高等代數試題四

線性變換一判斷題⑴在向量空間R3中，-(Xi,X2,叮-牛，X2,X2-H貝2是R3的一個線性變換.()?TOC\o"1-5"\h\z⑵在向量空間R[x]中，◎(f(x))=f2(x),則c是R[x]的一個線性變換.().nn⑶取定A&M(F),對任意的n階矩陣XeM(F),定義c(X)=AX-XA,則c是nnM(F)的一個線性變換.().n(4)c是向量空間V的線性變換，向量組a,a，…,a線性相關，那么12mC(ai),C巴),…,C(am)也線性相關.()?(5)在向量空間R[x]中，則微商c(f(x))=f'(x)是一個線性變換.().n(6)在向量空間R3中,已知線性變換c(x,x,x)=(x+x,x+x,x),12312233T(x,x,x)=(x,0,x).12313則(c—2t)(x,x,x)=(x—x,x+x,—x)()12321233(7)對向量空間V的任意線性變換c,有線性變換t,使ct=i(I是單位變換).().⑻向量空間R2的兩個線性變換c,T為c(xi，x2)=(xi，x2-xi"(xi，x2)=W―x2,x2)則(ct—c2)(x,x)=(—x,x+x).TOC\o"1-5"\h\zi22i2在實數域F上的n維向量空間V中取定一組基后，V的全體線性變換和F上全體n階矩陣之間就建立了一個一一對應.().在取定基后，V的每個可逆線性變換對應于可逆矩陣，但逆變換未必對應于逆矩陣.().(ii)線性變換在不同基下對應的矩陣是相似的.().(i2)相似矩陣不一定是同一線性變換在不同基下的矩陣.().(I3)域F上的向量空間V及其零子空間，對V的每個線性變換來說，都是不變子空間.().(I4)除零變換外，還存在向量空間V的線性變換，能使V的任意子空間對該變換不變.()向量空間V的線性變換b［的不變子空間W,也是V的另一線性變換b的不變子空12TOC\o"1-5"\h\z間，這里b工b.().21向量空間V的線性變換b的象與核都是b的不變子空間.().線性變換b的特征向量之和，仍為b的特征向量.().屬于線性變換b同一特征根九0的特征向量的線性組合仍是b的特征向量.().數域F中任意數九都是F上的向量空間V的零變換的特征根.().b在一個基下可以對角化，則。在任何基下可以對角化.().(1)正確(2)錯誤(3)正確(4)正確(5)正確(6)正確(7)錯誤(8)正確(9)正確(10)錯誤(11)正確(12)錯誤(13)正確(14)正確(15)錯誤(16)正確(17)錯誤(18)正確(19)錯誤(20)錯誤

填空題設V和W是數域F上的向量空間，而b:VTW是一個線性映射，那么a是單射的TOC\o"1-5"\h\z充要條件是.設V和W是數域F上的向量空間，而b:VTW是一個線性映射，那么a是滿射的充要條件是.b是向量空間V的線性變換，若滿足,則稱b是可逆變換.⑷向量空間V的任意線性變換0,都有b(0)=，b(Y)=?基的矩⑸b是n維向量空間V的一個位似變換：b(g)=kg，那么b關于V的基的矩陣是kI.⑹在匕的基?⑹在匕的基?B2,8_｝下b的矩陣是123aaa1112aaa2122iaaa3132,A132333丿那么b關于基怡3，匕嚴2,281｝的矩陣是在F3中的線性變換b(x,x,x)二(2x-x,x+x,x),那么b關于基123122318=(1,0,0),8=(0,1,0),8=(0,0,1)的矩陣是.123設b,b分別是向量空間R2中繞原點逆時針旋轉0,0角的線性變換，那么bb關于121221基a二(1,0),a二(0,1)的矩陣是.12對于域F上向量空間V的數乘變換來說不變子空間.2維平面上的旋轉變換b,非平凡的不變子空間.若線性變換b與是,則t的象與核都是b的不變子空間.相似矩陣有的特征多項式.(九I-A)X=0的都是A的屬于九的特征向量.00A與對角陣相似，f(x)eF[x],則f(A)必與某一.設V是數域F上的n維向量空間，beL(V),b的不同的特征根是九,九，…,九，則12t

TOC\o"1-5"\h\z◎可對角化的充要條件是.設◎是實數域F上的n維向量空間V的線性變換，如果V的任意一維子空間都是◎的不變子空間，那么◎可以.設◎是實數域F上的n維向量空間V的線性變換，◎可對角化的充要條件是◎的特征多項式的根都在F內；;設AgM(F),如果A的特征多項式在F內有,那么A可對角化.n設◎是實數域F上的n維向量空間V的線性變換，九是◎的一個特征根，則dim崔九的重數.'327、矩陣024的特征根是.05丿答案(1)ker(b)={0}(2)Im(b)=W⑶存在V的線性變換工，使qt=1(4)0,-a(8)'cos(e+(8)'cos(e+0)12.sin(0+0)12-sin(0+0))12

cos(0+0).12(9)每個子空間都是(10)沒有(11)可交換的'aa+a2a''2-10'13111211(5)任意(6)aa+a2a(7)01123212221kaa3331+a322a.31<100丿(12)相同(13)非零解向量(14)對角陣相似(15)”dim乙=n(16)對角化(17)i=1對于◎的特征多項式的每一個根九,特征子空間￡的維數等于九的重數(18)n個不同的單根(19)<(20)3,2,5

.單選題：.單選題：1?向量空間V（F）的零變換0的象及核的維數分別是（）。nA.0,nB.n,0C.0,0D.n,n）。2?向量空間V（F）的單位變換t的象及核的維數分別是（）。nA.1,n—1B.n—1,1A.1,n—1B.n—1,1C.n,0D.0,n3．“有相同的特征多項式”這是兩個矩陣相似的（A.充分B.必要C.充分必要對于域F上向量空間V的數乘變換來說，（A.只有一個B.每個子空間都是2維平面上的旋轉變換◎,（A.有一個B.有無窮多6?若線性變換◎與t是（A.互逆的B.可交換的），D.C.不存在）條件。以上都不對）不變子空間。D.存在且有限個）非平凡的不變子空間。C.沒有D.有有限個則的象與核都是◎的不變子空間。C.不等的D.不可換的以向量空間V的任何非零向量作為特征向量的線性變換只能是（）A.零變換B.位似（數乘）變換C.單位變換D.以上都不對設◎是一線性變換，若Ker（q）={o}。則下面說法正確的是（A.無特征根零B.有特征根零C.不確定D.以上都不對9.設S是對合矩陣（S2=I）,P是幕等矩陣（P2=P）,H是幕零矩陣（Hm=0）且H豐0,那么（）可以對角化。S,P,H在F上均可以對角化僅S,P在F上可以對角化它們在F上均不能對角化。在F上可以對角化答案：1.A2.C3.B4.B5.C6.B7.B8.A9.B四多選題1設◎是n維線性空間的線性變換，則c在不同基下的矩陣().A.一定合同;B.一定相似;C.秩一定相等;D.秩不一定相等.2設c是線性空間V的線性變換，則c(0)=0;c(aB+aB+???+a|3)=ac(B)+ac(B)+ac(B)；TOC\o"1-5"\h\z1122nn1122nnC.當B,B，…，B線性無關，c(B)Q(B)，…Q(B)線性無關；12n12nD.當B，B，…，B線性相關，c(B)，c(B)，…,c(B)線性相關.12n12n3設c是數域P上的n維線性空間V的線性變換，且c是單的.則A.若Qr%，…，Q是V的一組基，則c(a)，c(a)，…,c(a)也是V的一組基;B.c是滿射;c不是滿射；D.c是雙射.設V是復數域上的n維線性空間，c，T是V的線性變換，且ct=tc.那么若九是c的一個特征值，那么V是t的不變子空間；0q)c，t的特征值一定相同;C.c，t的特征子空間一定相同;c，t至少有一個特征值一定相同;n階矩陣A相似于對角陣的充要條件;A.A的特征子空間的維數和等于n;B.A的初等因子都是一次的;A有n個不同的特征根；A的最小多項式無重根.答案:1B，C;2A，B，D;3A，B，D;4A，D;5A，B，D.1212五簡單題1.線性變換是否一定把線性無關的向量組變成線性無關的向量組?2.R3的線性變換◎為b(x,x,x)=(x+x+2x,3x+3x,一x+2x+x)12312323123求b的象與核的維數.3?在數域F上全體n階對稱矩陣所組成的向量空間V中定義變換b：b(X)=TXT,其中T為一個固定的n階方陣，X為V中任一對稱矩陣。證明：b是V的一個線性變換。在向量空間Fn中，對任意向量a,規(guī)定b(a)=Aa，這里A為取定的一個n階方陣。證明：b是Fn的一個線性變換。證明：若某向量組在線性變換下象線性無關，則該向量組也線性無關。b,t是向量空間v的線性變換。若bp=e，則b=e或t=o不成立，試舉一反例.F[x]的兩個線性變換為：對任意f(x)eF[x]，b(f(x))=f'(x),t(f(x))=xf(x)證明：bT—Tb=i.設b,T,P是V(F)的線性變換，定義Q,T]=bT—Tb證明：對任意b,T,P以下等式成立：[[b,T],P]+[[T,P],b]+[[P,b],T]=9證明：若f(b)=9,g(b)=9，則d(b)=9，其中d(x)是F[x]中多項式f(x)與g(x)的最大公因式。令E=(x,x,x)是R3中任意向量，b是線性變換:b(g)=(x+x,x,x—x)12312232試證b可逆。設A,B是數域F上的n階矩陣，若A,B之一可逆，則AB與BA相似。設V的兩個線性變換b與T是可變換的。試證T的象Im(T)與核Ker(t)都是b的不變子空間。設b是向量空間V的線性變換，那么W=L(g)是b的一維不變子空間當且僅當g是b的屬于某特征根九的特征向量。0設b是復數域C上線性空間的線性變換，若b關于空間的一個基￡,￡的矩陣為

(0a)A二,a豐0、—a0丿求b的特征根與特征向量。15．設矩陣(cos0sin0)八A[sin0cos0戶0求A的特征根與特征向量。設a是屬于n階對稱矩陣A的特征根九的特征向量。0證明：九是(P-1AP)'的特征根，并求矩陣(P-1AP)'的屬于九的一個特征向量。00試證幕等矩陣A的特征根等于0或1。設A,B均為n階矩陣。證明：T(AB)=T(BA)rr設n階矩陣A—(a.)的特征根是九,九，…,九。ij12n證明：工九2—工另aa證明：內有n個iijjii—1i—1j內有n個20.令A是數域F上一個n階矩陣，A可以對角化的充分必要條件是f(x)在FA單根。這種說法對嗎？答案1-答不一定.例如，在二維空間V2中,到x軸的投影變換Q9(x,x)二(x,0),把線性2121無關的向量組(1,0),(0,1),變?yōu)榫€性相關的向量組(1,0),(0,0).解設￡,￡,￡為R3的標準基，則得線性方程組123x+x+2x=0TOC\o"1-5"\h\z123<3x+3x=023—x+2x+x=0123其解空間即為ker(b).因為此方程組的系數矩陣的秩為2,故dimker?)=1.證明：任取X,YeV,k,leF，貝yc(kX+lY)=T'(kX+lY)T=T(kX)T+T'(lY)T=k(TXT)+1(TYT)=kc(X)+Lc(Y)故c是V的線性變換。證明：任取a,卩eFn,a,beF，有c(aa+bP)=A(aa+bP)=A(aa)+A(bP)=a(Aa)+b(AP)=ac(a)+bc(P)故c是Fn的線性變換。證明：設向量組a,a，…,a在線性變換c下的象c(a),c(a),...,c(a)線性無關。12r12r令ka+ka+...+ka=01122rr于是kc(a)+kc(a)+...+kc(a)=01122rr由c(a),c(a),...,c(a)線性無關，知k=k=...=k=0,故a,a，…,a線性無關。12r12r12r6?解：反例為：對向量空間R2的任意向量(x,y)，定義線性變換c(x,y)=(x,0);t(x,y)=(0,y)則有cT(x,y)=c(0,y)=(0,0).即cT=0，但是c,T。7.證明：任取f(x)eF[x]，則◎T(f(X))=◎(Xf(X))二f(X)+Xf'(X)TQ(f(X))二T(八X))二Xf'(X)因而QT—TQ)(f(X))=QT(f(x))—TQ(f(x))=f(X)故QT—TQ=18?證明：原式=[Q,T]p—p[Q,T]+[T,p]Q—Q[T,p]+[p,Q]T—T[p,Q]=QTp—TQp—pQT+pTQ+TpQ—pTQ—QTp+QpT+pQT—QpT—TpQ+TQp=e9?證明：因為d(x)是f(x)與g(x)的最大公因式，所以存在u(x),v(x)eF(x)，使f(x)u(x)+g(x)v(x)=d(x)TOC\o"1-5"\h\z故有d(Q)=f(Q)u(Q)+g(Q)v(Q)=eu(Q)+0v(Q)=e。任取R3的一個基，e=(1,0,0),e=(0,1,0),e=(0,0,1)123'110、那么(Q(8),Q(8),Q(8))=(8,8,8)01012312310-11丿由于Q關于此基的矩陣是可逆陣，故Q可逆。證明：不妨設A可逆，于是存在A-1而有BA=(A-1A)BA=A-1(AB)A證明：任取geIm(T)，則存在耳eV使g=T們)于是Q(g)=Q(T(n))=(qt)(n)=(tq)(n)=T(Q(n))eim(T)所以Im(T)是的Q不變子空間。任取geKer(T)，貝yT(g)=0，于是T(Q(g))=(TQ)(g)=(QT)(g)=Q(T(g))=Q(0)=0故由Q(g)eKer(T)而知Ker(T)是Q的不變子空間。證明：g是一維不變子空間V的生成向量，自然有gH0，且Q(g)eW=L(g)，因此存在九eF,而使Q(g)=Xg。反之，若g是Q的屬于特征根九的特征向量，那么對000任何卩eF,Q(pg)=pQ(g)=九(pg)0

故c(L(g))匸L(g)。14.解：易證九的特征根為—ai，九—~ai,它們相應的特征向量分別為12ke+kie,k豐0,kgC，及k8一kie,k豐0,kgC121215?解：f（九）=九2-2cos&九+1，從而A的特征根為A尢=cos0+isin9,尢=cos。一isin912因此它們的特征向量分別是：k（一；1）-k（一ie+e）,k豐011121和k(2,1,_1)—k(2e+e—e),k豐0。22123216?證明：因為Aa=^a,A'=A0故(P-1APy(Pu)二P'Aa二九(Pd)0乂u豐0,P可逆，易知Pd豐0，因此九是（P-1AP）的一個特征根，并且Pd是所求0的一個特征向量。設九是A的任一特征根，因f（九）二九2是f（A）二A2的特征根，所以九2二f（九）二九iiiiiib)=工(工b)=工(工ba)=T(BA)證明：設A=（a）,B=（b），那么T（AB）=工（工aijijrikkikiikri=1k=1k=1i=1證明：由題設易知A2的特征根為九2,九2,...九2，因此工九2=T（A2）=HEaa12nirijjii=1i=1j=1答；不對。例如，矩陣（10）A=101丿有二重根1，而A本身就是對角形矩陣。六.計算題：1.向量空間R3的線性變換b為b(x,x,x)=(2x,3x,-2x)123123求Im（b）與Ker（b），并計算它們的維數。1-解取R的標準基I82’83‘，于是"（81）蟲（1，°，°）=（2，°，°），"（82）蟲（°丄0）=（°，3，°），"（83）丙（0,0，1）二?O’-2），任取g=a8+a8+a8，則b(g)=ab(8)+ab(8)+ab(8)112233112233因此1噸)匸L(b(81)’b(82)，b(83))顯然1噸)-L(b(81)’b(82)，b(83))故1噸)二L(b(8嚴(82)，b(83))而b(8),b(8),b(8)線性無關，所以Im(b)二R3,dimIm(b)二3123因為Ker(b)=迄eR3b(g)=0)則由(2x1，3x2,-2x3)二(0,0,0)得x=x=x=0123所以Ker(b)={o},dimKer(b)=0

2.令F4表示數域F上四元列空間。取rii-ii5-2-1、3A=3-i81<13-97丿對于任E丘F4，令c(g)=Ag。求線性變換b的核和象的維數。2.解取F4的標準基2.解取F4的標準基SB2,B3,B..由Im(b)二L(bSQ32)Q巴))r1、r-1、r5、r5、r-1、11-2-233cG)=bG)=8c(S)=8c(S)=12-1334<1丿<3丿-9V7丿v9丿V7丿123412其中b%)=由此得dimIm(c)=A秩二2由線性方程組Ag=0的解空間的維數，得dimKer(c)=4-2=233設仟魯與叮是^的標準基,線性變換◎關于此基的矩陣是ri—i0221i]3A=i255<2—21—2丿求◎的象Im(d)與Ker(b)。3解：解齊次線性方程組AX=0得基礎解系山，耳｝12其中耳=(—2,—3，1,0)耳=(—1,—2,0,1)，從而122KerQ)二L⑴，耳)12又由于A的秩為2，知b(￡),b(￡),b(￡),b(￡)的秩為2,且。(S)Q(S)線性無關，它123412們構成Im(b)的一個基，從而Im(b)二L(b(S),b(S)).124.設◎是向量空間C2的線性變換，◎在基a,a下的矩陣是12(2—4)A二I5-2丿試找出◎的所有不變子空間。4解：C2和；(0丿;是Q的兩個不變子空間，那么其余的不變子空間都是一維的。由于f（九）=|XI—A|=九2+16=（九一4i）（九+4i）.(2)因此當九=4i時，我們得A的屬于九的特征向量匕=1111U-2i丿TOC\o"1-5"\h\z、(2)當九=—4i時，得特征向量g=1「。22(1+2i丿令B=2a+(1—2i)a,112B=2a+(1+2i)a.212那么W=L(0)和W=L(0)是◎的另兩個不變子空間.112222)5?設數域F上向量空間V的線性變換a關于基a,a,a的矩陣是123'4-52（1）A=5-73<6-94>’1-34'（2）A=4-78<6-77丿'26-15、（3）A=11-5I12-6丿試找出a的一個不變子空間。5解：（1）因為1[1丿是A的屬于特征根5解：（1）因為1[1丿間。是A屬于特征根3的特征向量，所以L（a1+2a2+2a3）是-的不變子空間。⑶因為A的特征根是三重根-1所以V=特征子空間V-1就是-的不變子空間。6.在F3中定義線性變換如下，試求◎的特征根和特征向量。c(x,x,x)=(x+x+2x,2x+x,一x+x+3x)TOC\o"1-5"\h\z12312323123—2—1

九一36解：設C關于F—2—1

九一3r113、A=021<-113丿A的特征多項式為TOC\o"1-5"\h\z九-1-1|XI—A|=0九-21—1所以A的特征根為三重根九二九二九二2。解方程組(21—A)X=0，得特征向量123k(1,1,0)=ks+k￡,k豐0127.設◎是F3的一個線性變換。已知：C(1,0,0)=(5,6,—3)q(0,1,0)=(-1,0,1),C(0,0,1)=(1,2,1)試求：◎的全部特征根及特征向量。7解：◎關于標準基￡,￡,￡的矩陣為123(5-11]A=602廠311丿那么A的特征多項式為I九I-A|=(九—2)3，且特征根為九]=九2=九3=2解齊次線性方程組(21—A)x=0，得出特征向量為k(1,3,0)+k(0,1,1),12即k￡+(3k+k)￡+k￡1112223這里k,k不全為零。12

8.設8,8,8是F3的一個基，令123a=8—28+28a=—28—28+48a二28+48一28TOC\o"1-5"\h\z1123,2123,3123bgL(F3)，且a(18+18+18)=la+1a+1a112233112233求：a的特征根與特征向量。8解：由條件b(8)=a,i=1,2,3ii'1—22、故b關于基8,8,8的矩陣為A=—2—24123I24-2丿于是求出A的特征根為九=九=2,九=一7123當九1=?=2時，解齊次方程組（2/-A）X=°,得出特征向量為k(—2,1,°)+k(2,°,1)=(—2k+2k)8+k8+k8121k1,k2不全為零。解齊次方程組(解齊次方程組(—7I—A)X=°得特征向量為k(—1,—2,2)=一k8一2k8+2k8k豐°123‘310、9.設A=-4-10，試由A的特征多項式和特征根寫出A-1的伴隨陣(A-1)*的特〔4-8-2丿征多項式和特征根。9解：因|九I—A|—（九+2）（九一1）2A的特征根為-2,1,1。今（A-1）（A-1）*—〔A-i|l所以（A-1）*—lAAIAI又|A—-2,所以（A-1）*的特征多項式是g（九）—九1_（—q）A=（-二）31（-2九）1-A|—（--）3（-2九+2）（-2九-1）2—（九一1）（九+-）322由此g（x）的特征根為-2，-2，1。

10．試求方陣aa...a、aa...aA=????????????*aa...a丿的特征根。10解：顯然秩A=1所以A的任何高于一階的子式皆為0。于是|九I一A|=九一T(A)Xn-i=Xn-nakn-i故A的特征根為九=九=???=九=0,九=na。12n-1n七．證明題：1.取定AwM(F)，對任意XgM(F)，規(guī)定b(X)=AX—XAnn證明：b是M(F)的一個線性變換。n1證明：任取X,YgM(F),a,bgF,nb(aX+bY)=A(aX+bY)—(aX+bY)A=a(AX—XA)+b(AY—YA)=ab(X)+bb(Y)故b是M(F)的線性變換。n2.設M是向量空間V(F)的一個子空間，并且存在V的子空間N，使V=M+N，對任意aeV，有唯一分解式+a,agM,agN。定義V的變換c:c(a)=a12122證明：c是V的一個線性變換。2證明：設任意a,卩eV，并且a=a+a,卩=卩+卩,a,卩eM,a,卩eN,keF12121122于是c(a+卩)=c((a+a)+(卩+卩))=a+卩=c(a)+c(卩)121222c(ka)=c(k(a+a))=ka=kc(a),!22故c是v的線性變換。3?對向量空間Fn的任意向量（％,U…,?），定義(0,x,x,...,x)12n-1證明：a是Fn的線性變換。3證明：任取a=(x,xx),0=(y,yy)eFn,a,beF12n12n則a(aa+b0)=a(ax+by,ax+byax+by)1122nn=(0,ax+byax+by)TOC\o"1-5"\h\z11n-1n-1=a(0,xx)+b(0,yy)1n-11n-1=aa(a)+ba(0)故a是Fn的線性變換。4.在M2(F)中定義線性變換a4.在M2(F)中定義線性變換a如下：b(X)二rab\d丿x，XwM2（f）?ab證明：b可逆的充分必要條件是嚴0cd4證明：取M(F)的標準基{E,E2111221，E「E22}'則b關于此基的矩陣為b0d00b0d因為|A|ab故b可逆當且僅當A矩陣可逆當且僅當7豐0cd試證明：若矩陣A與B相似，C與D相似。則矩陣rB<OO)則矩陣rB<OD相似。D丿5證明：因為由題設，存在可逆T,使B=TAT。又因為存在可逆矩陣Q，使D=Q~lCQ，那么我們有分塊矩陣rTGrTG=IOO)Q丿及G_1Q-1丿從而得到rAO、rT-10、rA0、rT0、rT-iAT0'rB0'G-1G===<0C<0Q-i丿<0C丿<0Q>、0Q-iCQ,<0D故得求證的相似關系。令◎是n維向量空間V的線性變換。若◎是可逆變換。則◎關于V的某一基的矩陣A秩為n。6證明設(a,a，…,a)是向量空間V的一個基，且12nc(a,a,???,a)=(a,a,...,a)A12n12n而c可逆當且僅當A可逆，因此矩陣A秩為n。試證線性變換◎的不變子空間的交與和都是◎的不變子空間。7證明：設W與S是a的兩個不變子空間。那么WDS與W+S都是向量空間V的子空間。現在證它們是不變的。任取gwWp|S則由a(g)eW及a(g)eS，推出a(g)eWp|S。這證明了Wp|S是a的不變子空間。如果耳eW+S，那么耳可表成耳二耳+耳，耳eW，耳eS1212于是a(n)=a(n)+a(n)12又由于a(n)eW,a(n)eS12所以a(n)eW+S故W+S是a的不變子空間。所以是所以是"i的不變子空間(i,j=1,2,...,s)。00設V是復數域C上的向量空間，a與工是V的線性變換，并且。證明：如果果0是a的一個特征跟，那么特征子空間怯也是T的不變子空間。8證明：顯然已知V={awVa(a)=Ra}是a的不變子空間?，F在證它是t的不變子0空間。即任取aeV，往證t(a)gV.由于心九0a(t(a))=t(a(a))=t(九a)二九(t(a))00

設V是復數域上n維向量空間，其線性變換◎Q兩兩可換。2s證明：◎的每一個特征子空間都是b的不變子空間(i,j=1,2,...,s)。ij9證明：設I是9證明：設I是bi屬于特征根九0的特征子空間，任取a€V九則有：b(a)二九a€Vi0入0那么bi(b尸))=bj(bi(a))」0(bj(a)),設◎是向量空間V的可逆線性變換。證明：◎的特征根都不為零。10證明：設九,九，…,九為◎的特征根，且設◎在V的某個基下對應的矩陣是A。那么12n|A|二九右…九,并且由◎可逆知A可逆。故◎的特征根都不為零。11.設非奇異矩陣A的全部特征跟為九,九，…,九,則A-1的全部特征根為：九T,九T,…,九T12n12n11證明：由A為可逆陣，有|A|=九］九2…\0所以A的全部特征根九,九，…,九皆不為零，其次對每個九，由存在非零向量?使12niiAa=la。iii我們可再從A-1Aa=A-1la，推得A-1a=l-1a。所以1-1,i=1,2,...,n都是A-1的特征TOC\o"1-5"\h\ziiiiiii根。再由A-1=1-11-1…1-1，12n即知A-1全部特征根是1-1,1-1,...,1-1。12n12?若a為n階方陣A的屬于特征根九的特征向量。0證明：九為T-1AT的特征根。012證明：因為A與T-1AT有相同的特征多項式’所以九0也是T-1AT的特征根。13.設數域F上的矩陣'bca''cab''abc'A=cab,B=abc,C=bca、abc丿、bca丿、cab丿證明：A,B,C彼此相似。TOC\o"1-5"\h\z13證明：在F3中取定基a,a,a，并且令線性變換b關于基｛a,a,a｝的矩陣為A。那123123么有(b(a),b(a),b(a))=(