明代數(shù)學(xué)著作中有一掌金算法

明代數(shù)學(xué)著作中有一掌金算法

在中國(guó)數(shù)學(xué)歷史悠久的歷史上，許多老年人在極其原始和簡(jiǎn)單的條件下發(fā)明并創(chuàng)造了許多不同的計(jì)算方法。如東漢徐岳撰《數(shù)術(shù)記遺》,一書曾載有14種算法如今早已失傳。有些只在民間流傳,未見載籍,有的雖見前賢著作中,但或記之簡(jiǎn),或雖言未詳,更無算題及算草,既便是今人亦未能詳解其算法算理,更不說運(yùn)用了,也正處于失傳的厄運(yùn),如早在明代就已在民間流傳的“一掌金”算法便是其中之一。余仰承前賢遺范,酷嗜古算,歷大澤名川,僻壤巖穴,不惜重貲以購求遺書。博訪聞人達(dá)士,而聞?dòng)腥岁人尥〝?shù)學(xué)者,輒造訪問難,孳孳不倦。參會(huì)諸家,慮以獨(dú)見。不意偶獲機(jī)緣,幾經(jīng)周折,于2007年10月間專門登門拜訪和就教于當(dāng)今民間尚會(huì)此秘術(shù)者謝從永老人,歸后潛心研究考證,終揭此秘,且不失古算原貌。1“一掌金”算法“一掌金”算法系流傳于民間的一種古老算法,其肈始年代已不可考,但至少也有四、五百年以上歷史。該名詞出現(xiàn)于文藝作品中是在明嘉靖-崇禎年間單本的傳奇《蕉帕記·鬧婚》:“我是一掌金掏過了,如今四月,到明年正月半,剛剛十個(gè)月?！钡珒H從現(xiàn)存資料看,最早見著于數(shù)學(xué)著作原刻的為明萬歷元年(公元1573年)徐心魯所撰《盤珠算法》一書,在該書卷一末尾刻有“一掌金手圖”一幅(如圖1),但無任何文字說明。該書僅日本內(nèi)閣文庫藏有原本,為福建刻書家熊臺(tái)南刊行,它是我國(guó)現(xiàn)存最早的一部珠算原本著作。稍后見刻于明萬歷三十二年(公元1604年)黃龍吟所著《算法指南》卷下。其所刻圖不同于《算法統(tǒng)宗》而同于《盤珠算法》。再稍后明末清初《銅陵算法》(全稱《新鐫較正銅陵算法》,佚名)卷下刻有“一掌金訣”,配有“一掌金圖”,并有詳細(xì)文字說明,除無用腳計(jì)數(shù)外,余皆同程大位的《算法統(tǒng)宗》。特別是圖上附有“左手五指如算盤五位”九個(gè)文字,實(shí)為直接道出“一掌金”計(jì)算原理。另據(jù)考證,最早見著于文獻(xiàn)者當(dāng)為明正統(tǒng)年間《指明算法》?！吨该魉惴ā范?明程大位在《算法統(tǒng)宗·算經(jīng)源流》中說,為明“正統(tǒng)己未江寧夏澤源作”。正統(tǒng)己未為明正統(tǒng)四年(公元1439年)。該書原刻本目前雖然找不到,但有明清間的各種“較正”本,根據(jù)種種跡象表明,應(yīng)基本上保持原版面貌?，F(xiàn)據(jù)清刻佚名較正本《新鐫較正指明算法》下卷載“一掌金法”圖于下之詳細(xì)文字說明除無用腳計(jì)數(shù)說明外,其余均與程大位《算法統(tǒng)宗》相同。特別之處是在圖左上角標(biāo)有“左手五指如算盤位”八字,也直接點(diǎn)明了“一掌金”計(jì)算原理。到了清康熙年間的《劉虬江算法》(亦稱《啟蒙算捷》)下卷載“掌金定位圖”及清嘉慶十九年之佚名《新鐫較正原本算法全書》(原題《見新樓新較算法全書》,日照堂梓行。其卷之四載“一掌金歌”圖及文字說明均同程大位《算法統(tǒng)宗》。清嘉慶二十五年春重鐫《指明九章算法》(內(nèi)題《新鐫較正指明算法》)(二卷)卷二載“掌金法”同《指明算法》,且無用腳計(jì)數(shù)。民國(guó)上海較經(jīng)山房印行之石印本《詳注全圖新算法大成》(新安程大位賓渠甫編慈谿王庸選青甫較正)卷八載“一掌金圖”完全同《算法統(tǒng)宗》。逮至20世紀(jì)的1950年,上海尚古山房發(fā)行之《蒙學(xué)算法正宗》(廣陵徐以祥子云原輯)翻印本袖珍本《算法正宗》卷二載“一掌金”,其圖為右手背式圖,手背面繪太極八卦圖,其九數(shù)排序及文字說明則以左手為準(zhǔn)且皆同《算法統(tǒng)宗》。1953年4月,編輯者:徐以祥,印行者:上海建文書局印行之《新增全圖算法大成》載“掌中計(jì)算法”,圖及文字說明同《蒙學(xué)算法正宗》。由上可知,“一掌金”算法,作為民間日用算法,大體在明正統(tǒng)年以前就已在民間流傳了,但流傳不廣,且未被讀書人所重視,見諸文獻(xiàn)者寥寥無幾。其流傳徑路大體有以下幾種:1.以《算法統(tǒng)宗》傳本及明清各朝仿刻、翻刻、改編本為主線,此為最主要流傳徑路,且影響最大。2.以民間日用算書如《指明算法》、《銅陵算法》之明清各種較正本為主線流傳,但影響不大。而《盤珠算法》計(jì)數(shù)體系,由于該書當(dāng)時(shí)在國(guó)內(nèi)影響就不大,故幾無流傳。3.靠會(huì)此秘術(shù)者以傳統(tǒng)的師傅帶徒弟口授身傳法延續(xù)至今,流傳不廣,亦僅為極少數(shù)人掌握。以上不管哪條徑路流傳,至今也已幾近失傳,后繼無人。2“你有一掌金,我有定盤星”作為一種民間商業(yè)日用算法,其產(chǎn)生至少與明代商業(yè)活動(dòng)有關(guān)。流傳至今的浙江蕭山諺語:“你有一掌金,我有定盤星。”即為明證之一。它由興盛轉(zhuǎn)向衰落及今天幾近失傳,成因固然復(fù)雜,但歸納起來大致有以下幾點(diǎn)。4“一抓金”算法的示例假如今有人借去本銀二百五十八兩二錢,每年加四還利。問:該銀若干?答曰:一百零三兩二錢八分。4.1現(xiàn)代算術(shù)方法258兩2錢(258.2兩)×4錢(0.4兩)=一百零三兩二錢八分(103.28兩)4.2數(shù)上數(shù)上乘數(shù)5圖41.將右手地二、三、四、五指分別按在左手第二、三、四、五指2、5、8、2數(shù)上(如圖3),并默記乘數(shù)4。2.將乘數(shù)和被乘數(shù)相乘,將乘數(shù)4默記在心里。3.將被乘數(shù)從右至左依次和乘數(shù)相乘,并將右手五指分別按在左手五指得數(shù)上,這樣在左手五指紋路上最終顯示數(shù)為得數(shù)10328(如圖4),最后定計(jì)量單位。5古代計(jì)算“一財(cái)”的現(xiàn)代意義和價(jià)值5.1古代算“一掌金”算法的衰落古算“一掌金”作為中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化中的一個(gè)重要組成部分,是前賢給我們留下的寶貴遺產(chǎn),針對(duì)古算“一掌金”算法近乎失傳,鮮有人會(huì),面臨后繼無人的現(xiàn)象。我們有責(zé)任去保護(hù)和繼承它,并且將其發(fā)揚(yáng)光大,不要象歷史上其它一些遺產(chǎn)由于種種原因而失傳,否則我們這一代人將愧對(duì)列祖列宗。5.2物質(zhì)載體的選擇因“一掌金”算法,除了用自己的手腳外,不需任何計(jì)算載體或媒介,不用工具,不用眼看,迅速準(zhǔn)確為其3大特點(diǎn)。而其它計(jì)算方法則必須借助一定的物質(zhì)載體或媒介,如計(jì)算器、紙、筆等方能進(jìn)行計(jì)算。日常生活及商業(yè)活動(dòng)中大量的也都是加、減、乘、除的數(shù)字計(jì)算,或復(fù)雜點(diǎn)的為四則運(yùn)算。雖然“一掌金”在計(jì)算位數(shù)上有一定的限制,如左手掌只能表示被加(減)數(shù)、實(shí)數(shù)的5位數(shù),最后得數(shù)只能是7位數(shù)。但生活中計(jì)算得數(shù)一般也只到3-4位,而在這點(diǎn)上是不會(huì)隨時(shí)代變化而變化的。這也正是“一掌金”算法的優(yōu)勢(shì)及生命力所在。5.3算相結(jié)合的算法因“一掌金”是一種集珠算、心算、手指運(yùn)算相結(jié)合的一種算法。當(dāng)人們?cè)谟?jì)算時(shí),是手腦并用,那么對(duì)于手指各關(guān)節(jié)能起到疏通經(jīng)絡(luò),靈活關(guān)節(jié),調(diào)節(jié)人身體肌能的作用。5.5算法的傳播過程進(jìn)入高科技的現(xiàn)代化時(shí)代,人們往往會(huì)有一種追求返樸歸真,回歸自然,回歸古代的心理狀況。而古算“一掌金”在運(yùn)用過程中就會(huì)令人體會(huì)到古人掐指一算的風(fēng)采,它會(huì)令人產(chǎn)生數(shù)百年前古人日常生活是如何計(jì)算的這樣一種超越時(shí)空的無限美好遐想。筆者在學(xué)習(xí)和研究中對(duì)此則深有感觸,常自覺或不自覺的會(huì)陶醉在其境界中。此外,它在培養(yǎng)開發(fā)兒童及青少年智力、競(jìng)技、盲人計(jì)算、野外、黑暗中作業(yè)等方面都有進(jìn)一步開發(fā)利用的前景。相信隨著對(duì)一掌金算法及其理論的進(jìn)一步研究和開發(fā)利用,必將在數(shù)學(xué)各分支及其他技術(shù)、理論學(xué)科中得到廣泛應(yīng)用,而且對(duì)現(xiàn)代計(jì)算理論的發(fā)展亦將產(chǎn)生一定的影響。時(shí)隔20年,即明萬歷二十年(公元1592年),次見于我國(guó)明代偉大數(shù)學(xué)家、珠算家、珠算教育家、徽州商人程大位的數(shù)學(xué)(珠算)名著《算法統(tǒng)宗》一書,在該書卷十七“雜法”類刻有此圖,標(biāo)題為“一掌金定位圖”(如圖2),并有詳細(xì)手上計(jì)數(shù)定位文字說明,但無算題及算草。明萬歷二十六年(公元1598年)程大位又將其刻于所著《算法統(tǒng)宗》簡(jiǎn)本《算法纂要》卷四“雜法”中,圖及文字說明同《算法統(tǒng)宗》一書。其九數(shù)排序采用洛書易換數(shù)排序法在手指上表示數(shù)字。在卷四中,還有一加法算題“垛積合總訣”、算草及一句話的說明。此為現(xiàn)存流傳下來的唯一算題、算草資料。1.受流傳方式限制。因?qū)⑵湟暈槊匦g(shù),秘而不宣,從不在人面前顯露,只在業(yè)內(nèi)口授身傳,故而在當(dāng)時(shí)就流傳不廣,僅為少數(shù)商人所掌握。2.此算法有一特點(diǎn),即僅依靠文字資料學(xué)習(xí)較難掌握,必須依靠師傅手把手教才行,且訓(xùn)練難度大,一般人不易掌握。3.古算書之流傳遠(yuǎn)不如四書五經(jīng)對(duì)人們的影響,且因各種因素有的還失傳了,能流傳下來者也難以見到。4.“一掌金”算法在當(dāng)時(shí)見諸文字記載亦很少,文獻(xiàn)不足。唯一載有算題及演算過程的書《算法纂要》,又或因序言中有“北虜充次于邊陲”之語,入清后,為避諱免禍,無人再敢翻刻。公私書目,皆未記載,遂使湮滅無聞,幾乎失傳。因其流傳極少,國(guó)內(nèi)只有少數(shù)幾部明刻本,一般數(shù)學(xué)史工作者及珠算教育工作者很難見到。5.前人在記載此算法時(shí),雖有文字說明,但也只在計(jì)數(shù)定位上,沒有象其它算法那樣說明其演算原理及過程,更無實(shí)例講解,以至今人無法看懂和掌握。或許當(dāng)時(shí)人們都知道,而難在計(jì)數(shù)定位上,或因其為雜法,“小智之術(shù),蠢子頑兒之?dāng)?shù)”,無需從算理上講解,或許為秘術(shù)不肯示人而不講明等原因。6.隨著晚清中算西算化,而逐漸不為大多數(shù)人接受和掌握。7.現(xiàn)代研究中算史和珠算史的專家學(xué)者們,在對(duì)古算書進(jìn)行研究、整理和注釋時(shí),雖然下了很大功夫,取得了很大的成就,但對(duì)此恐也未能透徹了解和掌握,使得讀此類書者無法明了掌握,更不用說會(huì)運(yùn)用了。3后算取代籌算“一掌金”也稱掌上金、袖褪金、袖里藏金、指算、袖里吞金或袖中錦等,系我國(guó)一種古老的民間日用商業(yè)速算法,不用眼看,不用紙筆,就用雙手相互掐指進(jìn)行計(jì)算,快速準(zhǔn)確,且常將手暗藏于袖中進(jìn)行,因此被蒙上了一層神秘色彩,故又稱“袖里藏金”。它是一種以珠算算法為算理,左手掌當(dāng)算盤,心中記數(shù),右手指如撥算珠指數(shù)相結(jié)合的一種計(jì)算方法。下此定義的依據(jù)有以下幾點(diǎn):1.現(xiàn)傳本均系珠算書。2.其產(chǎn)生及盛行至少在明中期以后,而這時(shí)正是程大位《算法統(tǒng)宗》、《算法纂要》刊刻以后算盤取代籌算成為主要計(jì)算工具的時(shí)代。在《算法纂要》的加法例子中,系用珠算加法口訣(如“六上一去五”),最后一段文字更清楚地告訴讀者,“乘除照依盤式”,仍是仿照珠算乘除口訣,進(jìn)行一掌金的乘除運(yùn)算。3.特別是《指明算法》和《銅陵算法》兩書在手圖旁直接注明“左手五指如算盤位”、“左手五指如算盤五位”的文字說明。4.筆者在向謝從永老人學(xué)習(xí)此算法時(shí),他所傳的就是依珠算口訣“左手五指如算盤五位”來進(jìn)行計(jì)算的。在向謝從永老人學(xué)習(xí)期間,他傳授了加減、乘除、開平方法,其所傳最后得數(shù)只會(huì)用左手五指表示,加法可算到5位,乘法只能算到3位數(shù),除法一般到3位,亦可到4位數(shù),開平方法也是3位數(shù),再多位數(shù),則恐他亦不會(huì)了。歸后經(jīng)自己研究,乘法為后乘法,除法為歸除法。并研究出“一掌金”算法開立方,加法五指最后得數(shù)可表示到5位數(shù),即可表示到萬位數(shù)。因加法最后得數(shù)只能用左手五指表示,故只能表示到萬位數(shù)。左手五指加左足底可表示最后得數(shù)為6位數(shù),亦即十萬位數(shù);乘除法左手五指加左右兩足底可表示最后得數(shù)至7位數(shù),即可表示到