對(duì)稱性在微積分學(xué)中的應(yīng)用20150711

（1）如果D關(guān)于y軸(x=0)對(duì)稱,則有其中其中（2）如果D關(guān)于x軸(y=0)對(duì)稱,則有二重積分的對(duì)稱性其中同上.（3）如果D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,則有推論:若D關(guān)于x軸和y軸都對(duì)稱,則積分區(qū)域D關(guān)于直線y=x對(duì)稱，即若(x,y)D,則(y,x)D.二重積分的輪換對(duì)稱性：也就是表示D不等式x,y對(duì)調(diào)不等式不變,有(1)若D1,D2分別是D中關(guān)于直線y=x對(duì)稱的兩部分，則：簡(jiǎn)述為“你對(duì)稱，我奇偶”.則2.二重積分的對(duì)稱性（1）如果D關(guān)于y軸對(duì)稱,則有其中其中（2）如果D關(guān)于x軸對(duì)稱,則有其中同上.（4）如果D關(guān)于直線對(duì)稱，則（3）如果D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,則有稱為關(guān)于積分變量的輪換對(duì)稱性④若

D

關(guān)于直線y=x對(duì)稱，則簡(jiǎn)述為“你對(duì)稱，我奇偶”運(yùn)用對(duì)稱性是要兼顧被積分函數(shù)和積分區(qū)域兩個(gè)方面，D位于y=x軸右下方的部分為D1,則則補(bǔ)充：利用對(duì)稱性化簡(jiǎn)三重積分計(jì)算關(guān)于z是偶函數(shù)關(guān)于z是奇函數(shù)三重積分的輪換對(duì)稱性:1.(兩字母輪換)

如果將x,y換為y,x積分域不變,則2.(三字母輪換)

如果將x,y,z換為y,z,x積分域不變,則注:關(guān)于對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的對(duì)稱性①若L關(guān)于y軸對(duì)稱其中L1是L的關(guān)于y軸對(duì)稱的部分弧段②若L關(guān)于直線y=x對(duì)稱(即x與y對(duì)調(diào)后L表達(dá)式不變)原理:積分值與被積變量用什么字母表示無(wú)關(guān)注關(guān)于對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的對(duì)稱性①若

L關(guān)于xoy平面對(duì)稱其中

是

的關(guān)于

xoy

平面對(duì)稱的部分弧段如果以y代x,以z代y,以x代z后,1.(兩字母輪換)

如果將x,y換為y,x,

2.(三字母輪換)表達(dá)式不變,則的表達(dá)式不變,則補(bǔ)充：利用對(duì)稱性簡(jiǎn)化對(duì)面積的曲面積分計(jì)算關(guān)于z是偶函數(shù)關(guān)于z是奇函數(shù)對(duì)面積的的曲面積分的輪換對(duì)稱性:1.(兩字母輪換)

如果將x,y換為y,x積分域Σ不變,則2.(三字母輪換)

如果將x,y,z換為y,z,x積分域Σ

不變,則完全類似于三重積分的對(duì)稱性利用對(duì)稱性化簡(jiǎn)對(duì)坐標(biāo)的曲線積分①若分段光滑曲線L關(guān)于y軸對(duì)稱,且L在y軸右半部分和在y軸左半部分的方向相反其中L1是L的關(guān)于y軸對(duì)稱的部分弧段注意：這里的方向相反是指：關(guān)于哪個(gè)軸(y)對(duì)稱就關(guān)于誰(shuí)(y軸)的方向相反利用對(duì)稱性化簡(jiǎn)對(duì)坐標(biāo)的曲線積分②若分段光滑曲線L關(guān)于x軸對(duì)稱,且L在x軸上半部分和在x軸下半部分的方向相反其中L1是L的關(guān)于x軸對(duì)稱的部分弧段注意：這里的方向相反是指：關(guān)于哪個(gè)軸(x)對(duì)稱就關(guān)于誰(shuí)(x軸)的方向相反注意：這里的方向相反是指：關(guān)于哪個(gè)軸對(duì)稱就關(guān)于誰(shuí)的方向相同例1.計(jì)算其中L為沿拋物線解法1取x為參數(shù),則解法2從點(diǎn)的一段.例1.計(jì)算其中L為沿拋物線解:從點(diǎn)的一段.注意：這里的方向相反是指：關(guān)于哪個(gè)軸對(duì)稱就關(guān)于誰(shuí)的方向相同（逆時(shí)針?lè)较颍?其中C:求解：oyx對(duì)坐標(biāo)的曲面積分滿足輪換對(duì)稱性,不滿足一般的對(duì)稱性如果積分區(qū)域滿足輪換對(duì)稱性，則被積函數(shù)進(jìn)行輪換后積分值不變,不過(guò)要同時(shí)輪換dxdy，dydz，dzdx補(bǔ)充：利用對(duì)稱性簡(jiǎn)化第二類曲面積分的計(jì)算補(bǔ)充：利用對(duì)稱性簡(jiǎn)化第二類曲面積分的計(jì)算輪換對(duì)稱性在微分學(xué)中的應(yīng)用1.(兩字母輪換)

如果將x,y換為y,x函數(shù)的表達(dá)式不變,即函數(shù),如果滿足只需將上式中的將x,y換為y,x,就得到對(duì)變量y的偏導(dǎo)數(shù):則稱此函數(shù)關(guān)于自變量x,y具有輪換對(duì)稱性輪換對(duì)稱性在微分學(xué)中的應(yīng)用2.(三字母輪換)

如果將x,y,z換為y,z,x函數(shù)的表達(dá)式不變函數(shù),如果滿足則稱此函數(shù)關(guān)于自變量x,y,z具有輪換對(duì)稱性只需將上式中的將x,y,z換為y,z,x就得到對(duì)變量y的偏導(dǎo)數(shù):即只需將上式中的將y,z,x

換為z,x,y就得到對(duì)變量z的偏導(dǎo)數(shù):例1.

求解法1解法2在點(diǎn)(1,2)處的偏導(dǎo)數(shù).先求后代先代后求函數(shù)在某點(diǎn)各偏導(dǎo)數(shù)都存在,顯然例如,注意：但在該點(diǎn)不一定連續(xù).上節(jié)例但是f(x,y)在點(diǎn)(0,0)并不連續(xù)!例1.可見(jiàn)：多元函數(shù)的可導(dǎo)既不是連續(xù)的充分條件，也不是連續(xù)的必要條件.例2.

證明函數(shù)滿足拉普拉斯證：利用對(duì)稱性,有方程練習(xí)P69，6（1）解

:例4.設(shè)解:利用輪換對(duì)稱性,可得注意:x,y,z

具有輪換對(duì)稱性

例4.設(shè)解:利用輪換對(duì)稱性,注意:x,y,z

具有輪換對(duì)稱性

可得三重積分的計(jì)算：根據(jù)積分區(qū)域和被積函數(shù)的特點(diǎn)選擇：合適的坐標(biāo)系：直角坐標(biāo)系，柱面坐標(biāo)系，球面坐標(biāo)系；在各種坐標(biāo)系系下相應(yīng)的先一后二(穿針?lè)?與先二后一(截面法)；恰當(dāng)?shù)姆e分次序，從而正確地確定積分限；二重積分的計(jì)算：根據(jù)積分區(qū)域和被積函數(shù)的特點(diǎn)選擇：合適的坐標(biāo)系；恰當(dāng)?shù)姆e分次序，從而正確地確定積分限。*2在掌握基本運(yùn)算的基礎(chǔ)上，還應(yīng)了解如何根據(jù)對(duì)稱性及輪換對(duì)稱性等方法來(lái)計(jì)算重積分.此外,還要會(huì)用對(duì)稱性,交換積分次序,變量代換以及重積分性質(zhì)來(lái)解決一些較難的問(wèn)題(計(jì)算題及證明題).*1計(jì)算的難點(diǎn)：各種坐標(biāo)系下積分限的確定

利用積分區(qū)域的對(duì)稱性和被積函數(shù)的奇偶性計(jì)算各種積分例5.證:(1)若(2)若偶倍奇零利用對(duì)稱性計(jì)算定積分證明解決：采用適當(dāng)?shù)膿Q元證明令則所以所以，原命題成立。換元換限練習(xí)P2532.

分析

(1)積分區(qū)間相同；(2)被積函數(shù)不同.x軸(y=0)對(duì)稱，利用對(duì)稱性計(jì)算二重積分D位于x軸上方的部分為D1,

則在D上在閉區(qū)域上連續(xù),設(shè)區(qū)域D關(guān)于

則證:(1)不妨假設(shè)積分區(qū)域是X-型的由積分區(qū)域D關(guān)于x軸對(duì)稱性:證（2）積分區(qū)域由積分區(qū)域D關(guān)于x軸對(duì)稱性:于是，f(x,y)關(guān)于x為奇函數(shù)：f(x,y)關(guān)于x為偶函數(shù)：命題:（1）如果D關(guān)于y軸(x=0)對(duì)稱,則有其中D位于y軸右方的部分為證不妨假定D的右半部分D1為X型區(qū)域：由D關(guān)于y軸的對(duì)稱性，D的左半部分D2為：則所以則命題:（1）如果D關(guān)于y軸(x=0)對(duì)稱,則有其中其中（2）如果D關(guān)于x軸(y=0)對(duì)稱,則有其中同上.（3）如果D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,則有推論:若D關(guān)于x軸和y軸都對(duì)稱,則積分區(qū)域D關(guān)于直線y=x對(duì)稱，即若(x,y)D,則(y,x)D.二重積分的輪換對(duì)稱性：也就是表示D不等式x,y對(duì)調(diào)不等式不變,有(1)若D1,D2分別是D中關(guān)于直線y=x對(duì)稱的兩部分，則：簡(jiǎn)述為“你對(duì)稱，我奇偶”.則4.

則提示:如圖,由對(duì)稱性知在上是關(guān)于y的奇函數(shù)在上是關(guān)于

x

的偶函數(shù)AP1821(2)

關(guān)于關(guān)于

軸解:

積分區(qū)域如圖所示，將區(qū)域分成設(shè)

是以為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域，是區(qū)域在第一象限部分.四個(gè)小區(qū)域，由于區(qū)域軸對(duì)稱，區(qū)域4.證明軸對(duì)稱，故0809B

而故解：利用對(duì)稱性簡(jiǎn)化計(jì)算因?yàn)镈關(guān)于

x軸對(duì)稱，3.

設(shè)其中解：利用對(duì)稱性簡(jiǎn)化計(jì)算,因?yàn)镈關(guān)于

y軸對(duì)稱，3.設(shè)其中xyo解計(jì)算二重積分所圍成的閉區(qū)域.例5.和解:D（畫出積分區(qū)域草圖）.其中D為

利用對(duì)稱性簡(jiǎn)化計(jì)算,因?yàn)镈關(guān)于

y軸對(duì)稱，且1011B例5.

計(jì)算其中D由所圍成.解:令(如圖所示)顯然,當(dāng)f(x,y,z)關(guān)于z為奇函數(shù)當(dāng)f(x,y,z)關(guān)于z為偶函數(shù)f(x,y,z)關(guān)于z為奇函數(shù)：f(x,y,z)關(guān)于z為偶函數(shù)：命題4若空間區(qū)域Ω關(guān)于xOy面(z=0)對(duì)稱，則證不妨假定Ω的上半部分Ω1為XY型區(qū)域：由Ω關(guān)于xOy坐標(biāo)面的對(duì)稱性，Ω的下半部分Ω2為：利用積分曲線的對(duì)稱性和被積函數(shù)的奇偶性計(jì)算對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分命題5若曲線L關(guān)于y軸(x=0)對(duì)稱，則當(dāng)f(x,y)關(guān)于x為奇函數(shù)當(dāng)f(x,y)關(guān)于x為偶函數(shù)f(x,y)關(guān)于x為奇函數(shù)：f(x,y)關(guān)于x為偶函數(shù)：證設(shè)L的右半部分L1由以下參數(shù)方程給出：由L關(guān)于y軸的對(duì)稱性，L的左半部分L2的參數(shù)方程為：命題5’若曲線L關(guān)于x軸(y=0)對(duì)稱，則當(dāng)f(x,y)關(guān)于y為奇函數(shù)當(dāng)f(x,y)關(guān)于y為偶函數(shù)f(x,y)關(guān)于y為奇函數(shù)：f(x,y