解題反思的積極意義有如下幾個(gè)方面

解題反思的積極意義有如下幾個(gè)方面。（一）積極反思，查缺補(bǔ)漏，確保解題的合理性和正確性解數(shù)學(xué)題，有時(shí)由于審題不確，概念不清，忽視條件，套用相近知識(shí)，考慮不周或計(jì)算出錯(cuò)，難免產(chǎn)生這樣或那樣的錯(cuò)誤，即學(xué)生解數(shù)學(xué)題，不能保證一次性正確和完善。所以解題后，必須對(duì)解題過(guò)程進(jìn)行回顧和評(píng)價(jià)，對(duì)結(jié)論的正確性和合理性進(jìn)行驗(yàn)證。可是一些學(xué)生把完成作業(yè)當(dāng)成是趕任務(wù)，解完題目萬(wàn)事大吉，頭也不回，揚(yáng)長(zhǎng)而去。由此產(chǎn)生大量謬誤，應(yīng)該引以為戒。結(jié)論荒唐，引為笑柄。一名學(xué)生做立體幾何必修本P.80第7題，由于單位換算和計(jì)算出錯(cuò)，竟然計(jì)算出電鍍100克小鏢絲釘需要28868千克鋅！另一名學(xué)生計(jì)算一顆地球衛(wèi)星離地面的最遠(yuǎn)距離是3厘米！如此荒謬絕倫的錯(cuò)誤結(jié)論，本來(lái)只憑生活常識(shí)也足可鑒別真?zhèn)?，可惜解題者竟深信不疑，作業(yè)上交，傳為笑話。解答不合理，造成錯(cuò)誤。解數(shù)學(xué)題的正確性必不可少，但合理性的要求卻常被忽視。例1979年高考題：已知log189=a，（a尹2），18b=5求log3645，有的學(xué)生這樣解：解：1箜如45=些=妙+也5=2炒也lg36Ig4+lg92(lg2+lg3)_21g3+l-lg2_2X0.4771+1-0.3010_ 2X(0.3010+0.4771)^1.062整個(gè)解題過(guò)程，運(yùn)算并無(wú)錯(cuò)誤，學(xué)生自我感覺(jué)良好。但只要回顧一下解題過(guò)程，就會(huì)發(fā)現(xiàn)，命題所給的兩個(gè)已知條件一個(gè)也沒(méi)有用上！解題顯然不合理。其實(shí)，本題是要求用已知數(shù)a、b表示log3645,并非求log3645的近似數(shù)值。學(xué)生是答非所設(shè)，答非所問(wèn)。正確答案應(yīng)由18b=5,得出b=logi85及l(fā)ogi89=a(a尹2)，從而有1c，45=以渺5_logig'+logig5_a+b箜莢logls36logls18+logls21+］袈膊些a+b a+b= = (a2)l+log1818-log109 2-a以特殊代替一般，“瞞天過(guò)海”。高一代數(shù)作業(yè)題:證明函數(shù)f(x)=-x3+1在(-8,0)內(nèi)是減函數(shù)。一些學(xué)生這樣證明：?.?f(-1)=2，f(-2)=9，f(-3)=28，…又—3V-2VT，但2V9V28V…，即f(-1)Vf(-2)Vf(-3)V…，.??f(x)=-x3+1在(-8,0)上是減函數(shù)。這是典型的以特殊代替一般的錯(cuò)例。并且動(dòng)用了四次省略號(hào)，企圖以此覆蓋整個(gè)(-8,0)區(qū)間，偷梁換柱閹割函數(shù)增減性的總體性概念，犯了以不完全歸納法代替完全歸納法的錯(cuò)誤。其實(shí)只要回頭對(duì)照一下函數(shù)增減性的定義，以及高一代數(shù)上冊(cè)P.36有關(guān)函數(shù)增減性證明的例題，是完全可以避免這種錯(cuò)誤的。4.概念不精造成錯(cuò)誤.有一道高考填空題，求指數(shù)方程的解集。學(xué)生把方程的解和解集兩個(gè)概念混為一談，把計(jì)算得出的正確結(jié)論■■■■{x|x=2}寫成x= 一字之差，全題覆沒(méi)。再舉一例’方程2(m+1)x2-4mx+3(m-1)=0有兩個(gè)實(shí)根，試確定m的值。學(xué)生這樣解：由方程有兩個(gè)實(shí)根，可得△=(-4m)2-4X2(m+1)X3(m-1)N0，整理得m2-3C0, <./3,故m的取值范圍是-從題意看，原方程無(wú)疑是一個(gè)一元二次方程，解題過(guò)程似乎無(wú)懈可擊，回首推敲，學(xué)生正是忽略了既是一元二次方程，那么它的二次項(xiàng)系數(shù)2(m+l)^0,即m尹-1這一個(gè)隱蔽條件.而m=-lE[-73,?國(guó)因此，必須考慮這一隱蔽條件剔除tn=-l,最后得出m的取值范圍為[-A-1)U(-i,73]5.粗枝大葉，考慮不周造成錯(cuò)誤。例：解不等式alg(x-i)Va2(a〉0且a尹1)學(xué)生解：?「alg(x-1)Va2, lg(x-1)V2=lg102又y=lgx是增函數(shù)，?.?xTV102，即xV101.這是非常明顯的錯(cuò)解。學(xué)生一手對(duì)底數(shù)a（a〉0且a尹1）不分青紅皂白，不管指數(shù)函數(shù)的增減性，把解方程的方法套用于解不等式，并且不理會(huì)對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域，手到擒來(lái)，草率下結(jié)論。解后不加反思，造成大錯(cuò)。（正確解法略）6.臆造“定理”，判斷無(wú)據(jù)，以日常概念代替科學(xué)概念。有一道重點(diǎn)中學(xué)高一聯(lián)考題：己知直線a也平面直線bl平面直線bla,求證a//平面M學(xué)生錯(cuò)解如下：“垂直于同一直線的兩條直線平行”判定定理這一相近知識(shí)套用到立體幾何中來(lái)，臆造“定理”，判斷無(wú)據(jù)。垂直，與“過(guò)一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面和一條直線垂直”矛盾，所以a〃平面M。以上常見的學(xué)生解題錯(cuò)誤，不勝枚舉，有的明顯可見，有的稍為隱蔽，但只要學(xué)生自己解題后能認(rèn)真進(jìn)行反思，是不難發(fā)現(xiàn)并及時(shí)予以糾正的。可惜不少學(xué)生只滿足于一知半解，解完了事，不加探索回顧，任其漏洞百出。這種錯(cuò)誤思想和做法，像蛀蟲一樣嚴(yán)重蛀蝕著學(xué)生的思維品質(zhì)，影響學(xué)生解題能力的提高。由此可見，解題反思的積極意義及其重要性，必須引起師生在教學(xué)中的足夠重視。（二）積極反思，探求一題多解和多題一解，提高綜合解題能力數(shù)學(xué)知識(shí)有機(jī)聯(lián)系縱橫交錯(cuò)，解題思路靈活多變，解題方法途徑繁多，但最終卻能殊途同歸。即使一次性解題合理正確，也未必能保證一次性解題就是最佳思路，最優(yōu)最簡(jiǎn)捷的解法。不能解完題就此罷手，如釋重負(fù)。應(yīng)該進(jìn)一步反思，探求一題多解，多題一解的問(wèn)題，開拓思路，勾通知識(shí)，掌握規(guī)律，權(quán)衡解法優(yōu)劣，在更高層次更富有創(chuàng)造性地去學(xué)習(xí)、摸索、總結(jié)，使自己的解題能力更勝一籌。1.一題多解，己知log1227=a,求證：1箜「6=愈證法一（從左到右）?「log1227=3logi23=a，二1箜撰=：,10 3又1箜薩=1箜口3=1-岫狎=1-21箜口2=-,61令如6 1-108122 ]_'一色6證法二（從重到左）..?log1227=a3+a二4（3-攻_4（3-1◎哭為）_12（l-lc■耶03+a3+log1227 3（1+log123）41箜疽21og124= = =21og64=log61612焚 $證法三（中間會(huì)師）j恨IB=譬與10g1264（3-砂=4（3-"如27）=41絲/=21箜/=1袈構(gòu)163+a3+log1227log1262log126log126?.?5*證法四（轉(zhuǎn)化條件）Vlogl227=aj則村留=且\lgl2Ig3+lg44（3-31g3）.4（3-a）_Ig3+lg4_4x31g4''3+a-3h31g3~-61g3+31g41&3+1&4以上一題多解，既可看到知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系、巧妙轉(zhuǎn)化和靈活運(yùn)用，又可梳理出推證后等式的一般方法和思路:從左到右、從右到左、中間會(huì)師、轉(zhuǎn)化條件等。這些對(duì)提高解題能力是多么重要。2.多題一解。8個(gè)不同元素排成前后兩排，每排4個(gè)元素，有多少種排法？解：前排排法：C；?時(shí)=玖（神），后排排法??時(shí)=時(shí)（神）二共有排法球?玲=曙（神）8個(gè)不同元素排成3排，前排4個(gè)，中排3個(gè)，后排1個(gè)，有多少種排法？解：前排排法：<?時(shí)=時(shí)（神）；中排排法；（神）；后排排法：（神）■■-共有排法*P,=璞（神）為什么兩道題目同-結(jié)泉都是耳咖由此積極反思，提出問(wèn)題，進(jìn)一步論證，從而可以推出這類題目的統(tǒng)一解法：n個(gè)元素排在n個(gè)位置上，只要n這個(gè)位置不圍成封閉曲線，它們的排法都是種.由此可見，解題后善于總結(jié)，掌握規(guī)律，探求共性，再由共性指導(dǎo)我們?nèi)ソ鉀Q碰到的這類問(wèn)題，便會(huì)迎刃而解，發(fā)揮多題一解的優(yōu)勢(shì)。積極反思、系統(tǒng)小結(jié)，使重要數(shù)學(xué)方法、公式、定理的應(yīng)用規(guī)律條理化，在解題中應(yīng)用自如，有的放矢不少學(xué)生做題，易犯就事論事，就題論題，“鐵路巡警，各管一段”的毛病，掌握的知識(shí)支離破碎，腦海一片空白。請(qǐng)看下面是如何在解題中小結(jié)三角函數(shù)和積互化公式的作用和應(yīng)用規(guī)律的。和差化積、積化和差是三角函數(shù)恒等變換的重要手段，和差化積實(shí)質(zhì)上是三角函數(shù)的一種特殊的“因式分解”，積化和差是其逆變換。1.和差化積是為了制造公因式例1.在△ABC中，比較sinA+sinB+sinC與sin(A+B+C)的大小。解：(sinA+sinB+sinC)-sin(A+B+C)=[sinA-sin(A+B+C]+(sinA+sinC)c2A+B+C.B+C=-2cos sin 2 2°、.B+CB-C+2sin—-—cos—-—▼B+C^B-C2A+B+C=2sin—-一［cos—-—-cos （制造公因式對(duì)號(hào)）』.B+C.A+B.A+C…=4sin sin sm 0（?「A、B、C是三角形內(nèi)角）/.sinA+sinB+sinOsin(A+B+C)2.和差化積是為了制造特殊角例2.證明sin87°-sin59°-sin93°+sin61°=sinl°證：原式左=(sin87°-sin93°)+(sin61°-sin59°)TOC\o"1-5"\h\zr180° 120° .仲=2cos +2cos sml2 2=sml°(制造了特殊角87°+93°=180°,59°+61°=120°)3.和差化積是為了把和差角化為單角或特殊角例3.證明cos(a