第4章-剛體運動學基礎-4學時

第4章剛體運動學基礎第4章

剛體運動學基礎質(zhì)點運動的描述方法

自然坐標法、直角坐標法、矢徑法、其它方法速度和加速度公式

剛體的簡單運動

剛體的平行移動—各點的軌跡、速度和加速度剛體的定軸轉(zhuǎn)動—速度和加速度2ppt/81

本章首先介紹質(zhì)點運動的描述方法，包括質(zhì)點的運動軌跡、空間位置、位移、速度和加速度的描述方法；然后介紹剛體的兩種簡單運動：平行移動和定軸轉(zhuǎn)動剛體上各點的運動軌跡，速度和加速度的分布規(guī)律、表示方法和計算公式。3ppt/81質(zhì)點運動的描述方法運動和變化是物質(zhì)世界的基本屬性。宇宙的萬事萬物都在不停地運動和變化。在描述物體運動的時候，必須選定參照系。所謂參照系是為了研究某物體的位置變化而選定的另一物體。所謂“坐地日行八萬里”，是說我們即使坐在地上一動不動，一天下來我們跟隨地球在太空居然移動了八萬里路程。這里所說的一動不動，是以地面上某個固定不動的物體為參照系；如果以太空中某顆恒星為參照系，我們無時無刻不在跟隨地球而運動。4ppt/81質(zhì)點運動的描述方法在工程上，為了研究物體的運動，通常選擇地面上某個固定不動的物體為參照系，并稱這樣的參照系為固定參照系。數(shù)學上，可以采用不同的描述方法，即采用不同的坐標系來描述物體的空間位置和運動。參照系與坐標系的區(qū)別：參照系是物理概念，坐標系是數(shù)學概念。通常對于同一個參照系，可以選用不同的坐標系來描述物體的空間位置和運動，例如直角坐標、極坐標、自然坐標等等。5ppt/81質(zhì)點運動的描述方法自然法：用s=s(t)描述質(zhì)點的運動這里：t是指某時刻；

s是質(zhì)點由初始時刻t0到t時刻移動的路程，

s稱為質(zhì)點運動的弧長坐標；t-t0是質(zhì)點移動路程s所需的時間;自然坐標法是一種描述路程的方法。路程等于質(zhì)點始末兩個位置運動軌跡的長度。從運動軌跡的形狀來看，質(zhì)點的運動只有兩種情況：直線運動和曲線運動。6ppt/81質(zhì)點運動的描述方法在已知質(zhì)點的運動軌跡時，采用自然坐標法計算速度和加速度比較方便，質(zhì)點做圓周運動是最常見的曲線運動。直角坐標法：用x=x(t),y=y(t),z=z(t)描述質(zhì)點的運動，這里x，y，z是質(zhì)點在t時刻所占據(jù)的空間位置坐標。直角坐標法是一種描述位移（位置的改變）的方法。運用直角坐標法可以很方便地計算質(zhì)點沿三個坐標軸方向的分速度和分加速度。7ppt/81質(zhì)點運動的描述方法矢徑法：用r=x(t)i+y(t)j+z(t)k描述質(zhì)點的運動，這里x，y，z仍然是質(zhì)點在t時刻所占據(jù)的空間位置坐標，r是從坐標原點引出并指向質(zhì)點的矢徑，通過矢徑r的端點跟蹤質(zhì)點的運動。矢徑r的端點描出的曲線，稱為矢端曲線。顯然，矢端曲線就是質(zhì)點運動的軌跡曲線。矢徑法是一種描述位移的方法，它與直角坐標法的區(qū)別是：運用矢量運算的方法，在公式推導時，有時更為方便。8ppt/81質(zhì)點運動的描述方法其它方法 用極坐標、柱坐標、球坐標等等描述質(zhì)點運動的方法。關于位移的幾點說明：位移是質(zhì)點運動學的基本概念。所謂位移是指質(zhì)點在移動過程中，始末兩個位置的改變?？紤]到移動具有方向性，所以位移必須用矢量來描述。簡言之，位移是矢量，具有大小和方向。位移的大小等于質(zhì)點始末兩個位置之間的直線距離，方向由始末兩點確定，由起點指向終點。9ppt/81質(zhì)點運動的描述方法位移與路程的區(qū)別：路程是標量，位移是矢量。如果質(zhì)點沿曲線軌跡運動，位移矢量的大小并不等于路程，因為質(zhì)點運動的路程等于始末兩點曲線軌跡的長度。描述質(zhì)點位移最方便的方法是上面介紹的矢徑法。10ppt/81質(zhì)點在任意時刻t的瞬時速度矢量，簡稱為速度，記為v=v(t)，定義為：矢徑法—質(zhì)點的速度和加速度如果分別表示質(zhì)點在t、t+Dt時刻所在的空間位置A和B，那么A、B兩點之間的位移可以用矢量差來表示，記為即位移矢量可用矢徑的增量Dr來表示。11ppt/81矢徑法—質(zhì)點的速度和加速度因此，質(zhì)點在任意時刻t的瞬時速度是一個矢量，它等于質(zhì)點的矢徑r關于時間參數(shù)t的一階導數(shù)，其方向沿矢端曲線即運動軌跡曲線的切線方向，速度矢量v(t)的大小代表質(zhì)點運動的快慢。速度矢量v(t)的分量表達式：矢徑r的三個坐標x、y、z對時間的一階導數(shù)分別等于速度矢量v(t)沿坐標軸分量的大小，稱為質(zhì)點沿三個方向的分速度，簡記為如下形式。12ppt/81矢徑法—質(zhì)點的速度和加速度速度矢量的分量式式中字母頭上加一點表示相應量對時間的一階導數(shù)，以下用字母頭上加兩點等表示相應量對時間的二階導數(shù)13ppt/81矢徑法—質(zhì)點的速度和加速度加速度矢量定義為速度矢量v對時間t的一階導數(shù)或者矢徑r對時間t的二階導數(shù)，記為加速度矢量a(t)沿坐標軸分量的大小，稱為質(zhì)點沿三個方向的分加速度，加速度分量式為14ppt/81自然軸系中的速度公式

因為質(zhì)點的速度矢量沿軌跡曲線的切線方向，根據(jù)任一矢量可以用其大小和代表其方向的單位矢量表示的性質(zhì)，質(zhì)點在任意時刻的速度矢量可以寫為式中v=ds/dt表示速度矢量的大小，ds可以理解為質(zhì)點在dt時間里通過的路程，t表示在運動軌跡曲線上t時刻質(zhì)點所在位置處的單位切線矢量。在研究質(zhì)點的圓周運動等曲線運動時，采用自然坐標軸系計算質(zhì)點的速度和加速度比較方便。15ppt/81自然軸系中的速度公式

速度矢量為上式表明：要計算速度的大小，只需用弧坐標s=s(t)關于時間參數(shù)t求一階導數(shù)即可。該式也可利用速度矢量的定義式和計算復合函數(shù)導數(shù)的方法，得到式中導數(shù)dr/ds=t表示t時刻質(zhì)點所在位置處軌跡曲線的切線方向的單位矢量。16ppt/81自然軸系為了推導加速度矢量在自然坐標軸系中的表達式，首先需要定義關于空間曲線的自然坐標軸系的兩個單位法線矢量，它們是單位主法線矢量n和單位副法線矢量b。對于由運動方程給出的空間曲線（對于平面曲線，z坐標恒等于零

），其上一點的單位切線矢量t可以表示為17ppt/81其中b稱為單位副法線矢量。由t

、n、b三個相互垂直的方向組成的坐標系稱為自然軸系，它是一種局部坐標系，隨點的位置變化而改變?nèi)齻€單位矢量的方向。自然軸系設Dt=t′

-t，其中t=t(j),t′=t(j+Dj)是曲線上A、B兩點的單位切線矢量，則A點的主法線矢量n的方向定義為當Dj趨近于零，Dt（其大小約等于Dj）的極限方向，它與該點的切線矢量垂直，并可按下列公式定義單位長度矢量n和b：18ppt/81自然軸系：19ppt/81自然軸系中的幾個概念由一點的切線矢量和主法線矢量所確定的平面稱為曲線上該點的密切面。將密切面繞一點的切線矢量t

旋轉(zhuǎn)90°所得平面稱為該點的切平面。將密切面繞一點的主法線矢量n

旋轉(zhuǎn)90°所得平面稱為該點的法平面?？臻g曲線上一點的密切面可以這樣理解：它至少包含該點領域里部分曲線。一般情況下，切平面和法平面在相切的位置處只與曲線上一個點相交，即只包含該點領域里曲線上一個點。20ppt/81自然軸系中的幾個概念密切面是理解自然坐標軸系的重要概念。對于任意一條空間曲線，曲線上不同點的切線矢量t

、主法線矢量n

、副法線矢量b是隨點的位置發(fā)生變化的，在這個意義上，自然坐標軸系是曲線上一點的局部坐標系。為了得到加速度矢量在自然坐標軸系中的表達式，還需要用到曲率或曲率半徑的概念。下面，我們來推導質(zhì)點運動的加速度公式。21ppt/81自然軸系中的加速度公式

根據(jù)加速度矢量的定義式及函數(shù)乘積導數(shù)公式，有式中最右端第一項是一個矢量，其方向沿軌跡的切線方向，其大小等于速度大小對時間的一階導數(shù)，第二項等于速度的大小乘以單位切線矢量t對時間的一階導數(shù)，下面來計算該導數(shù)。根據(jù)求復合函數(shù)導數(shù)的方法可得到單位切線矢量t對時間的一階導數(shù)如下：22ppt/81單位切線矢量導數(shù)公式

式中dt為dt時間里質(zhì)點前后位置單位切線矢量t的增量，dj、ds分別為前后兩個位置單位切線矢量的夾角以及在dt時間里質(zhì)點通過的路程。dt=ndj，導數(shù)dj/ds反映曲線在一點的彎曲程度，稱為曲線在該點的曲率，記為k。曲率的倒數(shù)稱為該點的曲率半徑，記為r，對于圓周曲線，曲率半徑等于圓的半徑。導數(shù)ds/dt=v為速度的大小。23ppt/81自然軸系中的加速度公式

根據(jù)得到自然坐標軸系中的加速度公式24ppt/81自然軸系中的單位矢量公式匯總只要給定了質(zhì)點的運動方程可按下述方式確定質(zhì)點運動軌跡曲線上一點的單位切線矢量t、單位主法線矢量n和單位副法線矢量b25ppt/8126例1：半徑為r的輪子在水平地面上純滾動，已知輪心的速度u是常量，求輪緣上一點M的運動方程、速度和加速度。ppt/8127[解]：設t=0時刻M

位于坐標原點，在t

時刻，M

位于圖示位置輪子作純滾動，所以結論：速度方向指向最高點D.ppt/8128ppt/8129例2：曲柄連桿機構中曲柄OA和連桿AB的長度分別為r和l。且l>r，角

=

t，其中

是常量?；瑝KB可沿軸Ox作往復運動，試求滑塊B的運動方程，速度和加速度。ppt/8130ppt/8131解：假設滑塊B在圖示位置，由幾何關系得滑塊B的坐標令l=r/l，將上式的根式展開，有ppt/8132略去

4以及更高階項，并利用ppt/8133例3：如圖凸輪繞O軸勻角速轉(zhuǎn)動，使桿AB上升。欲使桿AB勻速上升，凸輪上的CD段輪廓線應是什么曲線？解：以凸輪為參考系，取極坐標研究A點的運動根據(jù)題意有將上式對時間積分一次，并設C點為動點A在t=0時的初始位置，于是得以極坐標表示的A點相對于凸輪的運動方程消去時間t，得A點在凸輪上的軌跡方程ppt/8134例4：銷釘B可沿半徑等于R的固定圓弧滑道DE和擺桿的直槽中滑動，OA=R=0.1m。已知擺桿的轉(zhuǎn)角

=(sin2t)/8，試求銷釘在t1=(1/4)s和t2=1s時的加速度。ppt/8135ppt/8136解：銷釘B的軌跡是中心在A點且半徑是R的圓弧DE。選滑道上O'點作為弧坐標的原點，并以O'D為正向。則B點在任一瞬時的弧坐標所以速度加速度代入t1=1/4s和t2=1s，不難得出相應的加速度ppt/81極坐標與柱坐標系—速度和加速度公式

對于圓周運動，采用自然坐標法計算質(zhì)點的速度和加速度很方便。如果質(zhì)點在平面內(nèi)做一般的曲線運動，有時采用極坐標來計算質(zhì)點的速度和加速度也很方便。在平面內(nèi)運動的質(zhì)點，其空間位置可以用所謂的極坐標（r，j）來表示，如下圖所示。37ppt/81極坐標系—速度和加速度公式

其中o稱為極點，質(zhì)點A的位置用矢徑r來表示，r是矢徑r的長度，j是矢徑r與參考軸x的夾角。單位矢量er沿矢徑r的方向，ej與er垂直，沿角度j

增加的方向。質(zhì)點的極坐標也是一種局部坐標。38ppt/81極坐標系—速度和加速度公式

如果將單位矢量er、ej沿x、y兩個方向分解，則有式中i、j分別為與x、y方向平行的單位矢量。矢徑r可以通過r與er表示為

39ppt/81極坐標系—速度和加速度公式

當質(zhì)點運動時，r，j都是時間參數(shù)t的函數(shù)，從而er、ej也是時間參數(shù)t的函數(shù)。根據(jù)公式注意到i、j分別為與x、y方向平行的單位矢量，是常矢量，與時間無關，可得到單位矢量er、ej對時間參數(shù)t的一階導數(shù)公式式中

表示轉(zhuǎn)角對時間的一階導數(shù)。40ppt/81極坐標系—速度和加速度公式

根據(jù)速度矢量的定義式，并利用矢徑表達式以及單位矢量導數(shù)公式和函數(shù)乘積的導數(shù)公式，可推出極坐標中速度矢量公式極坐標中加速度矢量公式式中

表示轉(zhuǎn)角對時間的一階、二階導數(shù)，分別稱為物體運動的角速度和角加速度。41ppt/81極坐標系—速度和加速度公式

對于質(zhì)點做圓周運動的情況，因為r是常數(shù)，等于圓的半徑，所以，由以上公式計算質(zhì)點的速度和加速度非常方便，只需將圓的半徑、角速度和角加速度分別代入即可得到：圓周運動速度和加速度計算公式42ppt/81柱坐標系—速度和加速度公式

對于質(zhì)點在空間做曲線運動，其空間位置可以用所謂的柱坐標（r，j，z）來表示，從而寫出質(zhì)點的速度和加速度矢量公式。43ppt/81柱坐標系—速度和加速度公式

在柱坐標系中，質(zhì)點的位置用矢徑r表示為

式中r是矢徑r在xy平面上的投影值的大小。44ppt/81柱坐標系—速度和加速度公式

柱坐標中速度和加速度矢量公式用同樣方法，可推出球坐標中速度和加速度公式。在研究質(zhì)點運動的軌跡、速度和加速度時，應根據(jù)問題的性質(zhì)和研究問題的方便，選用適當?shù)淖鴺讼岛拖鄳挠嬎愎健?/p>

45ppt/81剛體有兩種簡單運動：（1）平行移動；（2）定軸轉(zhuǎn)動。剛體的簡單運動46ppt/81平行移動：如果剛體上任意兩點所連直線的方位在剛體運動過程中保持相互平行的關系，則稱剛體的運動為平行移動，簡稱為平動。根據(jù)平動的特點，借助矢量的簡單運算，容易得到下面關于剛體平動的定律。剛體平動的運動學定律：做平行移動的剛體上任意兩點具有相同的運動軌跡，在任意時刻t具有相同的速度和相同的加速度。剛體的平行移動及其運動學定律47ppt/8148ppt/8149ppt/8150ppt/8151ppt/81a是常矢量，與時間無關，rA、rB隨時間而改變；經(jīng)過任意時間Dt，A、B兩點的位移相等，即剛體平動運動學定律的證明由矢徑rA、rB描出的兩條矢端曲線沿矢量a的方向移動一段距離后可以完全重合（見圖示），即A、B兩點具有相同的運動軌跡。52ppt/81根據(jù)質(zhì)點速度和加速度矢量的定義式，得到這表明A、B兩點在任意時刻t具有相同的速度和相同的加速度。證訖。剛體平動運動學定律的證明53ppt/81如果剛體上某一條直線上的各個點的位置在剛體運動過程中保持不變，則稱該直線為固定軸線或轉(zhuǎn)軸，稱剛體的運動為繞該固定軸的轉(zhuǎn)動，簡稱為剛體的定軸轉(zhuǎn)動。為了了解定軸轉(zhuǎn)動剛體的運動學特性，我們來研究剛體上任意一點A的運動，并假設點A