湖南長沙市湖南師大附中集團(tuán)2024屆九年級(jí)數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末聯(lián)考試題含解析

湖南長沙市湖南師大附中集團(tuán)2024屆九年級(jí)數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末聯(lián)考試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題(每小題3分,共30分)1．關(guān)于x的一元二次方程x2+4x+k=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是（）A．k≤﹣4 B．k＜﹣4 C．k≤4 D．k＜42．如圖，從左邊的等邊三角形到右邊的等邊三角形，經(jīng)過下列一次變化不能得到的是()A．軸對(duì)稱 B．平移 C．繞某點(diǎn)旋轉(zhuǎn) D．先平移再軸對(duì)稱3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形為菱形，，，，則對(duì)角線交點(diǎn)的坐標(biāo)為()A． B． C． D．4．已知正多邊形的邊心距與邊長的比為，則此正多邊形為（）A．正三角形 B．正方形 C．正六邊形 D．正十二邊形5．如圖，甲乙兩樓相距30米，乙樓高度為36米，自甲樓頂A處看乙樓樓頂B處仰角為30°，則甲樓高度為（）A．11米 B．（36﹣15）米 C．15米 D．（36﹣10）米6．關(guān)于x的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍是A． B． C． D．7．如圖，DE是的中位線，則與的面積的比是A．1：2B．1：3C．1：4D．1：98．如果，那么銳角A的度數(shù)是（）A．60° B．45° C．30° D．20°9．下列對(duì)于二次函數(shù)y＝﹣x2+x圖象的描述中，正確的是（）A．開口向上 B．對(duì)稱軸是y軸C．有最低點(diǎn) D．在對(duì)稱軸右側(cè)的部分從左往右是下降的10．一個(gè)幾何體由若干個(gè)相同的正方體組成，其主視圖和左視圖如圖所示，則組成這個(gè)幾何體的正方體個(gè)數(shù)最小值為（）A．5 B．6 C．7 D．8二、填空題(每小題3分,共24分)11．如圖，直線y＝ax+b過點(diǎn)A（0，2）和點(diǎn)B（﹣3，0），則方程ax+b＝0的解是_____．12．如圖，在中，，為邊上的中線，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作的平行線，交的延長線于點(diǎn)，在的延長線上截取，連接、．若，，則的長為____________．13．如圖，已知等邊的邊長為，頂點(diǎn)在軸正半軸上，將折疊，使點(diǎn)落在軸上的點(diǎn)處，折痕為.當(dāng)是直角三角形時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為__________．14．如圖，是的邊上一點(diǎn)，且點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，，則______．15．如圖，菱形ABCD中，∠B＝120°，AB＝2，將圖中的菱形ABCD繞點(diǎn)A沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，得菱形AB′C′D′1，若∠BAD′＝110°，在旋轉(zhuǎn)的過程中，點(diǎn)C經(jīng)過的路線長為____．16．已知一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象相交，其中有一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，則的值為_____．17．如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠A=α，AC=20，請(qǐng)用含α的式子表示BC的長___________．18．如圖，面積為6的矩形的頂點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖像上，則__________．三、解答題(共66分)19．（10分）如圖，已知是的直徑，點(diǎn)在上，過點(diǎn)的直線與的延長線交于點(diǎn)，．求證:是的切線；求證:；點(diǎn)是弧的中點(diǎn)，交于點(diǎn)，若，求的值．20．（6分）先化簡，再求值的值，其中.21．（6分）先化簡，再從0、2、4、﹣1中選一個(gè)你喜歡的數(shù)作為x的值代入求值．22．（8分）如圖，△ABC的坐標(biāo)依次為（﹣1，3）、（﹣4，1）、（﹣2，1），將△ABC繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°得到△A1B1C1．（1）畫出△A1B1C1；（2）求在此變換過程中，點(diǎn)A到達(dá)A1的路徑長．23．（8分）如圖，為了測量一棟樓的高度，小明同學(xué)先在操場上處放一面鏡子，向后退到處，恰好在鏡子中看到樓的頂部；再將鏡子放到處，然后后退到處，恰好再次在鏡子中看到樓的頂部（在同一條直線上），測得，如果小明眼睛距地面高度，為，試確定樓的高度．24．（8分）“紅燈停，綠燈行”是我們過路口遇見交通信號(hào)燈時(shí)必須遵守的規(guī)則.小明每天從家騎自行車上學(xué)要經(jīng)過三個(gè)路口，假如每個(gè)路口交通信號(hào)燈中紅燈和綠燈亮的時(shí)間相同，且每個(gè)路口的交通信號(hào)燈只安裝了紅燈和綠燈.那么某天小明從家騎車去學(xué)校上學(xué)，經(jīng)過三個(gè)路口抬頭看到交通信號(hào)燈.（1）請(qǐng)畫樹狀圖，列舉小明看到交通信號(hào)燈可能出現(xiàn)的所有情況；（2）求小明途經(jīng)三個(gè)路口都遇到紅燈的概率.25．（10分）如圖，是的直徑，，為弧的中點(diǎn)，正方形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)與的兩邊分別交于、（點(diǎn)、與點(diǎn)、、均不重合），與分別交于、兩點(diǎn).（1）求證：為等腰直角三角形；（2）求證：；（3）連接，試探究：在正方形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的過程中，的周長是否存在最小值？若存在，求出其最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由.26．（10分）如圖，破殘的圓形輪片上，弦AB的垂直平分線交AB于C，交弦AB于D．(1)求作此殘片所在的圓(不寫作法，保留作圖痕跡)；(2)若AB＝24cm，CD＝8cm，求(1)中所作圓的半徑.

參考答案一、選擇題(每小題3分,共30分)1、C【解題分析】根據(jù)判別式的意義得△=12﹣1k≥0，然后解不等式即可．【題目詳解】根據(jù)題意得△=12﹣1k≥0，解得k≤1．故選C．【題目點(diǎn)撥】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根與△=b2﹣1ac有如下關(guān)系：當(dāng)△＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根．2、A【分析】根據(jù)對(duì)稱，平移和旋轉(zhuǎn)的定義，結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)分析即可．【題目詳解】解：從左邊的等邊三角形到右邊的等邊三角形，可以利用平移或繞某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)或先平移再軸對(duì)稱，只軸對(duì)稱得不到，故選：A．【題目點(diǎn)撥】本題考查了圖形的變換：旋轉(zhuǎn)、平移和對(duì)稱，等邊三角形的性質(zhì)，掌握?qǐng)D形的變換是解題的關(guān)鍵．3、D【分析】過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，由直角三角形的性質(zhì)求出長和長即可．【題目詳解】解：過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，∵四邊形為菱形，，∴，OB⊥AC，，∵，∴，∴，∴，，∴，∴．故選D．【題目點(diǎn)撥】本題考查了菱形的性質(zhì)、勾股定理及含30°直角三角形的性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．4、B【分析】邊心距與邊長的比為，即邊心距等于邊長的一半，進(jìn)而可知半徑與邊心距的夾角是15度．可求出中心角的度數(shù)，從而得到正多邊形的邊數(shù)．【題目詳解】如圖，圓A是正多邊形的內(nèi)切圓；∠ACD＝∠ABD＝90°，AC＝AB，CD＝BD是邊長的一半，當(dāng)正多邊形的邊心距與邊長的比為，即如圖有AB＝BD，則△ABD是等腰直角三角形，∠BAD＝15°，∠CAB＝90°，即正多邊形的中心角是90度，所以它的邊數(shù)＝360÷90＝1．故選：B．【題目點(diǎn)撥】本題利用了正多邊形與它的內(nèi)切圓的關(guān)系求解，轉(zhuǎn)化為解直角三角形的計(jì)算．5、D【分析】分析題意可得：過點(diǎn)A作AE⊥BD，交BD于點(diǎn)E；可構(gòu)造Rt△ABE，利用已知條件可求BE；而乙樓高AC＝ED＝BD﹣BE．【題目詳解】解：過點(diǎn)A作AE⊥BD，交BD于點(diǎn)E，在Rt△ABE中，AE＝30米，∠BAE＝30°，∴BE＝30×tan30°＝10（米），∴AC＝ED＝BD﹣BE＝（36﹣10）（米）．∴甲樓高為（36﹣10）米．故選D．【題目點(diǎn)撥】此題主要考查三角函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟知特殊角的三角函數(shù)值.6、A【解題分析】試題分析：根據(jù)一元二次方程的意義，可知a≠0，然后根據(jù)一元二次方程根的判別式，可由有實(shí)數(shù)根得△=b2-4ac=1-4a≥0，解得a≤，因此可知a的取值范圍為a≤且a≠0.點(diǎn)睛：此題主要考查了一元二次方程根的判別式，解題關(guān)鍵是根據(jù)一元二次方程根的個(gè)數(shù)判斷△=b2-4ac的值即可.注意：當(dāng)△＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的十?dāng)?shù)根；當(dāng)△＜0時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根.7、C【分析】由中位線可知DE∥BC，且DE=BC；可得△ADE∽△ABC，相似比為1:2；根據(jù)相似三角形的面積比是相似比的平方，即得結(jié)果．【題目詳解】解：∵DE是△ABC的中位線，∴DE∥BC，且DE=BC，∴△ADE∽△ABC，相似比為1:2，∵相似三角形的面積比是相似比的平方，∴△ADE與△ABC的面積的比為1:4.故選C.【題目點(diǎn)撥】本題要熟悉中位線的性質(zhì)及相似三角形的判定及性質(zhì)，牢記相似三角形的面積比是相似比的平方．8、A【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值即可求解．【題目詳解】解：∵，∴銳角A的度數(shù)是60°，故選：A．【題目點(diǎn)撥】本題考查特殊角的三角函數(shù)值，掌握特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．9、D【分析】根據(jù)題目中的函數(shù)解析式和二次函數(shù)的性質(zhì)，可以判斷各個(gè)選項(xiàng)中的結(jié)論是否正確，從而可以解答本題．【題目詳解】解：∵二次函數(shù)y＝﹣x2+x＝﹣(x)2+，∴a＝﹣1，該函數(shù)的圖象開口向下，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)稱軸是直線x＝，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；當(dāng)x＝時(shí)取得最大值，該函數(shù)有最高點(diǎn)，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；在對(duì)稱軸右側(cè)的部分從左往右是下降的，故選項(xiàng)D正確；故選：D．【題目點(diǎn)撥】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握函數(shù)解析式和二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10、A【分析】根據(jù)題意分別找到2層組合幾何體的最少個(gè)數(shù)，相加即可．【題目詳解】解：底層正方體最少的個(gè)數(shù)應(yīng)是3個(gè)，第二層正方體最少的個(gè)數(shù)應(yīng)該是2個(gè)，因此這個(gè)幾何體最少有5個(gè)小正方體組成，故選：A．【題目點(diǎn)撥】本題考查三視圖相關(guān)，解決本題的關(guān)鍵是利用“主視圖瘋狂蓋，左視圖拆違章”找到所需最少正方體的個(gè)數(shù)進(jìn)行分析即可．二、填空題(每小題3分,共24分)11、x＝﹣1【分析】所求方程ax+b＝0的解，即為函數(shù)y＝ax+b圖像與x軸交點(diǎn)橫坐標(biāo)，根據(jù)已知條件中點(diǎn)B即可確定．【題目詳解】解：方程ax+b＝0的解，即為函數(shù)y＝ax+b圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，∵直線y＝ax+b過B（﹣1，0），∴方程ax+b＝0的解是x＝﹣1，故答案為：x＝﹣1．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了一次函數(shù)與一元一次方程的關(guān)系，掌握一次函數(shù)與一元一次方程之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.12、【分析】首先可判斷四邊形BGFD是平行四邊形，再由直角三角形斜邊中線等于斜邊一半，可得BD=FD，則可判斷四邊形BGFD是菱形，則GF=10，則AF=16，AC=20，在Rt△ACF中利用勾股定理可求出CF的值．【題目詳解】解：∵AG∥BD，BD=FG，∴四邊形BGFD是平行四邊形，∵CF⊥BD，∴CF⊥AG，又∵點(diǎn)D是AC中點(diǎn)，∴BD=DF=AC，∴四邊形BGFD是菱形，∴GF=BG=10，則AF=26-10=16，AC=2×10=20，∵在Rt△ACF中，∠CFA=90°，∴即故答案是：1．【題目點(diǎn)撥】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)、勾股定理及直角三角形的斜邊中線的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是判斷出四邊形BGFD是菱形．13、，【解題分析】當(dāng)A′E∥x軸時(shí)，△A′EO是直角三角形，可根據(jù)∠A′OE的度數(shù)用O′A表示出OE和A′E，由于A′E＝AE，且A′E＋OE＝OA＝，由此可求出OA′的長，也就能求出A′E的長,據(jù)此可求出A′的坐標(biāo)；當(dāng)∠A’EO=90°時(shí)，△A′EO是直角三角形，設(shè)OE=x,則AE=A’E=-x,根據(jù)三角函數(shù)的關(guān)系列出方程即可求解x,從而求出A’的坐標(biāo).【題目詳解】當(dāng)A′E∥x軸時(shí)，△OA′E是直角三角形，故∠A′OE＝60°，A′E＝AE，設(shè)A′的坐標(biāo)為（0，b），∴AE＝A′E＝A’Otan60°=b，OE＝2b，b＋2b＝2＋，∴b＝1，A′的坐標(biāo)是（0，1）；當(dāng)∠A’EO=90°時(shí)，△A′EO是直角三角形，設(shè)OE=x,則AE=A’E=-x,∵∠AOB=60°，∴A’E=OEtan60°=x=-x解得x=∴A’O=2OE=∴A’（0，）綜上，A’的坐標(biāo)為，.【題目點(diǎn)撥】此題主要考查圖形與坐標(biāo)，解題的關(guān)鍵是熟知等邊三角形的性質(zhì)、三角函數(shù)的應(yīng)用.14、【分析】由已知條件可得出點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為4，則就等于點(diǎn)P的縱坐標(biāo)與其橫坐標(biāo)的比值．【題目詳解】解：由題意可得，∵，∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為4，∴就等于點(diǎn)P的縱坐標(biāo)與其橫坐標(biāo)的比值，∴．故答案為：．【題目點(diǎn)撥】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是正弦與正切的定義，熟記定義內(nèi)容是解此題的關(guān)鍵．15、π．【分析】連接AC、AC′，作BM⊥AC于M，由菱形的性質(zhì)得出∠BAC=∠D′AC′=30°，由含30°角的直角三角形的性質(zhì)得出BM=AB=1，由勾股定理求出AM=BM=，得出AC=2AM=2，求出∠CAC′=50°，再由弧長公式即可得出結(jié)果．【題目詳解】解：連接AC、AC′，作BM⊥AC于M，如圖所示：∵四邊形ABCD是菱形，∠B=120°，∴∠BAC=∠D′AC′=30°，∴BM=AB=1，∴AM=BM=，∴AC=2AM=2，∵∠BAD′=110°，∴∠CAC′=110°-30°-30°=50°，∴點(diǎn)C經(jīng)過的路線長==π故答案為：π【題目點(diǎn)撥】本題考查了菱形的性質(zhì)、含30°角的直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、弧長公式；熟練掌握菱形的性質(zhì)，由勾股定理和等腰三角形的性質(zhì)求出AC的長是解決問題的關(guān)鍵．16、1.【解題分析】把x=2代入一次函數(shù)的解析式，即可求得交點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法即可求得k的值．【題目詳解】在y=x+1中，令x=2，

解得y=3，

則交點(diǎn)坐標(biāo)是：（2，3），

代入y=

得：k=1．

故答案是：1．【題目點(diǎn)撥】本題考查了用待定系數(shù)法確定函數(shù)的解析式，是常用的一種解題方法．同學(xué)們要熟練掌握這種方法．17、【分析】在直角三角形中，角的正切值等于其對(duì)邊與鄰邊的比值，據(jù)此求解即可.【題目詳解】在Rt△ABC中，∵∠A=α，AC=20，∴=，即BC=.故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了三角函數(shù)解直角三角形，熟練掌握相關(guān)概念是解題關(guān)鍵.18、-1【分析】根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義可得|k|=1，再根據(jù)函數(shù)所在的象限確定k的值．【題目詳解】解：∵反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過面積為1的矩形OABC的頂點(diǎn)B，

∴|k|=1，k=±1，

∵反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過第二象限，

∴k=-1．

故答案為：-1．【題目點(diǎn)撥】主要考查了反比例函數(shù)中k的幾何意義，即過雙曲線上任意一點(diǎn)引x軸、y軸垂線，所得矩形面積為|k|．三、解答題(共66分)19、（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）1．【分析】（1）根據(jù)圓周角定理，易得∠PCB+∠OCB=90，即OC⊥CP，故PC是⊙O的切線；

（2）連接MA，MB，由圓周角定理可得∠ACM=∠BCM，進(jìn)而可得△MBN∽△MCB，故；代入數(shù)據(jù)即可求得答案．【題目詳解】，，又，，又是的直徑，，，即，是的半徑，是的切線；，，，又，，，；連接，點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，，，，，，，又是的直徑，，，，，．【題目點(diǎn)撥】此題主要考查圓的切線的判定及圓周角定理的運(yùn)用和相似三角形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，證得是解題的關(guān)鍵．20、;【分析】先算括號(hào)里面的，再算除法，根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值先得出x，再代入即可．【題目詳解】原式．當(dāng)時(shí)，原式．【題目點(diǎn)撥】本題考查了分式的化簡求值以及特殊角的三角函數(shù)值，是基礎(chǔ)知識(shí)要熟練掌握．21、原式=x，當(dāng)x＝﹣1時(shí)，原式＝﹣1【分析】先對(duì)分子分母分別進(jìn)行因式分解，能約分的先約分，再算括號(hào)，化除法為乘法，再進(jìn)行約分；再從0、2、4、﹣1中選使得公分母不為0的數(shù)值代入最簡分式中即可.【題目詳解】解：原式∵x﹣2≠0，x﹣4≠0，x≠0∴x≠2且x≠4且x≠0∴當(dāng)x＝﹣1時(shí)，原式＝﹣1.【題目點(diǎn)撥】此題考查了分式的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．22、（1）畫圖見解析；（2）點(diǎn)A到達(dá)A1的路徑長為π．【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的定義分別作出點(diǎn)A，B，C繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)所得對(duì)應(yīng)點(diǎn)，再首尾順次連接即可得；（2）點(diǎn)A到達(dá)A1的路徑是以O(shè)為圓心，OA為半徑的半圓，據(jù)此求解可得．【題目詳解】解：（1）如圖所示，△A1B1C1即為所求．（2）∵OA＝＝，∴點(diǎn)A到達(dá)A1的路徑長為×2π×＝π．【題目點(diǎn)撥】本題考查利用旋轉(zhuǎn)變換作圖，勾股定理，弧長公式，熟練掌握網(wǎng)格結(jié)構(gòu)，準(zhǔn)確找出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵．23、32米【分析】設(shè)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，根據(jù)光線的反射可知，延長、相交于點(diǎn)，連接并延長交于點(diǎn)，先根據(jù)鏡面反射的基本性質(zhì)，得出，再運(yùn)用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例即可解答．【題目詳解】設(shè)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，根據(jù)光線的反射可知，延長、相交于點(diǎn)，連接并延長交于點(diǎn)，由題意可知且、∴∴∴即：∴∴答：樓的高度為米.【題目點(diǎn)撥】本題考查了相似三角形的應(yīng)用、鏡面反射的基本性質(zhì)，準(zhǔn)確作出輔助線是關(guān)鍵.24、（1）詳見解析；共有8種等可能的結(jié)果；（2）【分析】此題分三步完成，每一個(gè)路口需要選擇一次，所以把每個(gè)路口看做一步，用樹狀圖表示所有情況，再利用概率公式求解．【題目詳解】（1）列樹狀圖如下：由樹狀圖可以看出，共有8種等可能的結(jié)果，即：紅紅紅、紅紅綠、紅綠紅、紅綠綠、綠紅紅、綠紅綠、綠綠紅、綠綠綠、（2）由（1）可知（三次紅燈）.【題目點(diǎn)撥】此題考查的是用樹狀圖法求概率．樹狀圖法適用于兩步或兩步以上完成的事件；解題時(shí)還要注意是放回實(shí)驗(yàn)還是不放回實(shí)驗(yàn)．用到的知