊,即得所證.柯西中值定理證明無(wú)參不等式【例1】若,求證:【解析】證明：要證,實(shí)際上只需證.設(shè),則在上,滿足柯西中值定理?xiàng)l件,.注意:其中用到及是單調(diào)增加函數(shù)來(lái)放縮.柯西中值定理求解一元參數(shù)范圍柯西中值定理可以解決:已知在上,不等式恒成立,求參數(shù)的取值范圍問(wèn)題(其中,其一般步驟如下:第一步:參變分離.(暫定,具體要討論).第二步:柯西中值定理轉(zhuǎn)換.,其中.第三步:構(gòu)造函數(shù)求解.令,問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在恒成立問(wèn)題,按一元函數(shù)求解.【例1】已知函數(shù),若在上恒成立,求的取值范圍?！窘馕觥拷夥ㄒ?分類(lèi)討論法∵,當(dāng)時(shí),,∴在上單調(diào)遞減.∴當(dāng)時(shí),,不合題意.②當(dāng)時(shí),,令得.得.(1)當(dāng),即時(shí),時(shí),,即遞減,∴,不合題意.(2)當(dāng),即時(shí),時(shí),,即單調(diào)遞增,∴滿足題意.綜上,.法二:柯西中值定理法第一步:分類(lèi)討論,并參變分離.當(dāng)時(shí)不等式成立,當(dāng)時(shí),可參變分離,即.第二步:分子和分母分別構(gòu)造函數(shù)..又,得.第三步:利用柯西中值定理簡(jiǎn)化函數(shù).其中.第四步:利用極限可得函數(shù)確界.由,可得.【例2】已知函數(shù)1),,若當(dāng)時(shí),恒成立,求的取值范圍.【解析】解法一:由函數(shù),則）,其中.當(dāng)時(shí),∵.∴函數(shù)在上單調(diào)遞增,故.當(dāng)時(shí),令得.若,則,∴函數(shù)在時(shí),,不符合題意.綜上,的取值范圍是.法二:柯西中值定理法第一步:分類(lèi)討論,并參變分離.當(dāng)時(shí)不等式成立,當(dāng)時(shí),可參變分離,即.第二步:分子和分母分別構(gòu)造函數(shù).,又,得.第三步:利用柯西中值定理簡(jiǎn)化函數(shù).第四步:利用極限可得函數(shù)確界.由,可得.【例3】已知函數(shù),當(dāng)時(shí),,求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】解第一步:分類(lèi)討論,并參變分離.當(dāng)時(shí)不等式成立,當(dāng)時(shí),可參變分離,即.第二步:分子和分母分別構(gòu)造函數(shù)..又,得.第三步:利用柯西中值定理簡(jiǎn)化函數(shù).,其中.第四步:再次利用柯西中值定理簡(jiǎn)化函數(shù).其中.第五步:利用極限可得函數(shù)確界.由,可得,即.),若時(shí),恒成立,求的最大值.解,要使時(shí),恒成立.當(dāng)時(shí),不等式成立.②當(dāng)時(shí),參變分離可得[其中.由柯西中值定理可得其中.再次利用柯西中值定理可得其中.由,可得.第50講泰勒展開(kāi)解密放縮法和高考命題方法為何高考中總是考和這些超越函數(shù)呢?因?yàn)楦呖济}專(zhuān)家很多是大學(xué)老師,他們俯視高中數(shù)學(xué),一覽無(wú)遺.超越函數(shù)本質(zhì)上就是高等數(shù)學(xué)中的泰勒公式,即從某個(gè)點(diǎn)處,我們可以構(gòu)建一個(gè)多項(xiàng)式來(lái)近似函數(shù)在這一點(diǎn)的鄰域中的值.如果這個(gè)點(diǎn)是0,就是形式比較簡(jiǎn)單的麥克勞林公式.簡(jiǎn)而言之,它的功能就是把超越式近似表示為冪函數(shù).這也是放縮法的理論依據(jù),也是出題老師的出題角度,后面將在泰勒展開(kāi)中專(zhuān)門(mén)講解如何命題,大家可先理解放縮法.泰勒展開(kāi)公式及其應(yīng)用一、泰勒展開(kāi)公式設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處的某鄰域內(nèi)具有階導(dǎo)數(shù),則對(duì)該鄰域內(nèi)異于的任意點(diǎn),在與之間至少存在一點(diǎn),使得 余項(xiàng),上式稱為階泰勒公式.若,則泰勒公式稱為麥克勞林公式,其中為階無(wú)窮小,相當(dāng)于余項(xiàng),即.二、常用的初等函數(shù)的麥克勞林公式(1)(2)(3)(4)(5)【例1】按的三展開(kāi)多項(xiàng)式.思路:直接展開(kāi)法,求按的?展開(kāi)的階泰勒公式,則依次求直到階的導(dǎo)數(shù)在處的值,然后代入公式即可.【解析】【例2】求函數(shù)的帶有皮亞諾型余項(xiàng)的階麥克勞林展開(kāi)式.【解析】解法一:,,將以上結(jié)果代入麥克勞林公式得 法二:中含有時(shí),通常利用已知結(jié)論. 【例3】求函數(shù)按的冪展開(kāi)的帶有皮亞諾型余項(xiàng)的階泰勒公式.【解析】解法一:直接展開(kāi). 將以上結(jié)果代入泰勒公式得.法二:為對(duì)數(shù)函數(shù)時(shí)利用已知的結(jié)論.,然后變形可得利用泰勒公式證明無(wú)參不等式泰勒展開(kāi)證明無(wú)參不等式的一般步?驟:第一步:構(gòu)造函數(shù),并按泰勒公式展開(kāi)函數(shù),即如果函數(shù)在定義域上有定義,且有階導(dǎo)數(shù)存在,,則,其中介于和間第二步:判定余項(xiàng)的正負(fù)號(hào),并去掉余項(xiàng),得不等式.在上述泰勒公式中,若余項(xiàng),則去掉余項(xiàng)可得若,則去掉余項(xiàng)可得【例1】當(dāng)時(shí),.【解析】解法一:令,則當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增,從而,即,結(jié)論成立.法二:由泰勒公式得從而得,結(jié)論成立.【例2】設(shè),證明:.【解析】證明法一:設(shè)1),,則在上單調(diào)遞減,∴,即有1).法二:由泰勒展開(kāi)可得則,結(jié)論成立.【例3】證明:【解析】證明：設(shè),則在處有帶有拉格朗日余項(xiàng)。三階泰勒公式【例4】證明不等式:.【解析】證明：設(shè),則,代入的二階泰勒公式,有泰勒探究放縮法本質(zhì)經(jīng)過(guò)對(duì)泰勒證明不等式的學(xué)習(xí),應(yīng)該體會(huì)到了泰勒公式的強(qiáng)大.我們?cè)诜趴s法那一節(jié)的所有不等式都是在泰勒展開(kāi)的基礎(chǔ)上變形而來(lái)的,所以泰勒公式才是放縮法的核心，為什么這么說(shuō)呢?泰勒展開(kāi)式的本質(zhì)上是將一個(gè)復(fù)雜的函數(shù)近似表示為一個(gè)多項(xiàng)式函數(shù),是一種函數(shù)逼近的思想,也就是我們所說(shuō)的放縮,下面我將用一個(gè)例子來(lái)探討這一近似逼近的思想,以及相關(guān)不等式的變形.【例】比較和的大小.【解析】令,按泰勒展開(kāi)有.去掉余項(xiàng)可以得到不等式:.下面利用一般方法證明該不等式.證明:(1)設(shè),,則在上單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)取等號(hào).(2)設(shè),則在上單調(diào)遞減,∴,即有,當(dāng)時(shí)取等號(hào).綜上所述,有不等式:,當(dāng)時(shí)取等號(hào).上述常用對(duì)數(shù)不等式描述的函數(shù)位置關(guān)系如下圖所示.同理,我們可以從指數(shù)函數(shù)的麥克勞林展開(kāi)人手,通過(guò)去余項(xiàng)變形的方式得到我們常用的不等式:對(duì)于函數(shù)在處的展開(kāi)式如下:.(1)從此式出發(fā),可以變形演繹出一些十分重要的不等式.(1)式等號(hào)右邊取兩項(xiàng),則有.(2)(2)式兩邊取自然對(duì)數(shù)得.(3)(2)式中用替換得(4)式兩邊取自然對(duì)數(shù)得(5)式中用替換得.結(jié)合(3)式和(6)式得.(7)對(duì)(1)式等號(hào)右邊分別取三項(xiàng)、四項(xiàng),則有上述不等式(2)到(9)式,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).讀者可以翻到前面關(guān)于“放縮法”的章節(jié),試試看利用泰勒展開(kāi)得到其他常用的不等式.利用泰勒放縮證明含參不等式在不等式恒成立中,我們通過(guò)泰勒展開(kāi)放縮來(lái)大大簡(jiǎn)化計(jì)算,但前面也說(shuō)過(guò),泰勒展開(kāi)放縮是一種近似計(jì)算,所求的范圍只能是必要性范圍,一般來(lái)說(shuō),會(huì)比直接求解的范圍要大,所以需要進(jìn)一步用常規(guī)方法驗(yàn)證,但這里也可以簡(jiǎn)化了討論的范圍,方便計(jì)算,一般也可以得到最終的范圍.【例1】已知函數(shù),證明:當(dāng)時(shí),.【解析】解法一:去參放縮法當(dāng)時(shí),.構(gòu)造函數(shù),則，當(dāng)時(shí),.當(dāng)時(shí),是的最小值點(diǎn).故當(dāng)時(shí),.因此,當(dāng)時(shí),.法二:泰勒展開(kāi)法由法一知,證明即可.由泰勒公式的變形可得.用代替可得.(1)對(duì)兩邊取自然對(duì)數(shù),可得,用代替,可得,即由(1)(2)可得,故因此,當(dāng)時(shí),.【例2】設(shè)函數(shù),若當(dāng)時(shí),求的取值范圍.【解析】,由指數(shù)不等式,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立.得,從從而當(dāng),即時(shí),,而,于是當(dāng)時(shí),.由可得從而當(dāng)時(shí),1),故當(dāng)時(shí),,而,當(dāng)時(shí),0,不合題意.綜合得的取值范圍為.【例3】設(shè)函數(shù).其中是的導(dǎo)函數(shù),若恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】第一步:泰勒展開(kāi)放縮得必要性范圍.恒成立,應(yīng)用不等式,有,對(duì)上式進(jìn)行放縮,利用求的取值范圍.當(dāng)時(shí),上式化簡(jiǎn)為