專題27直線方程與兩條直線的位置關(guān)系（學生版）

專題27直線方程與兩條直線的位置關(guān)系（核心考點精講精練）1.近幾年真題考點分布圓錐曲線近幾年考情考題示例考點分析關(guān)聯(lián)考點2023年全國乙（文科），第11題,5分直線與圓的位置關(guān)系，參數(shù)方程2023年全國乙（文科），第13題,5分根據(jù)拋物線上的點求標準方程，拋物線的定義2023年全國乙（理科），第3題,5分2023年全國乙（文科），第3題,5分通過三視圖求幾何體的表面積2023年全國乙（理科），第5題,5分2023年全國乙（文科），第7題,5分根據(jù)標準方程確定圓的圓心和半徑幾何概型2023年全國乙（理科），第11題,5分2023年全國乙（文科），第12題,5分直線與雙曲線的位置關(guān)系，求線段的中點坐標2023年全國乙（理科），第12題,5分直線與圓的位置關(guān)系向量的數(shù)量積2023年全國乙（理科），第20題,12分2023年全國乙（文科），第21題,12分1、根據(jù)離心率求橢圓方程；2、橢圓中的定點問題；2023年全國甲（文科），第7題,5分橢圓中焦點三角形的面積問題2023年全國甲（理科），第8題,5分2023年全國甲（文科），第9題,5分雙曲線的漸近線、離心率、圓的中點弦2023年全國甲（理科），第12題,5分橢圓的定義、焦點三角形2023年全國甲（理科），第20題,12分2023年全國甲（文科），第20題,12分1、根據(jù)直線與拋物線相交所得弦長求拋物線方程；2、拋物線中的三角形面積問題2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】1.本節(jié)為高考?？贾R點，常常與橢圓、雙曲線及拋物線一起綜合考查；2.考查根據(jù)斜率判斷傾斜角的取值范圍，求直線方程，求斜率的取值范圍3.求平面上兩點間的距離公式、點到直線的距離公式,會求兩條平行直線間的距離4.能根據(jù)斜率的關(guān)系判定兩條直線平行或垂直.【備考策略】1.在平面直角坐標系中,結(jié)合具體圖形,探索確定直線位置的幾何要素.2.理解直線的傾斜角和斜率的概念,掌握過兩點的直線斜率的計算公式.3.根據(jù)確定直線位置的幾何要素,探索并掌握直線方程的幾種形式(點斜式、兩點式、斜截式、截距式及一般式).4.能根據(jù)斜率的關(guān)系判定兩條直線平行或垂直.5.能用解方程組的方法求兩條直線的交點坐標.6.掌握平面上兩點間的距離公式、點到直線的距離公式,會求兩條平行直線間的距離.【命題預測】1.常常與橢圓、雙曲線及拋物線一起綜合考查；2.考查根據(jù)斜率判斷傾斜角的取值范圍，求直線方程，求斜率的取值范圍3.求平面上兩點間的距離公式、點到直線的距離公式,會求兩條平行直線間的距離4.能根據(jù)斜率的關(guān)系判定兩條直線平行或垂直.知識講解一、直線的傾斜角與斜率1.直線的傾斜角(1)定義:當直線與軸相交時,我們?nèi)≥S作為基準,軸正向與直線之間所成的角叫作直線的傾斜角.當直線與軸時,規(guī)定它的傾斜角為.

(2)范圍:直線傾斜角的取值范圍是.

2.斜率公式(1)若直線的傾斜角,則斜率.

(2)若點,在直線上,且,則直線的斜率.

二、直線方程的五種形式名稱方程適用范圍點斜式不含直線斜截式不含垂直于軸的直線兩點式

不含直線和直線截距式不含垂直于坐標軸和過原點的直線一般式平面內(nèi)所有直線都適用1.直線的斜率和傾斜角之間的函數(shù)關(guān)系如圖,當時,斜率;當時,斜率不存在;當時,斜率.2.求直線方程時要注意判斷直線斜率是否存在;每條直線都有傾斜角,但不一定每條直線都存在斜率.3.截距為一個實數(shù),既可以為正數(shù),也可以為負數(shù),還可以為,這是解題時容易忽略的一點.(1)傾斜角與斜率的關(guān)系①當時,斜率k∈[0,+∞);②當時,斜率不存在;③當時,斜率.(2)斜率的兩種求法①定義法:.②公式法:.(3)求傾斜角的取值范圍或直線斜率的取值范圍時,要充分利用的單調(diào)性.求直線方程一般有以下兩種方法(1)直接法:首先由題意確定出直線方程的適當形式,然后直接寫出其方程.(2)待定系數(shù)法:先由直線滿足的條件設出直線方程,方程中含有待定的系數(shù),再由題設條件求出待定系數(shù),即得所求直線方程.1.求解與直線方程有關(guān)的最值問題,先根據(jù)題意建立目標函數(shù),再利用基本不等式(或函數(shù)的性質(zhì))求解最值.2.求解直線方程與函數(shù)相結(jié)合的問題,一般利用直線方程中的關(guān)系,將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于(或)的函數(shù),再借助函數(shù)的性質(zhì)解決問題.1.含有參數(shù)的直線方程可看作直線系方程,這時要能夠整理成過定點的直線系,能夠看出“動中有定”.若直線的方程為,則直線過定點.2.求解與直線方程有關(guān)的面積問題,應根據(jù)直線方程求解相應坐標或者相關(guān)長度,進而求得多邊形的面積.三、兩條直線平行或垂直的判定1.兩條直線平行(1)對于兩條不重合的直線,,若其斜率分別為,,則有;

(2)當直線,不重合且斜率都不存在時,.2.兩條直線垂直(1)如果兩條直線,的斜率存在,設為,,則有;

(2)當其中一條直線的斜率不存在,而另一條直線的斜率為0時,.

在判定兩條直線平行或垂直的情況時不要忽略了一條直線或兩條直線斜率不存在的情形.

由一般式方程確定兩直線位置關(guān)系的方法直線方程與:,:垂直的充要條件平行的充要條件相交的充要條件重合的充要條件四、兩條直線相交1.交點:直線:和:的公共點的坐標與方程組A1x+B1y2.相交?方程組有,交點坐標就是方程組的解.

3.平行?方程組.

4.重合?方程組有.

五、三種距離公式1.兩點間的距離公式平面上任意兩點間的距離公式為.2.點到直線的距離公式點到直線:的距離.利用點到直線的距離公式時,需要先將直線方程化為一般式.3.兩條平行直線間的距離公式兩條平行直線與間的距離.1.當含參數(shù)的直線方程為一般式時,若要表示出直線的斜率,不僅要考慮到斜率存在的一般情況,也要考慮到斜率不存在的特殊情況,同時還要注意的系數(shù)不能同時為零這一隱含條件.2.在判斷兩直線的平行、垂直時,也可直接利用直線方程的系數(shù)間的關(guān)系得出結(jié)論.點到直線、兩平行線間的距離公式的使用條件(1)求點到直線的距離時,應先化直線方程為一般式.(2)求兩平行線之間的距離時,應先將方程化為一般式且的系數(shù)對應相等.中心對稱:①點關(guān)于點的對稱點滿足x'=2a-x,y點關(guān)于直線的對稱點為,則有n-bm線關(guān)于點對稱的兩種求解方法(1)在已知直線上取兩點,利用中點坐標公式求出它們關(guān)于已知點對稱的兩點坐標,再由兩點式求出直線方程.(2)求出一個對稱點,再利用兩對稱直線平行,由點斜式得到所求的直線方程.求直線關(guān)于直線對稱的直線,有兩種處理方法(1)在直線上取兩點(一般取特殊點),利用求點關(guān)于直線的對稱點的方法求出這兩點關(guān)于直線的對稱點,再利用兩點式寫出直線的方程.(2)設點是直線上任意一點,其關(guān)于直線的對稱點為(在直線上),根據(jù)點關(guān)于直線對稱建立方程組,用表示出,再代入直線的方程,即得直線的方程.考點一、直線的傾斜角與斜率1．（2023年山東省模擬數(shù)學試題）直線的傾斜角（

）A． B． C． D．2．（2023年天津市模擬數(shù)學試題）已知直線的傾斜角為，則實數(shù)的值為（

）A． B． C． D．3．直線l經(jīng)過兩點，那么直線l的傾斜角的取值范圍為（

）A． B．∪C． D．1．已知點，，則直線AB的斜率為（

）A．2 B．－2 C．1 D．－12．已知兩點所在直線的傾斜角為45°，則m＝．3．已知兩點，，直線過點且與線段有交點，則直線的傾斜角的取值范圍為（

）A． B．C． D．考點二、直線的方程1．（2023屆廣東省二模數(shù)學試題）若過點的直線與圓交于兩點，則弦最短時直線的方程為（

）A． B．C． D．2．已知直線經(jīng)過點，且與圓相切，則的方程為（

）A． B． C． D．3．（20232024學年江蘇省檢測數(shù)學試題）已知直線經(jīng)過點，且點，到直線的距離相等，則直線的方程為.1．（2023屆吉林省調(diào)研考試數(shù)學試題）中，，，，則邊上的高所在的直線方程是（

）A． B．C． D．2．（2023屆新疆摸底強基數(shù)學試題）已知，則線段AB的垂直平分線的一般方程為.3．（2023屆安徽省模擬數(shù)學試題）已知圓：和圓：的公共弦所在直線橫過定點P，若過點P的直線l被圓上截得的弦長為，則直線l的方程為．考點三、直線方程的綜合應用1．在平面直角坐標系xOy(O為坐標原點)中，不過原點的兩直線，的交點為P，過點O分別向直線，引垂線，垂足分別為M，N，則四邊形OMPN面積的最大值為（

）A．3 B． C．5 D．2．在平面直角坐標系內(nèi)，設，為不同的兩點，直線l的方程為，，下面四個命題中的假命題為（

）A．存在唯一的實數(shù)δ，使點N在直線上B．若，則過M，N兩點的直線與直線l平行C．若，則直線經(jīng)過線段M，N的中點；D．若，則點M，N在直線l的同側(cè)，且直線l與線段M，N的延長線相交；3．（2023年江蘇省模擬數(shù)學試題）已知?分別在直線與直線上，且，點，，則的最小值為.1．在直角坐標系中，全集，集合，已知集合A的補集所對應區(qū)域的對稱中心為M，點P是線段（，）上的動點，點Q是x軸上的動點，則周長的最小值為（

）A．24 B． C．14 D．2．（2023屆上海市一模數(shù)學試題）設點滿足，則“”是“為定值”的（

）.A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．已知點P在直線上，點Q在直線，的中點為，且，則的取值范圍是．考點四、直線的平行與垂直1．（2024屆四川省模擬考試數(shù)學（文）試題）直線：與直線：平行，則（）A． B． C．2 D．2．（2023年浙江省聯(lián)考數(shù)學試題）若曲線在點處的切線與直線垂直，則的值為（

）A． B． C． D．13．（2023屆天津市二模數(shù)學試題）已知拋物線上一點到其焦點的距離為5，雙曲線的左頂點為A，若雙曲線的一條漸近線與直線AM平行，則實數(shù)a的值為（

）A． B． C． D．4．已知直線，，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．1．（2023屆江西三模考試數(shù)學（理）試題）若為實數(shù)，則“”是“直線與平行”的（

）條件A．充分不必要B．必要不充分C．充要 D．既不充分也不必要2．（2023屆黑龍江省一模考試數(shù)學試題）若曲線在原點處的切線與直線垂直，則實數(shù)a的值是（

）A．3 B． C．1 D．03．（2023屆山東省三模數(shù)學試題）瑞士數(shù)學家歐拉在《三角形的幾何學》一書中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一條直線上．這條直線被稱為歐拉線．已知的頂點，，，若直線l：與的歐拉線平行，則實數(shù)a的值為（

）A．－2 B．－1 C．－1或3 D．34．已知、，直線，，且，則的最小值為（

）A．B．C． D．考點五、直線的交點與距離問題1．已知直線與直線相交于點P，點，O為坐標原點，則的最大值為（

）A． B． C．1 D．2．當點到直線的距離最大時，m的值為（

）A．3 B．0 C． D．13．（2023屆四川省統(tǒng)一監(jiān)測理科數(shù)學試題）若點是曲線上任意一點，則點到直線距離的最小值為（

）A． B． C． D．4．傳說，意大利的西西里島有個山洞是用來關(guān)押罪犯的，罪犯們曾多次密謀商議逃跑，但不管多完美的計劃都會被獄警發(fā)現(xiàn)，原來山洞內(nèi)的空間是一個橢球體，最大截面部分是一個橢圓面，罪犯和獄警所待的地方正好是橢圓的兩個焦點，罪犯們說的話經(jīng)過洞壁的反射，最終都傳向了獄警所在的地方，即橢圓的另一個焦點，這里面含著橢圓的光學性質(zhì).請利用橢圓的該性質(zhì)解決下列問題：已知是橢圓：上的點.、是橢圓的左右焦點，，為坐標原點，到橢圓在處的切線的距離為（

）A． B． C． D．1．數(shù)學家歐拉在1765年發(fā)現(xiàn)，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一條直線上，這條直線稱為歐拉線已知的頂點，若其歐拉線的方程為，則頂點的坐標為A． B． C． D．2．（2021年全國新高考II卷數(shù)學試題）拋物線的焦點到直線的距離為，則（

）A．1 B．2 C． D．43．若點P是曲線上任意一點，則點P到直線的距離的最小值為（

）A． B． C． D．考點六、對稱問題1．點關(guān)于直線的對稱點是（

）A． B． C． D．2．直線關(guān)于點對稱的直線方程為（

）A． B．C． D．3．（2024屆廣東省摸底聯(lián)考數(shù)學試題）漢代初年成書的《淮南萬畢術(shù)》記載：“取大鏡高懸，置水盆于下，則見四鄰矣”．這是中國古代入民利用平面鏡反射原理的首個實例，體現(xiàn)了傳統(tǒng)文化中的數(shù)學智慧．在平面直角坐標系中，一條光線從點射出，經(jīng)軸反射后的光線所在的直線與圓相切，則反射光線所在直線的斜率為（

）A． B．或1 C．1 D．21．點關(guān)于直線的對稱點的坐標為（

）A． B． C． D．2．（2020年山東省春季高考數(shù)學真題）直線關(guān)于點對稱的直線方程是（

）A． B．C． D．3．（2023屆廣東省二模數(shù)學試題）已知橢圓C：（），過點且方向向量為的光線，經(jīng)直線反射后過C的右焦點，則C的離心率為（

）A． B． C． D．【基礎過關(guān)】1．經(jīng)過點A（3，4）且在兩坐標軸上的截距絕對值相等的直線方程為（

）A．或 B．或或C．或 D．或或2．已知直線l：在x軸上的截距的取值范圍是（，3），則其斜率的取值范圍是（

）A． B．或C．或 D．或3．（2023年福建省模擬數(shù)學試題）若過點的直線與以點為端點的線段相交，則直線的傾斜角取值范圍為（

）A． B． C． D．4．（2023屆上海市模擬數(shù)學試題）設點P是函數(shù)圖象上的任意一點，點P處切線的傾斜角為，則角的取值范圍是（

）A． B．C． D．5．（2023屆遼寧省三模數(shù)學試題）已知雙曲線C：的一條漸近線與直線垂直，則該雙曲線C的離心率為（

）A． B． C．2 D．6．（2023屆貴州省診斷性考試（三）數(shù)學（文）試題）直線，直線，下列說法正確的是（

）A．，使得 B．，使得C．，與都相交 D．，使得原點到的距離為37．（2023屆黑龍江省教學質(zhì)量檢測數(shù)學試題）直線l經(jīng)過點，，若直線l與直線平行，則．8．（2023屆河南省模擬（理科）數(shù)學試題）已知函數(shù)的圖象在點處的切線與直線互相垂直，則實數(shù)．9．已知直線恒過定點，點也在直線上，其中，均為正數(shù)，則的最小值為（

）A．2 B．4 C．8 D．610．（2023年河南省模擬考試數(shù)學試題）直線關(guān)于點對稱的直線方程為（

）A．4x＋3y－4＝0 B．4x＋3y－12＝0C．4x－3y－4＝0 D．4x－3y－12＝011．已知直線：恒過點，過點作直線與圓C：相交于A，B兩點，則的最小值為（

）A． B．2 C．4 D．12．已知直線過定點，則點關(guān)于對稱點的坐標為（

）A． B． C． D．13．直線ax＋y＋3a－1＝0恒過定點M，則直線2x＋3y－6＝0關(guān)于點M對稱的直線方程為（

）A．2x＋3y－12＝0 B．2x＋3y＋12＝0 C．3x－2y－6＝0 D．2x＋3y＋6＝014．直線被圓O；截得的弦長最短，則實數(shù)m=.15．設，過定點的動直線和過定點的動直線相交于點不重合），則面積的最大值是（

）A． B．5 C． D．【能力提升】1．（2023屆湖南省教學質(zhì)量監(jiān)測（三）數(shù)學試題）寫出與圓和都相切的一條直線方程．2．動直線分別與直線，曲線相交于兩點，則的最小值為（）A． B． C． D．3．已知，，的最小值為（

）A． B．2 C． D．4．（20232024學年江蘇省質(zhì)量檢測數(shù)學試題）若直線l：與曲線C：有兩個交點，則實數(shù)k的取值范圍是.5．（2023屆江西省模擬（文科）數(shù)學試題）已知拋物線的焦點為，傾斜角為的直線過點，且與拋物線交于兩點，，設直線的斜率分別為，則．6．在平面直角坐標系中，已知直線與圓交于A，B兩點，若鈍角的面積為，則實數(shù)a的值是．7．（2023屆湖北省調(diào)研數(shù)學試題）若兩條直線與圓的四個交點能構(gòu)成矩形，則.8．過點的直線與橢圓交于點和，且.點滿足，若為坐標原點，則線段長度的最小值為.9．已知直線過定點A，直線過定點B，與的交點為C，則的最大值為.10．（2023屆福建省考前最后一卷數(shù)學試題）已知圓C：，直線l的橫縱截距相等且與圓C相切﹐則直線l的方程為．11．（2022年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學模擬測試（新高考））阿基米德（公元前287年——公元前212年）是古希臘偉大的物理學