高等數(shù)學(xué)教學(xué)大綱

高等數(shù)學(xué)教學(xué)大綱一、課程的任務(wù)高等數(shù)學(xué)課程是高等工程學(xué)校教學(xué)計(jì)劃中的重要基礎(chǔ)理論課，在培養(yǎng)高素質(zhì)科技人才方面具有獨(dú)特而不可替代的作用。通過(guò)本課程的學(xué)習(xí)，為此后其他基礎(chǔ)課程和最專業(yè)課程的學(xué)習(xí)提供了必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，并為這些課程提供了必要的數(shù)學(xué)概念、理論、措施和計(jì)算技能。作為未來(lái)的工程應(yīng)用人才，還要通過(guò)本課程的學(xué)習(xí)，獲得基本的數(shù)學(xué)訓(xùn)練和質(zhì)量。二、課程的教學(xué)目的與總體規(guī)定通過(guò)本課程的研究，學(xué)生獲得了一元函數(shù)微積分及其應(yīng)用、向量算法與空間分析幾何、多功能微積分及其應(yīng)用、無(wú)限序列和常數(shù)分方程的基本知識(shí)（基本概念、基本理論、基本措施）和基本計(jì)算技能，為后續(xù)課程的研究和深入的數(shù)學(xué)知識(shí)奠定了必要的持續(xù)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。在傳授知識(shí)的同步，要通過(guò)多種教學(xué)環(huán)節(jié)培養(yǎng)學(xué)生的計(jì)算能力、空間想象能力、抽象思維能力和邏輯推理能力，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題的能力和獨(dú)立學(xué)習(xí)能力，逐漸培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和能力。三、課程的教學(xué)內(nèi)容與課時(shí)分派

章節(jié)號(hào)

教學(xué)內(nèi)容

重要教學(xué)內(nèi)容教學(xué)基本規(guī)定

課時(shí)

課時(shí)分派

講授

試驗(yàn)

上機(jī)

第一章

函數(shù)與極限

(1)理解函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的概念，理解反函數(shù)的概念。

(2)會(huì)建立簡(jiǎn)樸實(shí)際問(wèn)題中的函數(shù)關(guān)系式。

(3)理解極限的定性定義。

(4)掌握極限的有理運(yùn)算法則，會(huì)用變量代換求某些簡(jiǎn)樸復(fù)合函數(shù)的極限。

(5)理解極限的性質(zhì)（唯一性、有界性、保號(hào)性）和兩個(gè)存在準(zhǔn)則（夾逼準(zhǔn)則與單調(diào)有界準(zhǔn)則），會(huì)用兩個(gè)重要極限

求極限。

(6)理解無(wú)窮小、無(wú)窮大、高階無(wú)窮小和等價(jià)無(wú)窮小的概念，會(huì)用等價(jià)無(wú)窮小求極限。

(7)理解函數(shù)在一點(diǎn)持續(xù)和在一區(qū)間上持續(xù)的概念。

(8)理解函數(shù)間斷點(diǎn)的概念，會(huì)鑒別間斷點(diǎn)的類型。

(9)理解初等函數(shù)的持續(xù)性和閉區(qū)間上持續(xù)函數(shù)的介值定理與最大值、最小值定理。

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第二章

導(dǎo)數(shù)與微分

(1)理解導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義（不規(guī)定學(xué)生做運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的定義研究抽象函數(shù)可導(dǎo)性的習(xí)題），理解函數(shù)的可導(dǎo)性與持續(xù)性之間的關(guān)系。

(2)理解導(dǎo)數(shù)作為函數(shù)變化率的實(shí)際意義，會(huì)用導(dǎo)數(shù)體現(xiàn)科學(xué)技術(shù)中某些量的變化率。

(3)掌握導(dǎo)數(shù)的有理運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法，掌握基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式。

(4)理解微分的概念，理解微分概念中所包括的局部線性化思想，理解微分的有理運(yùn)算法則和一階微分形式不變性。

(5)理解高階導(dǎo)數(shù)的概念，掌握初等函數(shù)一階、二階導(dǎo)數(shù)的求法（不規(guī)定學(xué)生求函數(shù)的階導(dǎo)數(shù)的一般體現(xiàn)式）。

(6)會(huì)求隱函數(shù)和由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)以及這兩類函數(shù)中比較簡(jiǎn)樸的二階導(dǎo)數(shù)，會(huì)解某些簡(jiǎn)樸實(shí)際問(wèn)題中的有關(guān)變化率問(wèn)題。

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第三章

中值定理及導(dǎo)數(shù)應(yīng)用

(1)理解羅爾（Rolle）定理和拉格朗日（Lagrange）定理，理解柯西（Cauchy）定理（對(duì)三個(gè)定理的分析證明不作規(guī)定，并且不規(guī)定學(xué)生掌握構(gòu)造輔助函數(shù)證明有關(guān)問(wèn)題的技巧），會(huì)用洛必達(dá)（L'Hospital）法則求不定式的極限。

(2)理解泰勒（Taylor）定理以及用多項(xiàng)式迫近函數(shù)的思想（對(duì)定理的分析證明以及運(yùn)用泰勒定理證明有關(guān)問(wèn)題不作規(guī)定）。

(3)理解函數(shù)的極值概念，掌握用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和求極值的措施。會(huì)求解較簡(jiǎn)樸的最大值與最小值的應(yīng)用問(wèn)題。

(4)會(huì)用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)圖形的凹凸性，會(huì)求拐點(diǎn)，會(huì)描繪某些簡(jiǎn)樸函數(shù)的圖形（包括水平和鉛直漸近線）。

(5)理解曲率和曲率半徑的概念，會(huì)計(jì)算曲率和曲率半徑。

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第四章

不定積分

(1)理解原函數(shù)與不定積分的概念，

(2)掌握不定積分的基本公式以及求不定積分的直接積分法、換元法與分部積分法（淡化特殊積分技巧的訓(xùn)練，對(duì)于求有理函數(shù)積分的一般措施不作規(guī)定，對(duì)于某些簡(jiǎn)樸無(wú)理函數(shù)的積分可作為兩類積分法的例題作合適訓(xùn)練）。

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第五章

定積分

(1)理解定積分的概念和幾何意義（對(duì)于運(yùn)用定積分定義求定積分與求極限不作規(guī)定），理解定積分的性質(zhì)和積分中值定理。

(2)理解變上限的積分作為其上限的函數(shù)及其求導(dǎo)定理，掌握牛頓－萊布尼茨（Newton-Leibniz）公式。

(3)掌握求定積分的換元法與分部積分法.

(4)理解兩類反常積分及其收斂性的概念。

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第六章

定積分應(yīng)用

（1）掌握科學(xué)技術(shù)問(wèn)題中建立定積分體現(xiàn)式的元素法（微元法）。

（2）會(huì)建立某些簡(jiǎn)樸幾何量和物理量的積分體現(xiàn)式。

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第七章

微分方程

(1)理解微分方程、解、通解、初始條件和特解等概念。

(2)掌握變量可分離的方程及一階線性微分方程的解法。

(3)會(huì)解齊次方程，并從中領(lǐng)會(huì)用變量代換求解微分方程的的思想。

(4)會(huì)用降階法求下列三種類型的高階方程：，。

(5)理解二階線性微分方程解的構(gòu)造。

(6)掌握二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法，理解高階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法。

(7)會(huì)求自由項(xiàng)形如，的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的特解，其中為實(shí)系多次多項(xiàng)式，為實(shí)數(shù)。

(8)會(huì)通過(guò)建立微分方程模型，處理某些簡(jiǎn)樸的實(shí)際問(wèn)題。

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第八章

空間解析幾何與矢量代數(shù)

（1）理解空間直角坐標(biāo)系，理解向量的概念及其表達(dá)。

(2)掌握向量的運(yùn)算（線性運(yùn)算、數(shù)量積、向量積），理解兩個(gè)向量垂直、平行的條件。

(3)掌握單位向量、方向余弦、向量的坐標(biāo)體現(xiàn)式以及用坐標(biāo)體現(xiàn)式進(jìn)行向量運(yùn)算的措施。

(4)掌握平面的方程和直線的方程及其求法，會(huì)運(yùn)用平面、直線的互相關(guān)系處理有關(guān)問(wèn)題。

（5）理解曲面方程的概念，理解常用的二次曲面的方程及其圖形，理解坐標(biāo)軸為旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)曲面及母線平行坐標(biāo)軸的柱面方程。

（6）懂得空間曲線的參數(shù)方程和一般方程。

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第九章

多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用

(1)理解二元函數(shù)的概念，理解多元函數(shù)的概念。

(2)理解二元函數(shù)的極限與持續(xù)性的概念，理解有界閉區(qū)域上持續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。

(3)理解二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)與全微分的概念，理解全微分存在的必要條件與充足條件。

(4)掌握復(fù)合函數(shù)一階偏導(dǎo)數(shù)的求法，會(huì)求復(fù)合函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)（對(duì)于求抽象復(fù)合函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)，只規(guī)定作簡(jiǎn)樸訓(xùn)練）。

(5)會(huì)求隱函數(shù)（包括由兩個(gè)方程構(gòu)成的方程組確定的隱函數(shù)）的一階偏導(dǎo)數(shù)（對(duì)求二階偏導(dǎo)數(shù)不作規(guī)定）。

(6)理解曲線的切線和法平面以及曲面的切平面與法線，并會(huì)求出它們的方程。

(7)理解二元函數(shù)極值與條件極值的概念，會(huì)求二元函數(shù)的極值，理解求條件極值的拉格朗日乘數(shù)法，會(huì)求解某些比較簡(jiǎn)樸的最大值與最小值的應(yīng)用問(wèn)題。

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第十章

重積分

(1)理解二重積分的概念，理解三重積分的概念，理解重積分的性質(zhì)。

(2)掌握二重積分的計(jì)算措施（直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)）。

（3）會(huì)計(jì)算簡(jiǎn)樸的三重積分（直角坐標(biāo)、柱面坐標(biāo)）。

（4）理解科學(xué)技術(shù)問(wèn)題中建立重積分體現(xiàn)式的元素法（微元法），會(huì)建立某些簡(jiǎn)樸的幾何量和物理量的積分體現(xiàn)式。

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第十一章

曲線積分與曲面積分

(1)理解兩類曲線積分的概念，理解兩類曲線積分的性質(zhì)及兩類曲線積分的關(guān)系，會(huì)計(jì)算兩類曲線積分（對(duì)于空間曲線積分的計(jì)算只作簡(jiǎn)樸訓(xùn)練）。

(2)掌握格林（Green）公式，會(huì)使用平面線積分與途徑無(wú)關(guān)的條件，理解第二類平面線積分與途徑無(wú)關(guān)的物理意義。

(3)理解兩類曲面積分的概念、互相聯(lián)絡(luò)及其計(jì)算措施。

(4)理解高斯（Gauss）公式，斯托克斯（Stokes）公式（斯托克斯公式的證明以及運(yùn)用該公式計(jì)算空間曲線積分不作規(guī)定）。

（5）理解科學(xué)技術(shù)問(wèn)題中建立曲線、曲面積分體現(xiàn)式的元素法（微元法），會(huì)建立某些簡(jiǎn)樸的幾何量和物理量的積分體現(xiàn)式。

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第十二章

無(wú)窮級(jí)數(shù)

(1)理解無(wú)窮級(jí)數(shù)收斂、發(fā)散以及和的概念，理解無(wú)窮級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件。

(2)理解正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較審斂法以及幾何級(jí)數(shù)與-級(jí)數(shù)的斂散性，掌握正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比值審斂法。

(3)理解交錯(cuò)級(jí)數(shù)的萊布尼茨定理，會(huì)估計(jì)交錯(cuò)級(jí)數(shù)的截?cái)嗾`差。理解絕對(duì)收斂與條件收斂的概念及兩者的關(guān)系。

(4)理解函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂域與和函數(shù)的概念，掌握簡(jiǎn)樸冪級(jí)數(shù)收斂區(qū)間的求法（區(qū)間端點(diǎn)的收斂性不作規(guī)定）。理解冪級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的某些基本性質(zhì)（對(duì)求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)只規(guī)定作簡(jiǎn)樸訓(xùn)練）。

(5)會(huì)運(yùn)用，，，與的麥克勞林（Maclaurin）展開(kāi)式將某些簡(jiǎn)樸的函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)。

(６)理解用三角函數(shù)迫近周期函數(shù)的思想，理解函數(shù)展開(kāi)為傅里葉（Fourier）級(jí)數(shù)的狄利克雷（Dirichlet）條件，會(huì)將函數(shù)展開(kāi)為傅里葉級(jí)數(shù)及正弦或余弦級(jí)數(shù)。

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四、主選教材及重要參照書目（寫明教材名稱、出版社、版別、作者姓名）主選教材：《高等數(shù)學(xué)》第六版，同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系編，高等教育出版社。重要參照書目：《高等數(shù)學(xué)》第四版，同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)教研室主編，高等教育出版社。《工科數(shù)學(xué)分析基礎(chǔ)》第二版，王綿森馬知恩主編，高等教育出版社?！陡叩葦?shù)學(xué)附冊(cè)學(xué)習(xí)輔導(dǎo)與習(xí)題選解》，同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系編，高等教育出版社。五、闡明（1）本課程與其他課程的關(guān)系學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)課程需具有良好的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。