高考北師大版數(shù)學(xué)（理）一輪復(fù)習(xí)學(xué)案6-4推理與證明

第四節(jié)推理與證明命題分析預(yù)測學(xué)科核心素養(yǎng)從近五年的考查情況來看，本節(jié)是高考的熱點，一般以選擇題或填空題的形式考查合情推理和演繹推理；直接證明、間接證明和數(shù)學(xué)歸納法，一般以函數(shù)、不等式、數(shù)列等為背景進行考查，題型以解答題為主，綜合性較強．本節(jié)主要考查考生的邏輯推理核心素養(yǎng)．授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第129頁知識點一合情推理與演繹推理1．合情推理類型定義特征歸納推理由某類事物的部分對象具有某些特征，推出該類事物的全部對象都具有這些特征的推理由部分到整體、由個別到一般類比推理由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象的某些已知特征，推出另一類對象也具有這些特征的推理由特殊到特殊合情推理歸納推理和類比推理都是根據(jù)已有的事實，經(jīng)過觀察、分析、比較、聯(lián)想，再進行歸納、類比，然后提出猜想的推理2．演繹推理（1）定義：從一般性的原理出發(fā)，推出某個特殊情況下的結(jié)論，我們把這種推理稱為演繹推理．簡言之，演繹推理是由一般到特殊的推理．（2）“三段論”是演繹推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情況；③結(jié)論——根據(jù)一般原理，對特殊情況做出的判斷．?溫馨提醒?1．合情推理的結(jié)論是猜想，不一定正確；演繹推理在大前提、小前提和推理形式都正確時，得到的結(jié)論一定正確．2．合情推理是發(fā)現(xiàn)結(jié)論的推理；演繹推理是證明結(jié)論的推理．1．已知數(shù)列{an}中，a1＝1，n≥2時，an＝an－1＋2n－1，依次計算a2，a3，a4后，猜想an的表達式是（）A．a(chǎn)n＝3n－2 B．a(chǎn)n＝4n－3C．a(chǎn)n＝n2 D．a(chǎn)n＝3n－1解析：由a1＝1，an＝an－1＋2n－1，得a2＝4，a3＝9，a4＝16．猜得an＝n2．故選C．答案：C2．演繹推理“因為對數(shù)函數(shù)y＝logax（a>0且a≠1）是增函數(shù)，而函數(shù)y＝logeq\s\do9(\f(1,2))x是對數(shù)函數(shù)，所以y＝logeq\s\do9(\f(1,2))x是增函數(shù)”所得結(jié)論錯誤的原因是（）A．大前提錯誤 B．小前提錯誤C．推理形式錯誤 D．大前提和小前提都錯誤解析：因為當(dāng)a>1時，y＝logax在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，當(dāng)0<a<1時，y＝logax在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，所以大前提錯誤．故選A．答案：A3．在等差數(shù)列{an}中，若a10＝0，則有a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n（n<19，且n∈N＋）成立．類比上述性質(zhì)，在等比數(shù)列{bn}中，若b9＝1，則存在的等式為__________．解析：由等比數(shù)列的性質(zhì)bn＋1·b17－n＝bn＋2·b16－n＝…＝beq\o\al(2,9)＝1，得b1b2…bn＝b1b2b3b4…b17－n（n<17，n∈N＋）．答案：b1b2…bn＝b1b2…b17－n（n<17，n∈N＋）知識點二證明1．直接證明直接證明中最基本的兩種證明方法是綜合法和分析法Ｗ．（1）綜合法：一般地，利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理等，經(jīng)過一系列的推理論證，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立，這種證明方法叫做綜合法．綜合法又稱為：由因?qū)Чǎ樛谱C法）．（2）分析法：一般地，從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個明顯成立的條件（已知條件、定理、定義、公理等）為止，這種證明方法叫做分析法．分析法又稱為：執(zhí)果索因法（逆推證法）．2．間接證明反證法：一般地，假設(shè)原命題不成立，經(jīng)過正確的推理，最后得出矛盾，因此說明假設(shè)錯誤，從而證明了原命題成立，這樣的證明方法叫做反證法．3．?dāng)?shù)學(xué)歸納法證明一個與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可按下列步驟進行：（1）（歸納奠基）證明當(dāng)n取第一個值n0（n0∈N＋）時命題成立．（2）（歸納遞推）假設(shè)n＝k（k≥n0，k∈N＋）時命題成立，證明當(dāng)n＝k＋1時命題也成立．只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從n0開始的所有正整數(shù)n都成立．1．（易錯題）用反證法證明命題：“三角形的內(nèi)角中至少有一個不大于60度”，假設(shè)正確的是（）A．假設(shè)三個內(nèi)角都不大于60度B．假設(shè)三個內(nèi)角都大于60度C．假設(shè)三個內(nèi)角至多有一個大于60度D．假設(shè)三個內(nèi)角至多有兩個大于60度解析：根據(jù)反證法的定義，假設(shè)是對原命題結(jié)論的否定，故假設(shè)三個內(nèi)角都大于60度．故選B．答案：B2．要證a2＋b2－1－a2b2≤0，只要證明（）A．2ab－1－a2b2≤0 B．a(chǎn)2＋b2－1－eq\f(a4＋b4,2)≤0C．eq\f(（a＋b）2,2)－1－a2b2≤0 D．（a2－1）（b2－1）≥0解析：a2＋b2－1－a2b2≤0?（a2－1）（b2－1）≥0．答案：D3．在應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明凸n邊形的對角線為eq\f(1,2)n（n－3）條時，第一步檢驗n等于（）A．1 B．2C．3 D．4解析：凸n邊形邊數(shù)最小時是三角形，故第一步檢驗n＝3．答案：C授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第130頁題型一合情推理1．《聊齋志異》中有這樣一首詩：“挑水砍柴不堪苦，請歸但求穿墻術(shù)．得訣自詡無所阻，額上墳起終不悟．”在這里，我們稱形如以下形式的等式具有“穿墻術(shù)”：2eq\r(\f(2,3))＝eq\r(2\f(2,3))，3eq\r(\f(3,8))＝eq\r(3\f(3,8))，4eq\r(\f(4,15))＝eq\r(4\f(4,15))，5eq\r(\f(5,24))＝eq\r(5\f(5,24))，則按照以上規(guī)律，若8eq\r(\f(8,n))＝eq\r(8\f(8,n))具有“穿墻術(shù)”，則n＝（）A．35 B．48C．63 D．80解析：根據(jù)規(guī)律得3＝1×3，8＝2×4，15＝3×5，24＝4×6，…，所以n＝7×9＝63．答案：C2．二維空間中，圓的一維測度（周長）l＝2πr，二維測度（面積）S＝πr2，三維空間中，球的二維測度（表面積）S＝4πr2，三維測度（體積）V＝eq\f(4,3)πr3，應(yīng)用合情推理，若四維空間中，“超球”的三維測度V＝8πr3，則其四維測度W＝（）A．2πr4 B．3πr4C．4πr4 D．6πr4解析：由題意得，二維空間中，二維測度的導(dǎo)數(shù)為一維測度；三維空間中，三維測度的導(dǎo)數(shù)為二維測度．由此歸納，在四維空間中，四維測度的導(dǎo)數(shù)為三維測度，故W＝2πr4．答案：A3．我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》的論割圓術(shù)中有：“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣．”它體現(xiàn)了一種無限與有限的轉(zhuǎn)化過程．比如在表達式1＋eq\f(1,1＋\f(1,1＋…))中“…”即代表無限次重復(fù)，但原式卻是個定值，它可以通過方程1＋eq\f(1,x)＝x求得x＝eq\f(\r(5)＋1,2)．類比上述過程，則eq\r(2020＋2019\r(2020＋2019\r(…)))＝________．解析：由題意可得eq\r(2020＋2019x)＝x（x≥0），整理得（x＋1）（x－2020）＝0（x≥0），解得x＝2020，即eq\r(2020＋2019\r(2020＋2019\r(…)))＝2020．答案：20201．類比推理的分類及處理方法類別解決適合題型類比定義在求解由某種熟悉的定義產(chǎn)生的類比推理型問題時，可以借助原定義來求解已知熟悉定義類比新定義類比性質(zhì)從一個特殊式子的性質(zhì)、一個特殊圖形的性質(zhì)入手，提出類比推理型問題，求解時要認真分析兩者之間的聯(lián)系與區(qū)別，深入思考兩者的轉(zhuǎn)化過程是求解的關(guān)鍵平面幾何與立體幾何、等差數(shù)列與等比數(shù)列類比方法有一些處理問題的方法具有類比性，可以把這種方法類比應(yīng)用到其他問題的求解中，注意知識的遷移已知熟悉的處理方法類比未知問題的處理方法2．歸納推理問題的常見類型及解題策略常見類型解題策略與數(shù)字有關(guān)的等式的推理觀察數(shù)字特點，找出等式左右兩側(cè)的規(guī)律及符號可解與式子有關(guān)的推理觀察每個式子的特點，找到規(guī)律后可解與圖形變化有關(guān)的推理合理利用特殊圖形歸納推理得出結(jié)論，并用賦值檢驗法驗證其真?zhèn)涡灶}型二演繹推理[例]已知函數(shù)y＝f（x）滿足：對任意a，b∈R，a≠b，都有af（a）＋bf（b）>af（b）＋bf（a），試證明：f（x）為R上的單調(diào)遞增函數(shù)．[證明]設(shè)x1，x2∈R，取x1<x2，則由題意得x1f（x1）＋x2f（x2）>x1f（x2）＋x2f（x1），所以x1[f（x1）－f（x2）]＋x2[f（x2）－f（x1）]>0，[f（x2）－f（x1）]（x2－x1）>0，因為x1<x2，所以f（x2）－f（x1）>0，f（x2）>f（x1）．綜上，y＝f（x）為R上的單調(diào)遞增函數(shù)．演繹推理的推證規(guī)則（1）演繹推理是從一般到特殊的推理，其一般形式是三段論，應(yīng)用三段論解決問題時，應(yīng)當(dāng)首先明確什么是大前提和小前提，如果前提是顯然的，則可以省略．（2）在推理論證過程中，一些稍復(fù)雜一點的證明題常常要由幾個三段論才能完成．[對點訓(xùn)練]數(shù)列{an}的前n項和記為Sn，已知a1＝1，an＋1＝eq\f(n＋2,n)Sn（n∈N＋）．證明：（1）數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))是等比數(shù)列；（2）Sn＋1＝4an．證明：（1）因為an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝eq\f(n＋2,n)Sn，所以（n＋2）Sn＝n（Sn＋1－Sn），即nSn＋1＝2（n＋1）Sn．故eq\f(Sn＋1,n＋1)＝2·eq\f(Sn,n)，故eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列．（2）由（1）可知eq\f(Sn＋1,n＋1)＝4·eq\f(Sn－1,n－1)（n≥2），所以Sn＋1＝4（n＋1）·eq\f(Sn－1,n－1)＝4·eq\f(n－1＋2,n－1)·Sn－1＝4an（n≥2）．又因為a2＝3S1＝3，S2＝a1＋a2＝1＋3＝4＝4a1，所以對于任意正整數(shù)n，都有Sn＋1＝4an．題型三證明問題證明問題分為直接證明與間接證明．其常見的方法有：（1）分析法；（2）綜合法；（3）反證法；（4）數(shù)學(xué)歸納法．考法（一）分析法[例1]已知a>0，求證：eq\r(a2＋\f(1,a2))－eq\r(2)≥a＋eq\f(1,a)－2．[證明]因為a>0，要證原不等式成立，只需證eq\r(a2＋\f(1,a2))＋2≥a＋eq\f(1,a)＋eq\r(2)，即證a2＋eq\f(1,a2)＋4eq\r(a2＋\f(1,a2))＋4≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,a)))eq\s\up12(2)＋2eq\r(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,a)))＋2，只需證eq\r(2)·eq\r(a2＋\f(1,a2))≥a＋eq\f(1,a)，即證2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a2＋\f(1,a2)))≥a2＋eq\f(1,a2)＋2，只需證a2＋eq\f(1,a2)≥2．由基本不等式知a2＋eq\f(1,a2)≥2顯然成立，所以原不等式成立．分析法證明問題的思路與適用范圍（1）分析法的思路：“執(zhí)果索因”，逐步尋找結(jié)論成立的充分條件，即從“未知”看“需知”，逐步靠攏“已知”或本身已經(jīng)成立的定理、性質(zhì)或已經(jīng)證明成立的結(jié)論等，通常采用“要證—只需證—已知”的格式，在表達中要注意敘述形式的規(guī)范性．（2）分析法證明問題的適用范圍：當(dāng)已知條件與結(jié)論之間的聯(lián)系不夠明顯、直接，或證明過程中所需用的知識不太明確、具體時，往往采用分析法，特別是含有根號、絕對值的等式或不等式，常考慮用分析法．考法（二）綜合法[例2]若任意x∈D，總有f（x）<F（x）<g（x），則稱F（x）為f（x）與g（x）在D上的一個“嚴(yán)格分界函數(shù)”．求證：y＝ex是y＝1＋x和y＝1＋x＋eq\f(x2,2)在（－1，0）上的一個“嚴(yán)格分界函數(shù)”．[證明]令φ（x）＝ex－1－x，則φ′（x）＝ex－1．當(dāng)－1<x<0時，φ′（x）<0，故φ（x）在區(qū)間（－1，0）上為減函數(shù)，因為φ（x）>φ（0）＝0，故ex>1＋x．令t（x）＝ex－1－x－eq\f(x2,2)，則t′（x）＝ex－1－x．由上述證明過程可知，當(dāng)x∈（－1，0）時，ex>1＋x恒成立，即當(dāng)x∈（－1，0）時，t′（x）>0，故t（x）在（－1，0）上為增函數(shù)．所以t（x）<t（0）＝0，即ex<1＋x＋eq\f(x2,2)．故y＝ex是y＝1＋x和y＝1＋x＋eq\f(x2,2)在（－1，0）上的一個“嚴(yán)格分界函數(shù)”．綜合法的證題思路（1）綜合法是“由因?qū)Ч钡淖C明方法，它是一種從已知到未知（從題設(shè)到結(jié)論）的邏輯推理方法，即從題設(shè)中的已知條件或已證的真實判斷（命題）出發(fā)，經(jīng)過一系列中間推理，最后導(dǎo)出所要求證結(jié)論的真實性．（2）綜合法的邏輯依據(jù)是三段論式的演繹推理．考法（三）反證法[例3]已知f（x）＝ln（1＋ex）－mx（x∈R），對于給定區(qū)間（a，b），存在x0∈（a，b），使得eq\f(f（b）－f（a）,b－a)＝f′（x0）成立，求證：x0唯一．[證明]假設(shè)存在x′0，x0∈（a，b），且x′0≠x0，使得eq\f(f（b）－f（a）,b－a)＝f′（x0），eq\f(f（b）－f（a）,b－a)＝f′（x′0）成立，即f′（x0）＝f′（x′0）．因為f′（x）＝eq\f(ex,1＋ex)－m，記g（x）＝f′（x），所以g′（x）＝eq\f(ex,（1＋ex）2)>0，即f′（x）是（a，b）上的單調(diào)遞增函數(shù)．所以x0＝x′0，這與x′0≠x0矛盾，所以x0是唯一的．反證法證明問題的三步驟（1）反設(shè)：假定所要證的結(jié)論不成立，而設(shè)結(jié)論的反面（否定命題）成立．（否定結(jié)論）（2）歸謬：將“反設(shè)”作為條件，由此出發(fā)經(jīng)過正確的推理，導(dǎo)出矛盾——與已知條件、已知的定義、公理、定理及明顯的事實矛盾或自相矛盾．（推導(dǎo)矛盾）（3）立論：因為推理正確，所以產(chǎn)生矛盾的原因在于“反設(shè)”的謬誤．既然原命題結(jié)論的反面不成立，從而肯定了原命題成立．（命題成立）考法（四）數(shù)學(xué)歸納法[例4]已知數(shù)列{an}滿足Sn＋an＝2n＋1．（1）寫出a1，a2，a3，并推測an的表達式；（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明所得的結(jié)論．[解析]（1）將n＝1，2，3分別代入可得a1＝eq\f(3,2)，a2＝eq\f(7,4)，a3＝eq\f(15,8)，猜想an＝2－eq\f(1,2n)．（2）證明：①由（1）得n＝1，2，3時，結(jié)論成立．②假設(shè)n＝k（k≥3，k∈N＋）時，結(jié)論成立，即ak＝2－eq\f(1,2k)，那么當(dāng)n＝k＋1時，a1＋a2＋…＋ak＋ak＋1＋ak＋1＝2（k＋1）＋1，且a1＋a2＋…＋ak＝2k＋1－ak，所以2k＋1－ak＋2ak＋1＝2（k＋1）＋1＝2k＋3，所以2ak＋1＝2＋2－eq\f(1,2k)，ak＋1＝2－eq\f(1,2k＋1)，即當(dāng)n＝k＋1時，結(jié)論也成立．1．用數(shù)學(xué)歸納法證明等式時應(yīng)注意的問題（1）用數(shù)學(xué)歸納法進行證明，其關(guān)鍵在于弄清式子的構(gòu)成規(guī)律，式子兩邊各有多少項，初始值n0；（2）由n＝k到n＝k＋1時，除式子兩邊變化的項外還要充分利用n＝k時的式子，即充分利用假設(shè)，正確寫出歸納證明的步驟，從而使問題得以證明．2．“歸納——猜想——證明”的一般步驟（1）計算（根據(jù)條件，計算若干項）．（2）歸納猜想（通過觀察、分析、綜合、聯(lián)想、猜想出一般結(jié)論）．（3）證明（用數(shù)學(xué)歸納法證明）．[題組突破]1．已知a，b∈R，a>b>e（其中e是自然對數(shù)的底數(shù)）用分析法求證：ba>ab．證明：因為a>b>e，ba>0，ab>0，所以要證ba>ab，只需證alnb>blna，只需證eq\f(lnb,b)>eq\f(lna,a)．取函數(shù)f（x）＝eq\f(lnx,x)，因為f′（x）＝eq\f(1－lnx,x2)，所以當(dāng)x>e時，f′（x）<0，所以函數(shù)f（x）在（e，＋∞）上單調(diào)遞減．所以當(dāng)a>b>e時，有f（b）>f（a），即eq\f(lnb,b)>eq\f(lna,a)．得證．2．設(shè)a>0，b>0，且a2＋b2＝eq\f(1,a2)＋eq\f(1,b2)．證明：a2＋a<2與b2＋b<2不可能同時成立．證明：假設(shè)a2＋a<2與b2＋b<2同時成立，則有a2＋a＋b2＋b<4．由a2＋b2＝eq\f(1,a2)＋eq\f(1,b2)，得a2b2＝1，因為a>0，b>0，所以ab＝1．因為a2＋b2≥2ab＝2（當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝1時等號成立），a＋b≥2eq\r(ab)＝2（當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝1時等號成立），所以a2＋a＋b2＋b≥2ab＋2eq\r(ab)＝4（當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝1時等號成立），這與假設(shè)矛盾，故假設(shè)錯誤．所以a2＋a<2與b2＋b<2不可能同時成立．3．已知數(shù)列{an}，an≥0，a1＝0，aeq\o\al(2,n＋1)＋an＋1－1＝aeq\o\al(2,n)，求證：當(dāng)n∈N＋時，an<an＋1．證明：（1）當(dāng)n＝1時，因為a2是方程aeq\o\al(2,2)＋a2－1＝0的正根，所以a2＝eq\f(\r(5)－1,2)，即a1<a2成立．（2）假設(shè)當(dāng)n＝k（k∈N＋，k≥1）時，0≤ak<ak＋1，所以aeq\o\al(2,k＋1)－aeq\o\al(2,k)＝（aeq\o\al(2,k＋2)＋ak＋2－1）－（aeq\o\al(2,k＋1)＋ak＋1－1）＝（ak＋2－ak＋1）（ak＋2＋ak＋1＋1）>0，又ak＋1>ak≥0，所以ak＋2＋ak＋1＋1>0，所以ak＋1<ak＋2，即當(dāng)n＝k＋1時，an<an＋1也成立．綜上，可知an<an＋1對任何n∈N＋都成立．演繹推理中的核心素養(yǎng)邏輯推理——推理能力的創(chuàng)新應(yīng)用[例]（1）（2019·高考全國卷Ⅱ）在“一帶一路”知識測驗后，甲、乙、丙三人對成績進行預(yù)測．甲：我的成績比乙高．乙：丙的成績比我和甲的都高．丙：我的成績比乙高．成績公布后，三人成績互不相同且只有一個人預(yù)測正確，那么三人按成績由高到低的次序為（）A．甲、乙、丙 B．乙、甲、丙C．丙、乙、甲 D．甲、丙